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两圆的公共弦（新高二）如果两圆C:x+y+Dx+Ey+F=0与C:x+y+Dx+Ey+F=0相交，则对应一条公共弦AB，将这两圆的方程相减可以得到(DD)x+(EE)y+(FF)=0,因为两圆相交，所以DD与EE不同时为零，从而得到的方程表示一条直线，且两圆的公共点A,B的坐标满足圆的方程，故必满足直线的方程，从而知A,B在此直线上，故此直线就是两圆的公共弦所在的直线结论如果两圆C:x+y+Dx+Ey+F=0与C:x+y+Dx+Ey+F=0相交，则公共弦所在直线的方程为(DD)x+(EE)y+(FF)=0.由这个结论我们可以给出“求圆外一点对应的切点弦方程”的另一个方法：过圆C:(xa)+(yb)=r外一点P(x,y)作圆的两条切线PA,PB，其中A,B为切点，求切点弦AB所在的直线方程解因为PAC=PBC，所以P,A,C,B四点共圆，且PC为直径，所以这四点所在的圆的方程为(xa)(xx)+(yb)(yy)=0,记此圆为圆M则圆C与圆M的公共弦就是切点弦，两圆的方程相减即得切点弦所在直线的方程(xa)(xa)+(yb)(yb)=r.注上面的过程中用到：以(x,y),(x,y)为直径的圆的方程为(xx)(xx)+(yy)(yy)=0,这个结论也是圆中常见的结论，很容易证明例题一(1)圆C:x+y+4x+1=0及圆C:x+y+2x+2y+1=0的公共弦长为_，以公共弦为直径的圆的方程为_；(2)若圆(xa)+(yb)=b+1始终平分圆(x+1)+(y+1)=4的周长，则a,b满足的关系是_分析与解(1)两圆相减得xy=0，第二个圆的圆心(1,1)恰在公共弦上，所以公共弦为第二个圆的直径，从而知公共弦长为2，以公共弦为直径的圆的方程为x+y+2x+2y+1=0，(2)两圆相减得公共弦所在直线的方程为(2+2a)x+(2+2b)y(a+1)=0,由题意知，公共弦始终为第二个圆的直径，即第二个圆的圆心(1,1)始终在公共弦上，代入整理得a+2a+2b+5=0.例题二圆O:x+y=4与圆C:x+y8x+8=0的公共弦为AB，则四边形OACB的面积为_分析与解将两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为x=于是圆心O到公共弦AB的距离d=，从而知AB=,故公共弦AB=又因为ABOC，所以所求四边形面积S=OCAB=2.最后给出两道练习：练习一已知两圆x+y=50和x+y12x6y+40=0相交于A,B两点，则直线AB的方程是_，弦AB的长度是_答案2x+y15=0，2提示第二个圆的圆心(6,3)在公共弦上，故AB是此圆的直径练习二若圆x+y=4与圆x+y+2ay6=0(a0)的公共弦长为2，则a=_答案注“将两个圆的方程相减得到的方程是公共弦方程”的前提是两圆相交当两圆相切时，方程相减得到的直线为两圆的一条公切线；当两圆相离时，方程相减得到的直线仍然与圆心连线垂直，且两圆的公切线的中点均在直线
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