高考直线方程题型归纳

高考直线方程题型归纳高考直线方程题型归纳 知识点梳理知识点梳理 1 点斜式方程点斜式方程 设直线l过点P0 x0 y0 且斜率为k 则直线的方程为y y0 k x x0 由于此方程是由直线上一点P0 x0 y0 和斜率k所确定的直线方程 我们把这个方程 叫做直线的点斜式方程 注意 利用点斜式求直线方程时 需要先判断斜率存在与否 1 当直线l的倾斜角 90 时 斜率k不存在 不能用点斜式 方程表示 但这时直线l恰与y轴平行或重合 这时直线l上每个点的横 坐标都等于x0 所以此时的方程为x x0 2 当直线l的倾斜角 0 时 k 0 此时直线l的方程为 y y0 即y y0 0 3 当直线l的倾斜角不为0 或90 时 可以直接代入方程求 解 2 斜截式方程斜截式方程 如果一条直线通过点 0 b 且斜率为k 则直线的点斜式方程为y kx b 其中k为斜率 b叫做直线y kx b在y轴上的截距 简称直线的截距 注意 利用斜截式求直线方程时 需要先判断斜率存在与否 1 并非所有直线在y轴上都有截距 当直线的斜率不存在时 如直线x 2在y轴 上就没有截距 即只有不与y轴平行的直线在y轴上有截距 从而得斜截式方程不能表 示与x轴垂直的直线的方程 2 直线的斜截式方程y kx b是y关于x的函数 当k 0时 该函数为常量函数 x b 当k 0时 该函数为一次函数 且当k 0时 函数单调递增 当k 0时 函数单调 递减 3 直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例 要注意它们之间的区别和联 系及其相互转化 3 直线的两点式方程直线的两点式方程 若直线l经过两点A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 则直线l的方程为 这 11 2121 yyxx yyxx 种形式的方程叫做直线的两点式方程 注意 1 当直线没有斜率 x1 x2 或斜率为零 y1 y2 时 不能用两点式表 11 2121 yyxx yyxx 示它的方程 2 可以把两点式的方程化为整式 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 就可以用它来求 过平面上任意两点的直线方程 如过两点 A 1 2 B 1 3 的直线方程可以求得 x 1 过两点 A 1 3 B 2 3 的直线方程可以求得 y 3 3 需要特别注意整式 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 与两点式方程 的区别 前者对于任意的两点都适用 而后者则有条件的限制 两者并 11 2121 yyxx yyxx 不相同 前者是后者的拓展 4 直线的截距式方程直线的截距式方程 若直线 l 在 x 轴上的截距是 a 在 y 轴上的截距是 b 且 a 0 b 0 则直线 l 的方程 为 这种形式的方程叫做直线的截距式方程 1 xy ab 注意 1 方程的条件限制为 a 0 b 0 即两个截距均不能为零 因此截距式方程不能 表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线 2 用截距式方程最便于作图 要注意截距是坐标而不是长度 3 要注意 截距相等 与 截距绝对值相等 是两个不同的概念 截距式中的截距可正 可负 但不可为零 截距式方程的应用 1 与坐标轴围成的三角形的周长为 a b 22 ab 2 直线与坐标轴围成的三角形面积为 S 1 2 ab 3 直线在两坐标轴上的截距相等 则 k 1 或直线过原点 常设此方程为 x y a 或 y kx 5 直线方程的一般形式直线方程的一般形式 方程Ax By C 0 A B不全为零 叫做直线的一般式方程 注意 1 两个独立的条件可求直线方程 求直线方程 表面上需求 A B C 三个系数 由于 A B 不同时为零 若 A 0 则方程化为 只需确定的值 0 BC xy AA B C A A 若 B 0 同理只需确定两个数值即可 因此 只要给出两个条件 就可以求出直线方程 2 直线方程的其他形式都可以化成一般式 解题时 如果没有特殊说明应把最后 结果化为一般式 一般式也可以化为其他形式 3 在一般式 Ax By C 0 A B 不全为零 中 若 A 0 则 y 它表示一条与 y 轴垂直的直线 C B 若 B 0 则 它表示一条与 x 轴垂直的直线 C x A 6 直线方程的选择直线方程的选择 1 待定系数法是求直线方程的最基本 最常用的方法 但要注意选择形式 一般地 已知一点 可以待定斜率k 但要注意讨论斜率k不存在的情形 如果已知斜率可以选 择斜截式待定截距等 2 直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性 解题过程中要能够根据不同的题 设条件 灵活选用恰当的直线形式求直线方程 请参看下表 直线形式直线方程局限性选择条件 点斜式不能表示与 x 轴垂 直的直线 已知一个定点和斜率 k 已知一点 可设点斜式 方程 斜截式不能表示与 x 轴垂 直的直线 已知在 y 轴上的截距 已知斜率 可设斜截式 方程 两点式不能表示与 x 轴 y 轴垂直的直线 已知两个定点 已知两个截距 截距式不能表示与x轴垂直 与y 轴垂直 过原 点的的直线 已知两个截距 已知直线与坐标轴围成 三角形的面积问题可设 截距式方程 一般式能表示所有的直线求直线方程的最后结果 均可以化为一般式方程 典型例题剖析典型例题剖析 题型题型1 直线的点斜式方程 直线的点斜式方程 例1 一条直线经过点M 2 3 倾斜角 135 求这条直线的方程 例2 求斜率为 且分别满足下列条件的直线方程 3 3 1 经过点M 1 2 在x轴上的截距是 5 3 题型题型2 直线的斜截式方程 直线的斜截式方程 例3 若直线Ax By C 0通过第二 三 四象限 则系数A B C需满足条件 A A B C同号 B AC 0 BC 0 C C 0 AB 0 D A 0 BC0 将 ABC分割为面积相等的两部 分 则b的取值范围是 A 0 1 B C D 例 21 在平面直角坐标系中 定义 d P Q x1 x2 y1 y2 为两点 P x1 y1 Q x2 y2 之间的 折线距离 在这个定义下 给出下列命题 到原点的 折线距离 等于 1 的点的集合是一个圆 到原点的 折线距离 小于等于 2 的点构成的区域面积为 8 到 M 0 2 N 0 2 两点的 折线距离 相等的点的轨迹方程是 y 0 直线 y x 1 上的点到 N 0 2 的 折线距离 的最小值为 1 其中真命题有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 例 22 已知两定点 M 2 0 N 2 0 若直线上存在点 P 使得 则该 称直线为 A 型直线 给出下列直线 其中是 A 型直线 的序号是 例 23 已知直线l A B不全为 0 两点 若 且 则 A 直线l与直线 P1P2不相交 B 直线l与线段 P2 P1的延长线相交 C 直线l与线段 P1 P2的延长线相交 D 直线l与线段 P1P2相交 例 24 已知实数 x y 满足 y x2 2x 2 1 x 1 试求的最大值与最小值 y 3 x 2 强化训练强化训练 1 下列说法中不正确的是 A 点斜式y y0 k x x0 适用于不垂直于x轴的任何直线 B 斜截式y kx b适用于不垂直x轴的任何直线 C 两点式适用于不垂直于坐标轴的任何直线 11 2121 yyxx yyxx D 截距式适用于不过原点的任何直线1 xy ab 2 直线3x 2y 4的截距式方程为 A B C D 3 1 42 xy 1 11 32 xy 3 1 42 xy 1 4 2 3 xy 3 过点 3 4 且平行于x轴的直线方程是 过点 5 2 且平 行于y轴的直线方程是