2012届高考数学二轮复习专题立体几何

1 20122012 届高考数学二轮复习专题届高考数学二轮复习专题 立体几何立体几何 一 知识要点一 知识要点 三视图 正俯视图长对正 正侧视图高平齐 俯侧视图宽相等 立体几何中平行 垂直关系证明的思路清楚吗 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化 线 线线 面面 面 判定 线 线线 面面 面 性质 线 线线 面面 面 线面平行的判定 a bbaa 面 面 线面平行的性质 面 面 bab 线面垂直 a bacbcbcOa 面面垂直 a a 面 面 面 面 llaaa abab 面 面 面 面 aa 三类角的定义及求法 1 异面直线所成的角 0 90 2 直线与平面所成的角 0 90 时 或0b o b 二面角 二面角的平面角 30180 l oo 三类角的求法 找出或作出有关的角 证明其符合定义 并指出所求作的角 计算大小 解直角三角形 或用余弦定理 点与点 点与线 点与面 线与线 线与面 面与面间距离 将空间距离转化为两点的距离 构造三角形 解三角形求线段的长 如 等积转化法 如 正方形 ABCD A1B1C1D1中 棱长为 a 则 1 点 C 到面 AB1C1的距离为 2 点 B 到面 ACB1的距离为 3 直线 A1D1到面 AB1C1的距离为 4 面 AB1C 与面 A1DC1的距离为 5 点 B 到直线 A1C1的距离为 二 例题选讲例题选讲 1 空间几何体及三视图 例 1 用一些棱长为 1cm 的小正方体码放成一个几何体 图 1 为其俯视图 图 2 为其主视图 则这个几何体的体积最大是 cm3 图 1 俯视图 图 2 主视图 例 2 一个多面体的直观图及三视图如图所示 则 多面体ACDEF 的体积为 例 3 右图是由一些相同的小正方体构成的几何体 的三视图 这些相同的小正方体共有 个 例 4 如果一个几何体的三视图如图所示 单位长度 cm 则此几何体的表面积是 2 cm 2 例 5 矩形 ABCD 中 AB 4 BC 3 沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B AC D 则四面体 ABCD 的外接球的体积为 例 6 一个几何体的三视图中 正视图和侧视图都是矩形 俯视图是等腰直角三角形 如图 根据图中标注的长度 可以计算出该几何体的表面积是 2 平行与垂直 例 7 已知 正方体 1111 ABCD A B C D 1 AA 2 E 为棱 1 CC的中点 求证 11 B DAE 求证 AC平面 1 B DE 求三棱锥 1 BADE 的体积 例8 多面体ABCDE中 1 AEACBCAB 2 CD ABCAE面 CDAE 1 求证 BCDAE面 2 求证 BCDBED面面 例 9 如图 在四棱台 1111 ABCDABC D 中 1 D D 平面ABCD 底面ABCD是平行四边 形 AB 2AD 11 AD A B BAD 60 证明 1 AABD 证明 11 CCA BD 平面 A B C D E 3 B CD P 练习 4 如图 在四棱锥ABCDP 中 平面 PAD 平面 ABCD AB AD BAD 60 E F 分 别是 AP AD 的中点 求证 1 直线 EF 平面 PCD 2 平面 BEF 平面 PAD 例 10 如图四边形ABCD是菱形 PA 平面ABCD Q为PA的中点 求证 PC 平面QBD 平面QBD 平面PAC 3 距离与角 例 11 已知DBC 和ABC所在的平面互相垂直 且 0 120 DBCCBA 求 直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小 直线 AD 与直线 BC 所成角的大小 二面角 A BD C 的余弦值 变式与拓展 如图 BCD 是等腰直角三角形 斜边 CD 的长等于点 P 到 BC 的距离 D 是 P 在平面 BCD 上的射影 求 PB 与平面 BCD 所成角 求 BP 与平面 PCD 所成的角 B A C D P Q O R H A B C D 4 例 12 在四棱锥 P ABCD 中 已知 ABCD 为矩形 PA 平面 ABCD 设 PA AB a BC 2a 求二 面角 B PC D 的大小 例 13 如下图 直棱柱ABC A1B1C1的底面 ABC中 CA CB 1 BCA 90 棱 AA1 2 M N分别是A1B1 A1A的中点 1 求 BN 的长 2 求异面直线 BA 与1CB1的余弦值 3 求证 A1B C1M 变式与拓展 在三棱锥S ABC中 SAB SAC ACB 90 AC 2 BC 13 SB 29 1 求证 SC BC 2 求SC与AB所成角的余弦值 例 14 如图 在四棱锥ABCDP 中 底面 ABCD 是正方形 侧棱 PD底面 ABCD DCPD E 是 PC 的中点 作PBEF 交 PB 于点 F 1 证明 PA平面EDB 2 证明 PB平面 EFD 3 求二面角D PB C的大小 例 15 如图 在正四棱柱 1111 DCBAABCD 中 已知 2 AB 5 1 AAE F分别为DD1 BB1上的点 且 1 1 FBDE 求证 BE平面ACF 求点E到平面ACF的距离 B D P C A C1A1 B1 B C A S B C A 图9 A B C D F E 1 A 1 C 1 D 1 B 5 例 16 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD为矩形 侧棱PA 底面 ABCD AB BC 1 PA 2 E为PD的中点 3 求直线AC与PB所成角的余弦值 在侧面PAB内找一点N 使NE 面PAC 并求出N点到AB和AP的距离 三 考题回放三 考题回放 1 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等 体积为2 3 它的三视图 中的俯视图如右图所示 左视图是一个矩形 则这个矩形的面积是 A 4 B 2 3 c 2 D 3 2 1 l 2 l 3 l是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 A 1223 ll ll 1 l 2 l B 12 ll 1 l 3 l 13 ll C 1 l 2 l 3 l 1 l 2 l 3 l共面 D 1 l 2 l 3 l共点 1 l 2 l 3 l共面 3 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 则其侧面积等于 A 3 B 2 C 2 3 D 6 4 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 4 已知 S A B C是球O表面上的点 SAABC 平面 ABBC 1SAAB 2BC 则球O的表面积等于 A 4 B 3 C 2 D 5 用a b c表示三条不同的直线 y表示平面 给出下列命题 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c 若a y b y 则a b 若a y b y 则a b A B C D 6 直三棱柱 111 ABCA BC 中 若90BAC 1 ABACAA 则异面直线 1 BA与 1 AC所成的角等于 A 30 B 45 C 60 D 90 7 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则四面体 ABCD 的体积的最大 值为 A 2 3 3 B 4 3 3 C 2 3 D 8 3 3 8 正方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 点 E 为AD的中点 点 F 在CD上 若 EF 平面 AB1C 则 线段EF的长度等于 9 已知四棱椎PABCD 的底面是边长为 6 的正方形 侧棱PA 底面ABCD 且 8PA 则该四棱椎的体积是 10 一个几何体的正视图为一个三角形 则这个几何体可能是下列几何体中的 填入所有可能的编号 三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱 11 在如图所示的几何体中 四边形ABCD是正方形 P A B C D E 6 MA 平面ABCD PDMA E G F分别为MB PB PC的中点 且 2ADPDMA I 求证 平面EFG 平面PDC II 求三棱锥PMAB 与四棱锥PABCD 的体积之比 四 课后练习四 课后练习 1 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 w w w c o m 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是 A 和 B 和 C 和 D 和 2 平面六面体 1111 ABCDABC D 中 既与AB共面也与 1 CC共面的棱的条数为 A 3 B 4 C 5 D 6 3 已知直线 l m 平面 且l m 则 是lm 的 A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 4 已知a b为直线 为平面 在下列四个命题中 若a b 则a b 若 a b 则a b 若a a 则 若 b b 则 正确命题的个数是 A 1 B 3 C 2 D 0 5 设 l m n 为不同的直线 为不同的平面 有如下四个命题 若 l l则 若 l l则 若nlnmml 则 若nmnm 则且 A 0B 1C 2D 3 6 已知正三棱锥VABC 的主视图 俯视图如下图所示 其中 VA 4 AC 32 则该三棱锥 的左视图的面积 A 9 B 6 C 33 D 39 7 已知空间两条不同的直线nm 和两个不同的平面 则下列命题中正确的是 A 若 mnmn 则 B 若 m mnn 则 C 若 mnmn 则 D 若 mmnmn 则 8 若直线l不平行于平面a 且la 则 A a内的所有直线与l异面 B a内不存在与l平行的直线 C a内存在唯一的直线与l平行 D a内的直线与l都相交 9 高为2的四棱锥SABCD 的底面是边长为 1 的正方形 点S A B C D均在 半径为 1 的同一球面上 则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 A 10 2 B 23 2 C 3 2 D 2 10 设球的体积为 V1 它的内接正方体的体积为 V2 下列说法中最合适的是 A V1比 V2大约多一半 B V1比 V2大约多两倍半 C V1比 V2大约多一倍D V1比 V2大约多一倍半 7 11 下图是长和宽分别相等的两个矩形 给定下列三个命题 存在三棱柱 其正 主 视图 俯视图如下图 存在四棱柱 其正 主 视图 俯视图如下图 存在圆柱 其正 主 视图 俯视图如下图 其中真命题的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 12 已知正方体外接球的体积是 那么正方体的棱长为 324 3 A B C D 2 33 333 13 一个几何体的三视图如图所示 已知侧视图是一个等腰三角形 根据图中尺寸 单位 可知这个几何体的体积是 A B C D cm 3 60 cm 3 50 cm 3 30 cm 3 30 3 cm 6 545 6 5 侧 侧 侧 侧 侧 侧侧 侧 侧 14 已知 是不重合的直线 是两两不重合的平面 给出下列命题 若m 则 若 则 若 lmla ma a lm m l 若其中真命题的序号为 ll则 lmlm则 A B C D 15 在正三棱锥中 分别为 的中点 若与所成的角为 ABCD E FABCDEFBD 6 则与所成的角为 A B C D EFAC 6 4 3 2 16 已知直三棱柱ABC A1B1C1中 AC BC M N分别是A1B1 AB的中点 P点在线段上 1 AC 则与平面的位置关系是 MP 1 BCN A 垂直 B 平行 C 相交但不垂直 D 要依P点的位置而定 P M C1 B1 A1 B AC N 17 已知一个正四棱柱内接于球 该正四棱柱高为 3 体积为 24 则这个球的表面积是 18 若直线l与平面 所成角为 直线a在平面内 且与直线l异面 则直线l与直线a 4 所成的角的取值范围是 19 设 和 为不重合的两个平面 给出下列命题 1 若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线 则 平行于 2 若 外一条直线l与 内的一条直线平行 则l和 平行 3 设 和 相交于直线l 若 内有一条直线垂直于l 则 和 垂直 4 直线l与 垂直的充分必要条件是l与 内的两条直线垂直 8 上面命题中 真命题的序号 写出所有真命题的序号 20 已知右上图是一个空间几何体的三视图 则该几何体的外接球的表面积为 21 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 点 E 为AD的中点 点 F 在CD上 若 EF 平面 AB1C 则线段EF的长度等于 22 已知正方体 1111 ABCDABC D 中 E 为 11 C D的中点 则异面直线 AE 与 BC 所成的角的余 弦值为 23 如图 四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD 点 E 在线段AD上 且CE AB 1 求证 CE 平面PAD 2 若PA AB 1 AD 3 CD 2 CDA 45 求四棱锥P ABCD的体积 24 如图 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 底面 ABCD 为等腰梯形 AB CD AB 4 BC CD 2 AA1 2 E E1分别是棱 AD AA1的中点 设 F 是 AB 的中点