高中数学平面向量专题复习(含例题练习)

1 平面向量专题复习平面向量专题复习 一 向量有关概念 1 向量的概念 既有大小又有方向的量 注意向量和数量的区别 向量常用有向线段来表示 注意 不能说向量就是有向线段 为什么 向量可以平移 如 2 零向量 长度为 0 的向量叫零向量 记作 注意零向量的方向是任意的 0 3 单位向量 长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与共线的单位向量是 AB AB AB 4 相等向量 长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量 相等向量有传递性 5 平行向量 也叫共线向量 方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量 记作 abab 规定零向量和任何向量平行 提醒 相等向量一定是共线向量 但共线向量不一定相等 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念 两个向量平行包含两个向量共线 但两条直 线平行不包含两条直线重合 平行向量无传递性 因为有平行向量无传递性 因为有 0 三点共线共线 ABC AB AC 6 相反向量 长度相等方向相反的向量叫做相反向量 的相反向量是 如aa 例 1 1 若 则 2 两个向量相等的充要条件是它们的起点相同 终点相同 3 ab ab 若 则是平行四边形 4 若是平行四边形 则 5 若 ABDC ABCDABCDABDC ab bc 则 6 若 则 其中正确的是 ac ab bc ac 2 向量的表示 1 几何表示法 用带箭头的有向线段表示 如 注意起点在前 终点在后 AB 2 符号表示法 用一个小写的英文字母来表示 如 等 abc 3 坐标表示法 在平面内建立直角坐标系 以与轴 轴方向相同的两个单位向量 为基底 xyij 则平面内的任一向量可表示为 称为向量的坐标 叫做向量a axiy jx y x yaa x y 的坐标表示 如果向量的起点在原点 那么向量的坐标与向量的终点坐标相同 a 三 平面向量的基本定理 如果平面向量的基本定理 如果e e1 1和和e e2 2是同一平面内的两个不共线向量 那么对该平面内的任一向量是同一平面内的两个不共线向量 那么对该平面内的任一向量 a a 有且只有一对实数 有且只有一对实数 使 使a a e e1 1 e e2 2 如 1 2 1 2 例 2 1 若 则 1 1 ab 1 1 1 2 c c 2 下列向量组中 能作为平面内所有向量基底的是 A B 12 0 0 1 2 ee 12 1 2 5 7 ee C D 12 3 5 6 10 ee 12 13 2 3 24 ee 3 已知分别是的边上的中线 且 则可用向量表示 AD BE ABC BC AC ADa BEb BC a b 为 4 已知中 点在边上 且 则的值是 ABC DBC DBCD2 ACsABrCDsr 四 实数与向量的积 实数与向量的积是一个向量 记作 它的长度和方向规定如下 a a 2 当 0 时 的方向与的方向相同 当 0 时 的方向与的方向相 1 2aa aa aa 反 当 0 时 注意 0 0a a 五 平面向量的数量积 1 两个向量的夹角 对于非零向量 作 ab OAa OBb AOB 称为向量 的夹角 当 0 时 同向 当 时 反向 当 时 0 ab ab ab 2 垂直 ab 2 平面向量的数量积 如果两个非零向量如果两个非零向量 它们的夹角为 它们的夹角为 我们把数量 我们把数量叫做叫做ab cosa b 与与的数量积 或内积或点积 的数量积 或内积或点积 记作 记作 即 即 规定 零向量与任一向量的数 规定 零向量与任一向量的数aba ba bcosa b 量积是量积是 0 0 注意数量积是一个实数 不再是一个向量 注意数量积是一个实数 不再是一个向量 3 在上的投影为 它是一个实数 但不一定大于 0 ba cosb 4 的几何意义 数量积的几何意义 数量积等于等于的模的模与与在在上的投影的积 上的投影的积 a ba ba a ba 5 向量数量积的性质 设两个非零向量 其夹角为 则 ab 0aba b 当 同向时 特别地 当与反向时 aba ba b 2 22 aa aaaa ab 当为锐角时 0 且不同向 是为锐角的必要非充分条件 a ba b a b a b 0a b 当为钝角时 0 且不反向 是为钝角的必要非充分条件 a b a b 0a b 非零向量 夹角的计算公式 ab cos a b a b a ba b 例 3 如 1 ABC 中 则 3 AB4 AC5 BC BCAB 2 已知 与的夹角为 则等于 11 1 0 22 abcakb dab c d 4 k 3 已知 则等于 2 5 3aba b Aab 4 已知是两个非零向量 且 则的夹角为 a b abab 与aab 例 4 已知 且 则向量在向量上的投影为 3 a5 b12 ba a b 例 5 1 已知 如果与的夹角为锐角 则的取值范围是 2 a 2 3 b a b 2 已知的面积为 且 若 则夹角的取值范围是 OFQ S1 FQOF 2 3 2 1 S FQOF 六 向量的运算 1 几何运算 向量加法 利用 平行四边形法则 进行 但 平行四边形法则 只适用于不共线的向量 如此 之外 向量加法还可利用 三角形法则 设 那么向量叫做与的和 即 ABa BCb AC a b abABBCAC 向量的减法 用 三角形法则 设 由减向量的 ABa ACbabABACCA 那么 终点指向被减向量的终点 注意 此处减向量与被减向量的起点相同 2 坐标运算 设 则 1122 ax ybxy 3 向量的加减法运算 12 abxx 12 yy 实数与向量的积 1111 ax yxy 若 则 即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线 1122 A x yB xy 2121 ABxx yy 段的终点坐标减去起点坐标 平面向量数量积 如 1212 a bx xy y 已知向量 sinx cosx sinx sinx 1 0 1 若 x 求向量 abc 3 a 的夹角 2 若 x 函数的最大值为 求的值c 4 8 3 baxf 2 1 向量的模 2 22222 axyaaxy 两点间的距离 若 则 1122 A x yB xy 22 2121 ABxxyy 例 6 ABBCCD ABADDC ABCDACBD 例 7 1 已知点 若 则当 时 点 P 在第一 2 3 5 4 AB 7 10 C APABACR 三象限的角平分线上 2 已知 则 1 2 3 1 4 sin cos 2 ABABxy 且 2 2 x y xy 例 8 设 且 则 C D 的坐标分别是 2 3 1 5 AB 1 3 ACAB 3ADAB 例 9 已知均为单位向量 它们的夹角为 那么 a b 60 3 ab 七 向量的运算律 1 交换律 abba aa a bb a 2 结合律 abcabc abcabc aba bab 3 分配律 aaaabab abca cb c 例 10 下列命题中 cabacba cbacba 2 ab 2 a 若 则或 若则 2 2 abb 0 ba0 a0 b a bc b ac 2 2 aa 其中正确的是 2 a bb a a 22 2 a bab 22 2 2abaa bb 提醒 1 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别 对于一个向量等式 可以移项 两边平方 两边同乘以一个实数 两边同时取模 两边同乘以一个向量 但不能两边同除以一个向量 即两边不能 约去一个向量 切记两向量不能相除 相约 2 向量的 乘法 不满足结合律 即 cbacba 为什么 八 向量平行 共线 的充要条件 0 abab 22 a ba b 1212 x yy x 例 11 1 若向量 当 时与共线且方向相同 1 4 axbx xa b 2 已知 且 则x 1 1 4 abx 2uab 2vab uv 3 设 则k 时 A B C 共线 12 4 5 10 PAkPBPCk 4 九 向量垂直的充要条件 特别地0 aba babab 1212 0 x xy y ABACABAC ABACABAC 例 11 1 已知 若 则 1 2 3 OAOBm OAOB m 2 以原点 O 和 A 4 2 为两个顶点作等腰直角三角形 OAB 则点 B 的坐标是 90B 3 已知向量 且 则的坐标是 na b nm nm m 十 向量中一些常用的结论 1 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量 要注意运用 2 特别地 当同向或有 ababab a b 0 abab 当反向或有 当不共线 abab a b 0 abab abab a b 这些和实数比较类似 ababab 3 在中 若 则其重心的坐标为ABC 112233 A x yB xyC xy 123123 33 xxxyyy G 为的重心 特别地为的重 1 3 PGPAPBPC GABC 0PAPBPCP ABC 心 为的垂心 PA PBPB PCPC PAP ABC 向量所在直线过的内心 是的角平分线所在直线 0 ACAB ABAC ABC BAC 4 向量中三终点共线存在实数使得且 PA PB PC ABC PAPBPC 1 例 12 若 ABC 的三边的中点分别为 2 1 3 4 1 1 则 ABC 的重心的坐标为 例 13 平面直角坐标系中 为坐标原点 已知两点 若点满足 O 1 3 A 3 1 BC OC OBOA 21 其中且 则点的轨迹是 R 21 1 21 C 5 AD B C P 高考真题选讲高考真题选讲 一 选择题 1 设xR 向量 1 1 2 axb 且ab 则 ab A 5B 10C 2 5D 10 3 在ABC 中 90A 1AB 设点 P Q满足 1 APAB AQACR 若2BQ CP 则 A 1 3 B 2 3 C 4 3 D 2 4 设a b 都是非零向量 下列四个条件中 使 ab ab 成立的充分条件是 A ab 且 ab B ab C ab D 2ab 5 已知向量 a 1 1 b 2 x 若 a b 1 则 x A 1B 1 2 C 1 2 D 1 6 对任意两个非零的平面向量 和 定义 若平面向量a b满足0 ab a与b的夹 角0 4 且 a b和 b a都在集合 2 n nZ 中 则 a b A 1 2 B 1C 3 2 D 5 2 7 若向量 1 2AB 3 4BC 则AC A 4 6B 4 6 C 2 2 D 2 2 9 ABC 中 AB边的高为CD 若CBa CAb 0a b 1a 2b 则AD A 11 33 ab B 22 33 ab C 33 55 ab D 44 55 ab 二 填空题 10 在 ABC 中 M 是 BC 的中点 AM 3 BC 10 则AB AC 12 已知向量a b夹角为 0 45 且 a 1 2 ab 10 则 b 14 如图 在平行四边形 ABCD 中 AP BD 垂足为 P 3AP 且AP AC A 6 15 已知向量 1 0 1 1 ab 则 与2ab 同向的单位向量的坐标表示为 向量3ba 与向量a 夹角的余弦值为 16 已知正方形 ABCD 的边长为 1 点 E 是 AB 边上的动点 则DE CB 的值为 17 设向量 1 2 1 1 2 am bmcm 若 ac b 则a 巩固练习 例 1 设 A B C D O 是平面上的任意五点 试化简 ABBCCD DBACBD OAOCOBCO 例 2 设非零向量 不共线 k k k R 若 试求 k 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a b c a b d a b c d 例 3 已知向量 且 求实数的值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 2 1 2abxuab 2vab uv x 7 例 4 已知点 试用向量方法求直线和 为坐标原点 交点的坐 6 2 4 4 0 4 CBAACOBOP 标 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例 5 已知两单位向量与的夹角为 若 试求与的夹角 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a b 0 1202 3cab dba c d 例 6 已知 按下列条件求实数的值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 3a 1 2b mab