空间向量与立体几何高考题汇编

1 1 2009 北京卷 本小题共 14 分 如图 四棱锥PABCD 的底面是正方形 PDABCD 底面 点 E 在棱 PB 上 求证 平面AECPDB 平面 当2PDAB 且 E 为 PB 的中点时 求 AE 与 平面 PDB 所成的角的大小 解解 如图 以 D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz 设 ABa PDh 则 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A aB a aCaDPh 0 0 0 0ACa aDPhDBa a 0 0AC DPAC DB AC DP AC DB AC 平面 PDB 平面AECPDB 平面 当2PDAB 且 E 为 PB 的中点时 112 0 0 2 222 PaEaaa 设 AC BD O 连接 OE 由 知 AC 平面 PDB 于 O AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角 1122 0 0 2222 EAaaaEOa 2 cos 2 EA EO AEO EAEO 45AOE 即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为45 2 2009 山东卷 本小题满分 12 分 如图 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 底面 ABCD 为等腰梯形 AB CD AB 4 BC CD 2 AA1 2 E E1 F 分别是棱 AD AA1 AB 的中点 1 证明 直线 EE1 平面 FCC1 2 求二面角 B FC1 C 的余弦值 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 2 解法二 1 因为 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中点 所以 BF BC CF BCF 为正三角形 因为 ABCD 为 等腰梯形 所以 BAC ABC 60 取 AF 的中点 M 连接 DM 则 DM AB 所以 DM CD 以 DM 为 x 轴 DC 为 y 轴 DD1为 z 轴建立空间直角坐标系 则 D 0 0 0 A 3 1 0 F 3 1 0 C 0 2 0 C1 0 2 2 E 3 2 1 2 0 E1 3 1 1 所以 1 31 1 22 EE 3 1 0 CF 1 0 0 2 CC 1 3 1 2 FC 设平面 CC1F 的 法向量为 nx y z 则 1 0 0 n CF n CC 所以 30 0 xy z 取 1 3 0 n 则 1 31 131 00 22 n EE 所以 1 nEE 所以直线 EE1 平面 FCC1 2 0 2 0 FB 设平面 BFC1的法向量为 1111 nx y z 则 1 11 0 0 n FB n FC 所以 1 111 0 320 y xyz 取 1 2 0 3 n 则 1 2 130032n n 2 1 3 2n 22 1 20 3 7n 所以 1 1 1 27 cos 7 27 n n n n n n 由图可知二面角 B FC1 C 为锐角 所以二面角 B FC1 C 的余弦值为 7 7 3 2009 全国卷 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 ABAC D E分别为 1 AA 1 BC的中点 DE 平面 1 BCC I 证明 ABAC II 设二面角ABDC 为 60 求 1 BC与平面BCD所成的角 的大小 I 分析一分析一 连结 BE 为直三棱柱 111 ABCABC 1 90 B BC E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 3 为的中点 又平面 E 1 BCBEEC DE 1 BCC 射影相等的两条斜线段相等 而平面 BDDC DA ABC 相等的斜线段的射影相等 ABAC 分析二分析二 取的中点 证四边形为平行四边形 进而证 BCFAFEDAFDE 得也可 AFBC ABAC 分析三分析三 利用空间向量的方法 具体解法略 II 分析一分析一 求与平面所成的线面角 只需求点到面的距离即可 1 BCBCD 1 BBDC 作于 连 则 为二面角的平面角 AGBD GGCGCBD AGC ABDC 不妨设 则 在中 由60AGC 2 3AC 2 4AGGC RT ABD 易得 AD ABBD AG 6AD 设点到面的距离为 与平面 1 BBDCh 1 BC 所成的角为 利用BCD 可求得 又 1 11 33 B BCBCD SDESh h 2 3 可求得 1 4 3BC 1 1 sin30 2 h BC 即与平面所成的角为 1 BCBCD30 分析三 分析三 利用空间向量的方法求出面的法向量 则与平面所成的角即BDCn 1 BCBCD 为与法向量的夹角的余角 具体解法详见高考试题参考答案 1 BC n 总之在目前 立体几何中的两种主要的处理方法 传统方法与向量的方法仍处于各自半 壁江山的状况 命题人在这里一定会兼顾双方的利益 4 2009 全国卷 本小题满分 12 分 如图 四棱锥SABCD 中 底面ABCD为矩形 SD 底面ABCD 2AD 2DCSD 点M在侧棱SC上 ABM 60 I 证明 M是侧棱SC的中点 求二面角SAMB 的大小 解法二 解法二 分别以 DA DC DS 为 x y z 轴如图建立空间直 角坐标系 D xyz 则 2 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 2 SCBA 4 设 0 0 0 babaM 则 2 0 2 2 0 2 0 baSMbaBMBA 2 2 0 SC 由题得 SCSM BMBA 2 1 cos 即 2 22 2 1 2 2 2 2 2 22 ba ba a 解之个方程组得1 1 ba即 1 1 0 M 所以M是侧棱SC的中点 法 2 设MCSM 则 1 2 1 2 2 1 2 1 2 0 MBM 又 o ABMBAB60 0 2 0 故 o ABMBABMB60cos 即 22 1 2 1 2 2 1 4 解得1 所以M是侧棱SC的中点 由 得 1 1 2 1 1 0 MAM 又 2 0 2 AS 0 2 0 AB 设 22221111 zyxnzyxn 分别是平面SAM MAB的法向量 则 S A B C D M z x y 5 0 0 1 1 ASn MAn 且 0 0 1 2 ABn MAn 即 022 02 11 111 zx zyx 且 02 02 2 222 y zyx 分别令2 21 xx得2 0 1 1 2211 zyyz 即 2 0 2 1 1 2 21 nn 3 6 62 202 cos 21 nn 二面角SAMB 的大小 3 6 arccos 5 2009 天津卷 本小题满分 本小题满分 12 分 分 如图 在五面体 ABCDEF 中 FA 平面 ABCD AD BC FE AB AD M 为 EC 的中点 AF AB BC FE 1 2 AD I 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小 II 证明平面 AMD 平面 CDE III 求二面角 A CD E 的余弦值 方法二 如图所示 建立空间直角坐标系 点A为坐标原点 设 1 AB依题意得 001B 011C 020D 110E 100F 2 1 1 2 1 M I 解 101BF 110DE 2 1 22 100 DEBF DEBF DEcos 于是BF 所以异面直线BF与DE所成的角的大小为 0 60 II 证明 由 2 1 1 2 1 AM 101CE 0AMCE020AD 可得 AMDCEAADAM ADCEAMCE 0 ADCE平面 故又 因此 CDEAMDCDECE平面 所以平面平面而 III 0 D 0 CDE Eu CEu zyxu 则 的法向量为解 设平面 6 111 1 0 0 可得令 于是 ux zy zx 又由题设 平面ACD的一个法向量为 100 v 3 3 13 100 cos vu vu vu 所以 6 2009 年上海卷 本题满分 14 分 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 1 2AABCAB ABBC 求二面角 111 BACC 的大小 解 如图 建立空间直角坐标系 则 A 2 0 0 C 0 2 0 A1 2 0 2 w w w k s 5 u c o m B1 0 0 2 C1 0 2 2 2 分 设 AC 的中点为 M BM AC BM CC1 BM 平面 A1C1C 即BM 1 1 0 是平面 A1C1C 的一个法向量 5 分 设平面 111 ABC的一个法向量是 nx y z x y z 1 AC 2 2 2 11 AB 2 0 0 7 分 1 20 2220 1 0 1 0 1 1 10 n ABxn ACxyzzxy n 令解得 分 设法向量nBM 与的夹角为 二面角 111 BACC 的大小为 显然 为锐角 111 1 coscos 23 3 n BM n BM BACC 解得 二面角的大小为 14 分 7 7 2010 湖南 湖南 18 本小题满分 12 分 如图所示 在长方体 1111 ABCDABC D 中 AB AD 1 AA1 2 M 是 棱 CC1的中点 求异面直线 A1M 和 C1D1所成的角的正切值 证明 平面 ABM 平面 A1B1M1 18 解 如图 因为 所以异面 1111 ABDC 11B MA 直线 和所成的角 因为平面 1 A 1 C 1 D 1 A 1 B 11B BCC 所以 而 1 0 11 90 MBA 1 A 1 B 2 2 1 2 111 MCCBMB 故 2 11 1 11 BA MB BMAtan 即异面直线 和所成的角的正切值为 1 A 1 C 1 D2 由平面 BM平面 得 1 A 1 B 11B BCC 11B BCC BM 1 A 1 B 由 知 所以2 1 MB2 22 CMBCBM2 1 BB 2 1 22 1 BBBMMB 从而 BMB1M 又 再由 得 BM平面 A1B1M 而 BM 1111 BMBBA 平面 ABM 因此平面 ABM平面 A1B1M 8 2010 辽宁理数 辽宁理数 19 本小题满分 12 分 已知三棱锥 P ABC 中 PA ABC AB AC PA AC AB N 为 AB 上一点 AB 4AN M S 分别为 PB BC 的中点 证明 CM SN 求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 8 证明 设 PA 1 以 A 为原点 射线 AB AC AP 分别为 x y z 轴正向建立空间直角坐标 系如图 则 P 0 0 1 C 0 1 0 B 2 0 0 M 1 0 1 2 N 1 2 0 0 S 1 1 2 0 4 分 111 1 1 0 222 CMSN 因为 11 00 22 CMSN 所以 CM SN 6 分 1 1 0 2 NC 设 a x y z 为平面 CMN 的一个法向量 则 1 0 2 2 1 0 2 xyz x xy 令 得a 2 1 2 9 分 因为 1 1 2 2 cos 22 3 2 a SN 所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45 12 分 9 9 20102010 江西理数 江西理数 20 本小题满分 12 分 如图 BCD 与 MCD 都是边长为 2 的正三角形 平面 MCD 平面 BCD AB 平面 BCD 2 3AB 1 求点 A 到平面 MBC 的距离 2 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值 9 解法二 取 CD 中点 O 连 OB OM 则 OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 则 MO 平面BCD 以 O 为原点 直线 OC BO OM 为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角坐标系如图 OB OM 3 则各点坐标分别为 O 0 0 0 C 1 0 0 M 0 0 3 B 0 3 0 A 0 3 23 1 设 nx y z 是平面 MBC 的法向量 则BC 1 3 0 0 3 3 BM 由nBC 得30 xy 由nBM 得 330yz 取 3 1 1 0 0 2 3 nBA 则距离 2 15 5 BA n d n 2 1 0 3 CM 1 3 2 3 CA 设平面 ACM 的法向量为 1 nx y z 由 1 1 nCM nCA 得 30 32 30 xz xyz 解得3xz yz 取 1 3 1 1 n 又平面 BCD 的法向量为 0 0 1 n 则 1 1 1 1 cos 5 n n n n nn 设所求二面角为 则 2 12 5 sin1 55 10 2010 四川 四川 18 本小题满分 12 分 已知正方体 ABCD A B C D 的棱长为 1 点 M 是棱 AA 的中点 点 O 是对角线 BD 的中点 求证 OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线 求二面角 M BC B 的大小 求三棱锥 M OBC 的体积 以点 D 为坐标原点 建立如图所示空间直角坐标系 D xyz 则 A 1 0 0 B 1 1 0 C 0 1 0 A 1 0 1 C 0 1 1 D 0 0 1 1 因为点 M 是棱 AA 的中点 点 O 是 BD 的中点 所以 M 1 0 1 2 O 1 2 1 2 1 2 11 0 22 OM AA 0 0 1 BD 1 1 1 OM AA A 0 11 22 OM BD A 0 0 D AB C D M O A B C z y x M D C B O A z 10 所以 OM AA OM BD 又因为 OM 与异面直线 AA 和 BD 都相交 故 OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线 4 分 2 设平面 BMC 的一个法向量为 1 n x y z BM 0 1 1 2 BC 1 0 1 1 1 0 0 n BM n BC A A 即 1 0 2 0 yz xz 取 z 2 则 x 2 y 1 从而 1 n 2 1 2 取平面 BC B 的一个法向量为 2 n 0 1 0 cos 12 12 12 11 3 9 1 n n n n nn A AA 由图可知 二面角 M BC B 的平面角为锐角 故二面角 M BC B 的大小为 arccos 1 3 9 分 3 易知 S OBC 1 4 S BCD A 12 12 44 AA设平面 OBC 的一个法向量为 3 n x1 y1 z1 BD 1 1 1 BC 1 0 0 3 1 0 0 n BD n BC A A 即 111 1 0 0 xyz x 取 z1 1 得 y1 1 从而 3 n 0 1 1 点 M 到平面 OBC 的距离 d 3 1 2 2 4 2 BM n A VM OBC 11221 334424 OBC Sd AAA 12 分 1111 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 19 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 S ABCD 中 SD 底面 ABCD AB DC AD DC AB AD 1 DC SD 2 E 为 棱 SB 上的一点 平面 EDC 平面 SBC 证明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 11 12 11 广东理 18 如图 5 在椎体 P ABCD 中 ABCD 是边长为 1 的棱形 且 DAB 60 2PAPD PB 2 E F 分别是 BC PC 的中点 1 证明 AD 平面 DEF 2 求二面角 P AD B 的余弦值 法二 1 取 AD 中点为 G 因为 PAPD PGAD 又 60 ABADDABABD 为等边三角形 因此 BG AD 从而AD 平面 PBG 延长 BG 到 O 且使得 PO OB 又PO 平面 PBG PO AD ADOBG 所以 PO 平面 ABCD 以 O 为坐标原点 菱形的边长为单位长度 直线 OB OP 分别为x轴 z 轴 平行于 AD 的直线为 y 轴 建立如图所示空间直角坐标系 12 设 11 0 0 0 0 0 0 22 Pm G nA nD n 则 3 sin60 2 GBAB 333 13 1 0 0 1 0 0 2222242 2 nm B nC nE nF 由于 33 0 1 0 0 0 0 2242 nm ADDEFE 得 0 0 AD DEAD FEADDE ADFE DEFEE AD 平面 DEF 2 13 0 22 PAnm PBnm 2222 133 2 2 1 422 mnnmmn 解之得 取平面 ABD 的法向量 1 0 0 1 n 设平面 PAD 的法向量 2 na b c 由 22 33 0 0 0 0 2222 bb PA nacPD nac 得由得 取 2 3 1 0 2 n 13 12 3 21 2 cos 7 7 1 4 n n 13 11 湖南理 19 如图 5 在圆锥PO中 已知PO 2 O 的直径2AB C是 A AB的中点 D为AC的 中点 证明 平面POD 平面PAC 求二面角B PAC 的余弦值 解法 2 I 如图所示 以 O 为坐标原点 OB OC OP 所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建 立空间直角坐标系 则 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 OABCP 1 1 0 2 2 D 设 1111 nx y z 是平面 POD 的一个法向量 则由 11 0 0n ODn OP 得 11 1 11 0 22 20 xy z 所以 11111 0 1 1 1 0 zxyyn 取得 设 2222 nxyz 是平面 PAC 的一个法向量 则由 22 0 0nPAnPC 得 22 22 20 20 xz yz 所以 22222 2 2 1 xzyz 取z 得 2 2 2 1 n 因为 12 1 1 0 2 2 1 0 n n 所以 12 nn 从而平面POD 平面 PAC II 因为 y 轴 平面 PAB 所以平面 PAB 的一个法向量为 3 0 1 0 n 由 I 知 平面 PAC 的一个法向量为 2 2 2 1 n 14 设向量 23 nn和 的夹角为 则 23 23 210 cos 55 nn nn 由图可知 二面角 B PA C 的平面角与 相等 所以二面角 B PA C 的余弦值为 10 5 14 11 辽宁理 18 如图 四边形 ABCD 为正方形 PD 平面 ABCD PD QA QA AB 1 2PD I 证明 平面 PQC 平面 DCQ II 求二面角 Q BP C 的余弦值 解 如图 以 D 为坐标原点 线段 DA 的长为单位长 射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标 系 D xyz I 依题意有 Q 1 1 0 C 0 0 1 P 0 2 0 则 1 1 0 0 0 1 1 1 0 DQDCPQ 所以 0 0 PQ DQPQ DC 即 PQ DQ PQ DC 故 PQ 平面 DCQ 又 PQ 平面 PQC 所以平面 PQC 平面 DCQ 6 分 II 依题意有 B 1 0 1 1 0 0 1 2 1 CBBP 设 nx y z 是平面 PBC 的法向量 则 0 0 20 0 n CBx xyz n BP 即 因此可取 0 1 2 n 设 m 是平面 PBQ 的法向量 则 0 0 m BP m PQ 可取 15 1 1 1 cos 5 mm n 所以 15 故二面角 Q BP C 的余弦值为 15 5 12 分 15 11 全国大纲理 19 如图 四棱锥S ABCD 中 ABCD BC CD 侧面SAB为等边三角形 2 1ABBCCDSD 证明 SD SAB 平面 求AB与平面SBC所成角的大小 解 以 C 为坐标原点 射线 CD 为 x 轴正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz 设 D 1 0 0 则 A 2 2 0 B 0 2 0 又设 0 0 0 S x y z