导数高三复习知识点总结

1 拓展材料三 导数及其应用 详细答案 一 本单元在高考中的地位和作用本单元在高考中的地位和作用 导数是研究函数的有力工具 是对学生进行理性思维训练的良好素 材 导数在处理单调性 最值等问题时 能降低思维难度 简化解题过程 其地位由解决问题的辅助工具上升为解决问题的有力工具 因此导数的 应用是导数的重点内容 从近几年的高考命题分析 对导数主要考查导数的几何意义 导数的 基本性质和应用以及综合推理能力 这三个热点 可分为三个层次 第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景 如瞬时速度 加 速度 切线的斜率等 求导公式 m xc m为有理数 xxaexx a xx log ln cos sin的导数 和求导法则 第二层次是导数的应用 包括求函数的极值 求函数的单调区间 证明函数的单调性等 第三层次是综合考查 包括解决应用问题 将导数内容和传统内容 中有关不等式和函数的单调性 函数的零点 解析几何中的切线问题等 有机的结合在一起 设计综合试题 在高考中导数的应用主要有以下四方面 导数的几何意义 可导函数的单调性与其导数的关系 可导函数的极值与其导数的关系 2 可导函数的最值与其导数的关系 另外导数的思想方法和基本理论有着广泛的应用 除对中学数学有 重要的指导作用外 也能在中学数学的许多问题上起到居高临下和以繁 化简的作用 如函数单调性 最值等函数问题 在掌握导数的相关概念 的基础上 应用导数作出特殊函数的图象 应用导数解题的一般方法证 明某些不等式的成立和解决数列的有关问题 再根据导数所具有的几何 意义对切线相关问题及平行问题等几何问题进行了一些探讨 并最终运 用导数解决实际问题的最值 因此导数的应用为高考考查函数提供了 广阔天地 处于一种特殊的地位 是高中数学知识的一个重要交汇点 是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具 二 本单元的考纲要求 复习措施 考纲要求考纲要求 1 了解导数的概念 能利用导数定义求导数 掌握函数在一点处 的导数的定义和导数的几何意义 理解导函数的概念 了解曲线的切线的概念 在了解瞬时速度的基础上 抽象出变化率的概念 2 熟记基本导数公式 掌握两个函数四则运算的求导法则和复合 函数的求导法则 会求某些简单函 数的导数 利能够用导数求单调区间 求一个函数的最大 小 值的问题 掌握导数的基本应用 3 3 了解函数的和 差 积的求导法则的推导 掌握两个函数的商 的求导法则 能正确运用函数的和 差 积的求导法则及已有的导 数公式求某些简单函数的导数 4 了解复合函数的概念 理科 会将一个函数的复合过程进行 分解或将几个函数进行复合 掌握复合函数求导法则 并会用法则 解决一些简单问题 导数是新教材增加的内容 近几年的高考试题逐步加深 有关导数 的高考题主要考查导数的几何意义 函数的单调性 极值 应用问题中 的最值 由于导数的工具性 好多问题用导数处理显得简捷明了 用导 数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多 因此 导数在函数中 的应用作为高考命题重点应引起高度注意 考查的方向还是利用导数求 函数的极大 小 值 求函数在连续区间 a b 上的最大值或最小值 或 利用求导法解应用题 研究函数的单调性或求单调区间等 这些已成为 高考的一个新的热点问题 利用导数的几何意义作为解题工具 有可能 出现在解析几何综合试题中 复习时要注意到这一点 复习措施复习措施 1 紧扣教材 准确把握概念 法则 夯实学生解题的规范性 2 抓主线 攻重点 针对重点内容 结合前几年高考题 重点知 识点重点突破 3 重视转化 数形结合和分类讨论思想方法的运用 4 4 注意本部分知识与其它章节的联系 对与知识的交汇问题 重 点放在逻辑思维 推理能力的培养上 尽量减少繁杂运算 要充分利用 建模思想 三 本单元的典型试题类型及解题方法 策略 1 1 设函数 2 0 f xaxc a 若 0 1 0 xfdxxf 0 x0 1 则x0的值为 2 2 设函数 2132 x f xx eaxbx 已知2x 和1x 为 f x的极值点 求a和b的值 讨论 f x的单调性 设 32 2 3 g xxx 试比较 f x与 g x的大小 3 3 已知函数 32 1 3 3 f xaxbxx 其中0a 1 当ba 满足什么条件时 xf取得极值 2 已知0 a 且 xf在区间 0 1 上单调递增 试用a表示出b的取值 范围 4 4 设函数 1ln 2 xaxxf 有两个极值点 12 xx 且 12 xx I 求a的取值范围 并讨论 f x的单调性 II 证明 2 1 22 4 In f x 5 已知函数 xxf 1ln xxg 1 x x xh 1 证明 当时 恒有0 x xgxf 2 当时 不等式恒成立 求实数 k 的取值范0 x 0 k xk kx xg 围 5 拓展材料三 导数及其应用参考答案 1 解 解 112312 00000 13 333 a f x dxaxcaxcxcaxc x 2 解 解 因为 122 e 2 32 x fxxxaxbx 1 e 2 32 x xxxaxb 又 2x 和1x 为 f x的极值点 所以 2 1 0ff 因此 620 3320 ab ab 解方程组 得 1 3 a 1b 因为 1 3 a 1b 所以 1 2 e1 x fxx x 令 0fx 解得 1 2x 2 0 x 3 1x 因为当 2 x 01 时 0fx 当 2 0 1 x 时 0fx 所以 f x在 2 0 和 1 上是单调递增的 在 2 和 01 上是单调递减的 由 可知 2132 1 e 3 x f xxxx 故 21321 e e xx f xg xxxxx 令 1 exh xx 则 1 e1 x h x 令 0h x 得1x 因为 1x 时 0h x 所以 h x在 1x 上单调递减 故 1x 时 1 0h xh 因为 1x 时 0h x 所以 h x在 1x 上单调递增 故 1x 时 1 0h xh 所以对任意 x 恒有 0h x 又 2 0 x 因此 0f xg x 故对任意 x 恒有 f xg x 3 解解 1 由已知得 2 21fxaxbx 令0 xf 得 2 210axbx xf要取得极值 方 程 2 210axbx 必须有解 所以 2 440ba 即 2 ba 此时方程 2 210axbx 的根为 6 22 1 244 2 bbabba x aa 22 2 244 2 bbabba x aa 12 fxa xxxx 当0 a时 x x1 x 1 x1 x2 x2 x2 f x 0 0 f x 增函数极大值减函数极小值增函数 所以 xf在 x 1 x2处分别取得极大值和极小值 当0 a时 x x2 x 2 x2 x1 x1 x1 f x 0 0 f x 减函数极小值增函数极大值减函数 所以 xf在 x 1 x2处分别取得极大值和极小值 综上 当ba 满足 2 ba 时 xf取得极值 2 要使 xf在区间 0 1 上单调递增 需使 2 210fxaxbx 在 0 1 上恒成立 即 1 0 1 22 ax bx x 恒成立 所以 max 1 22 ax b x 设 1 22 ax g x x 2 22 1 1 222 a x a a g x xx 令 0g x 得 1 x a 或 1 x a 舍去 当1 a时 1 01 a 当 1 0 x a 时 0g x 1 22 ax g x x 单调增函数 当 1 1 x a 时 0g x 1 22 ax g x x 单调减函数 所以当 1 x a 时 g x取得最大 最大 7 值为 1 ga a 所以ba 当01a 时 1 1 a 此时 0g x 在区间 0 1 恒成立 所以 1 22 ax g x x 在区间 0 1 上单调递增 当1x 时 g x最大 最大值为 1 1 2 a g 所以 1 2 a b 综上 当1 a时 ba 当01a 时 1 2 a b 4 解解 I 2 22 2 1 11 axxa fxxx xx 令 2 22g xxxa 其对称轴为 1 2 x 由题意知 12 xx 是方程 0g x 的两个均大于1 的不相等的实根 其充要条件为 480 1 0 a ga 得 1 0 2 a 当 1 1 xx 时 0 fxf x 在 1 1 x 内为增函数 当 12 xx x 时 0 fxf x 在 12 x x内为减函数 当 2 xx 时 0 fxf x 在 2 x 内为增函数 II 由 I 2 1 0 0 0 2 gax 2 22 2 axx 2 222 2222222 1 2 1f xxalnxxxx lnx 2 设 22 1 22 1 2 h xxxx lnxx 则 22 21 122 21 1h xxxlnxxxlnx 当 1 0 2 x 时 0 h xh x 在 1 0 2 单调递增 当 0 x 时 0h x h x在 0 单调递减 8 111 2ln2 0 224 xh xh 当时 故 22 1 22 4 In f xh x 5 解 1 设 则 xgxfxF xF x x x 11 1 1 当时 所以函数在 0 单调递增 0 x0 xF xF 又在处连续 所以 即 xF0 x0 0 FxF0 xgxf 所以 xgxf 2 设 xk kx xgxG 则在 0 恒大于 0 xG xk k kxxG 2