空间向量与立体几何知识总结(高考必备!)

1 y k i A x y z Oj x z 辅导科目 辅导科目 数学 授课教师 授课教师 全国章年级 年级 高二上课时间 上课时间 教材版本 教材版本 人教版 总课时 总课时 已上课时 已上课时 课时学生签名 学生签名 课课 题题 名名 称称 教教 学学 目目 标标 重点 难点 考重点 难点 考 点点 教学步骤及内容教学步骤及内容 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 一 空间直角坐标系的建立及点的坐标表示一 空间直角坐标系的建立及点的坐标表示 空间直角坐标系中的坐标 如图给定空间直角坐标系和向量 设 单位正交基a i j k 底 为坐标向量 则存在唯一的有序实数组 使 有序实数组叫作 123 a a a 123 aa ia ja k 123 a a a 向量在空间直角坐标系中的坐标 记作 在空间直角坐标系a Oxyz 123 aa a a 中 对空间任一点 存在唯一的有序实数组 使 Oxyz A x y zOAxiyjzk 有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标 记作 x y zAOxyz A x y z 叫横坐标 叫纵坐标 叫竖坐标 xyz 二 空间向量的直角坐标运算律二 空间向量的直角坐标运算律 1 若 123 aa a a 123 bb b b 则 112233 abab ab ab 112233 abab ab ab 123 aaaaR 112233 abab ab abR 2 若 则 111 A x y z 222 B xyz 212121 ABxx yy zz 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 3 abba 11 22 33 ba baR ba 三 空间向量直角坐标的数量积三 空间向量直角坐标的数量积 1 设是空间两个非零向量 我们把数量叫作向量的数量积 记作 即 ba baba cos ba ba ba 规定 零向量与任一向量的数量积为 0 baba cos 2 模长公式 222 123 aa axxx 3 两点间的距离公式 若 111 A x y z 222 B xyz 则 2 222 212121 ABABxxyyzz 或 222 212121 A B dxxyyzz 2 AB C D E 4 夹角 注 是两个非零向量 cos a b a b ab 0 aba ba b 2 2 aa aa 5 空间向量数量积的性质 cos a eaa e 0aba b 2 aa a 6 运算律 abba abba cabacba 四 直线的方向向量及平面的法向量四 直线的方向向量及平面的法向量 1 直线的方向向量 我们把直线 上的向量以及与共线的向量叫做直线 的方向向量leel 2 平面的法向量 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面 记作 如n n 果 那么向量叫做平面 的法向量 nn 注 若 则称直线 为平面的法线 l l 平面的法向量就是法线的方向向量 给定平面的法向量及平面上一点的坐标 可以确定一个平面 3 在空间求平面的法向量的方法 1 直接法 找一条与平面垂直的直线 求该直线的方向向量 2 待定系数法 建立空间直接坐标系 设平面的法向量为 nx y z 在平面内找两个不共线的向量和 111 ax y z 222 bxy z 建立方程组 0 0 n a n b 解方程组 取其中的一组解即可 五 证明五 证明 1 证明两直线平行 已知两直线和 则存在唯一的实数使abbDCaBA ba ABCD 2 证明直线和平面平行 1 已知直线且三点不共线 则 存在有序实数对使 EDCaBAa a ABCDCE 2 已知直线和平面的法向量 则 aBAa nanAB 3 证明两个平面平行 已知两个不重合平面 法向量分别为 则 nm nm 4 证明两直线垂直 已知直线 则ba bDCaBA 0 CDABba 5 证明直线和平面垂直 已知直线 且 A B 面的法向量为 则 和平面aa m aABm 6 证明两个平面垂直 已知两个平面 两个平面的法向量分别为 则 m n mn 六 计算角与距离六 计算角与距离 1 求两异面直线所成的角 3 已知两异面直线 则异面直线所成的角为 ba A Ba C Db cos ABCD AB CD 例题例题 空间向量基本定理空间向量基本定理 例1 已知矩形 ABCD P 为平面 ABCD 外一点 且 PA 平面 ABCD M N 分别为 PC PD 上的点 且 M 分成定 比2 N 分 PD 成定比1 求满足的实数 x y z 的值 分析 结合图形 从向量出发 利用向量运算法则不断进行分解 直到全部向量都用 表示出来 即可求出 x y z 的值 如图所示 取 PC 的中点 E 连接 NE 则 点评 选定空间不共面的三个向量作基向量 并用它们表示出指定的向量 是用向量解决立体几何问题的一项基本 功 要结合已知和所求 观察图形 联想相关的运算法则和公式等 就近表示所需向量 再对照目标 将不符合目标要 求的向量当作新的所需向量 如此继续下去 直到所有向量都符合目标要求为止 这就是向量的分解 有分解才有组合 组合是分解的表现形式 空间向量基本定理恰好说明 用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向 量 而且 a b c 的系数是惟一的 利用空间向量证明平行 垂直问题利用空间向量证明平行 垂直问题 例2 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是正方形 侧棱 PD 底面 ABCD PD DC E 是 PC 的中点 作 EF PB 于点 F 1 证明 PA 平面 EDB 2 证明 PB 平面 EFD 3 求二面角 C PB D 的大小 点评 1 证明两条直线平行 只需证明这两条直线的方向向量是共线向量 2 证明线面平行的方法 4 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线 利用共面向量定理 即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量 3 证明面面平行的方法 转化为线线平行 线面平行处理 证明这两个平面的法向量是共线向量 4 证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直 5 证明线面垂直的方法 证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量 证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直 6 证明面面垂直的方法 转化为线线垂直 线面垂直处理 证明两个平面的法向量互相垂直 用空间向量求空间角用空间向量求空间角 例3 正方形 ABCD 中 E F 分别是 的中点 求 1 异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值 2 二面角 C AE F 的余弦值的大小 点评 1 两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得 即 2 直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得 即或 3 二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得 它等于两法向量的夹角或其补角 用空间向量求距离用空间向量求距离 例4 长方体 ABCD 中 AB 4 AD 6 M 是 A1C1的中点 P 在线段 BC 上 且 CP 2 Q 是 DD1的中点 求 1 异面直线 AM 与 PQ 所成角的余弦值 2 M 到直线 PQ 的距离 3 M 到平面 AB1P 的距离 5 本题用纯几何方法求解有一定难度 因此考虑建立空间直角坐标系 运用向量坐标法来解决 利用向量的模和夹角求空 间的线段长和两直线的夹角 在新高考试题中已多次出现 但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离 线与面 面与面之间所成的角和距离还涉及不深 随着新教材的推广使用 这一系列问题必将成为高考命题的一个新的 热点 现列出几类问题的解决方法 1 平面的法向量的求法 设 利用 n 与平面内的两个向量 a b 垂直 其数量积为零 列出两个三 元一次方程 联立后取其一组解 2 线面角的求法 设是平面的一个法向量 是平面的斜线 l 的一个方向向量 则直线 与平面所nAB 成角为 nAB nAB sin则 3 二面角的求法 AB CD 分别是二面角的两个面内与棱 l 垂直的异面直线 则二面角的大小为 设分别是二面角的两个平面的法向量 则就是二面角的平 面角或其补角 4 异面直线间距离的求法 是两条异面直线 n 是的公垂线段 AB 的方向向量 又 C D 分别是 上的任意两点 则 6 5 点面距离的求法 设 n 是平面的法向量 AB 是平面的一条斜线 则点 B 到平面的距离为 6 线面距 面面距均可转化为点面距离再用 5 中方法求解 练习 1 若等边ABC 的边长为2 3 平面内一点M满足 12 63 CMCBCA 则MA MB 2 在空间直角坐标系中 已知点 A 1 0 2 B 1 3 1 点 M 在 y 轴上 且 M 到 A 与到 B 的距离相等 则 M 的 坐标是 3 本小题满分 12 分 如图 在五面体 ABCDEF 中 FA 平面 ABCD AD BC FE AB AD M 为 EC 的中点 AF AB BC FE 1 2 AD I 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小 II 证明平面 AMD 平面 CDE III 求二面角 A CD E 的余弦值 7 4 本题满分 15 分 如图 平面PAC 平面ABC ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形 E F O分别为PA PB AC的中点 16AC 10PAPC I 设G是OC的中点 证明 FG平面BOE II 证明 在ABO 内存在一点M 使FM 平面BOE 并求点M到OA OB的距离 5 如图 四棱锥PABCD 的底面是正方形 PDABCD 底面 点 E 在棱 PB 上 求证 平面AECPDB 平面 当2PDAB 且 E 为 PB 的中点时 求 AE 与 平面 PDB 所成的角的大小 8 课课 后后 评评