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数学建模培训 一阶偏微分方程模型 2 偏微分方程的相关概念 偏微分方程 一个包含有多元未知函数及其偏导数的等式 方程中所含未知函数偏导数的最高阶数称为该方程的阶 如 等 如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性的 则称它是线性的 如果它关于所有最高阶偏导数是线性的 则称它是拟线性的 3 定解问题 定解条件通常包括边界条件和初始条件两种 含有定解条件的方程求解问题称为定解问题 包括初值问题 Cauchy问题 边值问题和混合问题 方程的解 若函数u连续并具有方程所涉及的连续的各阶偏导数 且该函数代入方程使得方程在某区域内成为恒等式 则称该函数为方程在该区域内的解 古典解 满足某些特定条件的解称为特解 这些条件称为定解条件 一般情况下 一个具有n个自变量的m阶方程的解可以含有m个n 1元任意函数 这样的解称为通解 4 一阶线性偏微分方程 一阶齐次线性偏微分方程 1 显然方程有平凡解u 常数 一般求其非平凡解 以下以含有3个自变量的方程为例 一般形式为 2 5 常微分方程组 3 称为方程 2 的特征方程组 每一条积分曲线 称为方程 2 的特征线 6 若由特征方程组 3 推出函数恒为常数 则称该函数为方程组 3 的一个首次积分 若特征方程组 3 的3个独立的首次积分为 则特征方程组 3 的通解为 7 例1 求解方程组 解 由 得 因此得到一个首次 积分为 再由 得 因此得到另一个首次积分为 于是原方程的隐式通解为 8 由 3 可得 4 若 4 的一个首次积分为 的一个首次积分 于是得到方程组 3 的一个等价形式 则它也称为 3 9 对于一阶齐次线性偏微分方程 2 与它的特征方程组 3 或 4 我们有以下结论 证明从略 定理1 连续可微函数是 2 的解的充分必要条件是是 4 的首次积分 定理2 如果是 4 的两个独立的首次积分 则它们的任意连续可微函数是 2 的通解 10 例2 求解方程 解 特征方程组为 或 首次积分为 于是原方程的隐式通解为 其中 为任意二元连续可微函数 11 齐次线性偏微分方程的Cauchy问题 5 其中f为已知函数 例3 求解Cauchy问题 12 解 特征方程组为 首次积分为 于是原方程的通解为 其中 为任意二元连续可微函数 将该解代入初始条件 得 13 于是 从而原Cauchy问题的解为 14 非齐次线性偏微分方程 6 其中f g为已知函数 其特征方程组为 将前面两个等式解出后代入最后一个条件即可求出三个首次积分 从而得到通解 15 一阶拟线性偏微分方程 7 其特征方程组为 8 以两个自变量的方程为例 设其首次积分为 则 7 的隐式 通解为 16 例4 求解方程 解 特征方程组为 首次积分为 于是原方程的隐式通解为 其中 为任意二元连续可微函数 17 例5 求解Cauchy问题 解 特征方程组为 首次积分为 于是原方程的隐式通解为 其中 为任意二元连续可微函数 将该解代入初始条件 得 于是有 解得 再由初始条件得Cauchy问题的解为 18 带年龄结构的线性人口发展模型 线性模型的建立 考虑一个稳定社会的人口发展过程 设人口数量不仅和时间t有关 还和年龄a有关 若人口数量很大 假设按年龄连续分布 以函数p a t 表示人口在任意时刻t按年龄a的分布密度 则在时刻t 年龄在区间 a a da 中的人口数量为p a t da 因此在时刻t的人口总数为 19 若不考虑死亡 则在时刻t t 年龄在 a a a 中的人口数量p a t t a 应等于在时刻t 年龄在区间 a t a a t 中的人口数量p a t t a 即 令 t 0 有 因此p a t 应满足 20 但实际上必须考虑死亡的影响 设 a 是单位时间内年龄在 a a da 中的人口死亡概率 则在时间段 t t dt 内 从年龄在区间 a dt a 中的人口成长为年龄在区间 a a dt 中的人口的过程中死亡人数为 于是 或 将两端同时Taylor展开 并舍去高阶项 有 21 这就是描述人口发展的一阶双曲型偏微分方程 1 方程 1 对应的初始条件为 这里p0 a 表示初始人口分布密度 要给出方程 1 所对应的边界条件p 0 t 就需要考虑人口的出生情况了 假设男女比例基本平衡 生育率为 a 则在时间段 t t dt 内出生的婴儿总数为 22 另一方面 在时间段 t t dt 内出生的婴儿总数应等于时刻t dt在年龄区间 0 dt 中的人数p 0 t dt dt 即 或 令dt 0 则得到边界条件 方程 1 与初始条件 边界条件一起便构成了人口发展的偏微分方程模型 23 2 同样 可建立带迁移的人口模型 3 其中f a t 为迁移率 24 利用特征线法结合积分变换法 可以得出模型 2 及模型 3 的解 25 非线性模型的建立 我们再考虑环境对人口的影响 设 表示t时刻的社会总人口数 考虑到人口的生存与其总容量有关 一般可用 a t N t 表示死亡率 用 a t N t 表示年龄为a的社会人口在t时刻平均单位时间内的平均生育率 即生育率 我们再考虑人口迁移因素 设f a t 表示t时刻年龄为a的社会人口在单位时间 单位年龄内的迁移人数 则有更一般的非线性人口发展系统 26 4 27 精神病用药问题的方程模型 问题的提出 精神病药物研究需测定新药的效果 例如治疗帕金森症的多巴胺的脑部注射效果 为了精确估计药物影响的脑部区域 我们必须估计注射后药物在空间的分布形状和尺寸 研究的数据包括50根圆柱组织样本中每一根所含药物的测量值 见表1 表2及图1 每一圆柱的长度为0 76mm 直径为0 66mm 这些平行圆柱的中心位于1mm 0 76mm 1mm的网格点上 因此 圆 28 表1后方垂直截面 表2前方垂直截面 柱在底面相互接触 侧面互不接触 注 一个计量单位表示4 753 10 13mol l的多巴胺 表中的数字如28353表示中间后部圆柱含有28353个单位的药物 试估计药物在它影响区域中的分布 29 图1药物含量分布图 30 假设 忽略样本组织中多巴胺的原始含量 假设样本组织的大小与其余脑组织的大小相比可以忽略 且样本组织不靠近脑边界 假设大脑是均匀的 扩散和衰减决定了多巴胺在大脑中迁移过程 忽略对流过程的影响 假设仅进行一次多巴胺注射 注射位于原点 假设注射和取样之间有较长时间间隔 可以忽略注射过程和各个柱体取样时间的差别 31 在假设中 我们认为分子扩散和成分衰减是主要的迁移方式 成分的衰减显然可看作是与多巴胺的含量密度 浓度 C x y z t 剂量单位 mm3 成正比的 设该比例系数 即成分衰减系数 为k 下面来考虑分子的扩散 先考虑物质仅沿x轴方向的扩散 如图2 垂直于x轴任作柱体 截面为A 方程模型的建立 图2 32 一方面 该柱体中物质扩散时位于区间段 x x x 的物质在时间段 t t dt 内的增量为 另一方面 扩散理论中的涅恩斯特实验定律告诉我们 在时间 t内 物质沿x轴正向流过x处截面 面积为A 的质量为 其中Ex 0称为x方向的扩散系数 33 同理 在时间 t内 物质沿x轴正向流过x x处截面的质量为 于是在时间 t内 流入微元体 x x x 内的物质质量为 34 显然 即 由于大脑是均匀的 显然沿各方向的扩散是一致的 且扩散系数Ex Ey Ez 均为常数 再考虑到成分的衰减 应有 5 35 又设t 0时瞬时点源的剂量为M 则 其中 6 6 6 式为方程 5 的初始条件 5 6 即构成了用药问题的方程模型 利用积分变换法可求得其解 36 偏微分方程的傅里叶变换解法 傅里叶变换及其基本性质 若f x 在 l l 分段连续可导 逐段光滑 则f x 在 l l 可以展开为Fourier级数 其中 37 将系数代入 并设f x 在 内绝对可积 则整理可得 令 则 称g 为f x 的傅里叶变换 记为F f 称f x 为g 的傅里叶逆变换 记为F 1 f 38 性质1 性质2 性质3 性质4 其中定义卷积 性质5 39 例求解定解问题 关于x进行傅里叶变换 记F u U F 则有 其解为 傅里叶变换法求解偏微分方程 40 于是原问题的解为 而 故 41 偏微分方程的分离变量解法 下面来求解定解问题 1 2 3 42 作具有分离变量形式的试解u x t X x T t 代入方程 1 得 4 5 即有 从而得到两个常微分方程 43 再将试解u x t X x T t 代入边界条件 2 得 6 即有 下面首先来求解本征值问题 5 6 的非零解 当 0时 常微分方程 5 的通解为 由 6 得 44 当 0时 常微分方程 5 的通解为 由 6 得 当 0时 常微分方程 5 的通解为 由 6 得 欲求得非零