河南省郑州市2017届高三第三次质量预测-数学理

1 20172017 年高中毕业年级第三次质量预测年高中毕业年级第三次质量预测 理科数学试题卷理科数学试题卷 第第 卷 共卷 共 6060 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 个小题个小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 设命题 0px 2 log23xx 则p 为 A 0 x 2 log23xx B 0 x 2 log23xx C 0 x 2 log23xx D 0 x 2 log23xx 2 已知复数4mxi 32ni 若复数 n R m 则实数x的值为 A 6 B 6C 8 3 D 8 3 3 已知双曲线 22 1 32 xy aa 焦点在y轴上 若焦距为4 则a等于 A 3 2 B 5C 7D 1 2 4 已知 27 cos2 39 则sin 6 的值等于 A 1 3 B 1 3 C 1 9 D 1 9 5 设集合 1234 Ax xx x 1 0 1 i x 1 2 3 4i 那么集合A中满足条件 2222 1234 3xxxx 的元素个数为 A 60B 65C 80D 81 6 如图是某个几何体的三视图 则这个几何体体积是 A 2 2 B 2 3 C 4 3 D 4 2 7 设实数x y满足 60 2140 2100 xy xy xy 则2xy的最大值 2 为 A 25B 49C 12D 24 8 已知等比数列 n a 且 4 2 68 0 16aax dx 则 8468 2aaaa 的值为 A 2 B 2 4 C 2 8 D 2 16 9 若实数a b cR 且 2 2 56abacbca 则2abc 的最小值为 A 51 B 51 C 2 52 D 2 52 10 椭圆 22 1 54 xy 的左焦点为F 直线xa 与椭圆相交于点M N 当FMN 的周长最大时 FMN 的面积是 A 5 5 B 6 5 5 C 8 5 5 D 4 5 5 11 四面体ABCD 中 10ABCD 2 34ACBD 2 41ADBC 则四面体 ABCD 外接球的表面积为 A 50 B 100 C 200 D 300 12 设函数 f x满足 23 2 x x f xx fxe 2 2 8 e f 则 2 x 时 f x的最小值为 A 2 2 e B 2 3 2 e C 2 4 e D 2 8 e 第第 卷 共卷 共 9090 分 分 二 填空题 每题二 填空题 每题 5 5 分 满分分 满分 2020 分 将答案填在答题纸上 分 将答案填在答题纸上 13 中国有个名句 运筹帷幄之中 决胜千里之外 其中的 筹 原意是指 孙子算经 中记 载的算筹 古代是用算筹来进行计算 算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算 算筹的 摆放形式有纵横两种形式 如下表 表示一个多位数时 像阿拉伯计数一样 把各个数位的数码从左到右排列 但各位数码的筹式 需要纵横相间 个位 百位 万位数用纵式表示 十位 千位 十万位用横式表示 以此类推 例如 6613 用算筹表示就是 则 5288 用算筹式可表示为 14 若数列 n a的前n项和为 n S 且321 nn Sa 则 n a的通项公式是 n a 15 已知双曲线 22 22 1 xy C ab 的右焦点为F 过点F向双曲线的一条渐进线引垂线 垂足为M 交另一条渐近线于N 若2MFFN 则双曲线的离心率 16 在ABC 中 3 A O为平面内一点 且OAOBOC M为劣弧ABC上一动点 3 且OMpOBqOC 则pq 的取值范围为 三 解答题三 解答题 本大题共 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤骤 17 在ABC 中 角A B C所对的边分别是a b c 已知 sinsinsinBCmA mR 且 2 40abc 1 当2a 5 4 m 时 求b c的值 2 若角A为锐角 求m的取值范围 18 为了研究学生的数学核素养与抽象 能力指标x 推理 能力指标y 建模 能力指标z 的相关性 并将它们各自量化为 1 2 3 三个等级 再用综合指标wxyz 的值评定学生的 数学核心素养 若7w 则数学核心素养为一级 若56w 则数学核心素养为二级 若 34w 则数学核心素养为三级 为了了解某校学生的数学核素养 调查人员随机访问了某 校 10 名学生 得到如下结果 学生编 号 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A x y z 2 2 3 3 2 3 3 3 3 1 2 2 2 3 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 1 1 2 2 2 1 在这 10 名学生中任取两人 求这两人的建模能力指标相同的概率 2 从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人 其综合指标为a 从数学核心素养等级不 是一级的学生中任取一人 其综合指标为b 记随机变量Xab 求随机变量X的分布列及 其数学期望 19 如图 在四边形ABCD中 ABCD 2 3 BCD 四边形ACFE为矩形 且CF 平面 ABCD ADCDBCCF 1 求证 EF 平面BCF 2 点M在线段EF上运动 当点M在什么位置时 平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大 并求此时二面角的余弦值 20 已知圆 222 1 0Cxyrr 与直线 0 13 5 22 lyx 相切 点A为圆 1 C上一动点 ANx 轴于点N 且动点M满足 22 22OMAMON 设动点M的轨迹为曲线C 1 求动点M的轨迹曲线C的方程 2 若直线l与曲线C相交于不同的两点P Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O 求线 4 段PQ长度的取值范围 21 已知函数 lnf xxaxa 2 2 a g xxax 1 函数 xx h xf eage 1 1x 求函数 h x的最小值 2 对任意 2 x 都有 10f xag x 成立 求a的范围 22 以直角坐标系的原点O为极点 x轴正半轴为极轴 并在两种坐标系中取相同的长度单位 已知直线l的参数方程为 1 cos 2 sin xt yt t为参数 0 曲线C的极坐标方程为 2 sin2cos0 1 求曲线C的直角坐标方程 2 设直线l与曲线C相交于A B两点 当 变化时 求AB的最小值 23 已知函数 52f xxx 1 若xR 使得 f xm 成立 求m的范围 2 求不等式 2 8150 xxf x 的解集 5 2017 年高中毕业年级第三次质量预测 数学 理科 参考答案 一 选择题 BDDBB AADDC CD 二 填空题 13 14 1 2 n n a 15 2 3 3 e 16 1 2 pq 三 解答题 1717 解 解 由题意得bcma 2 40abc I 当 5 2 4 am 时 5 2 bc 1 bc 解得 2 1 21 2 2 b b c c 或 II 2 222 2 2 222 2 2 2 2 cos23 0 1 22 2 a m aa bcbcabca Am abcbc 2 3 2 2 m 又由bcma 可得0 m 所以 6 2 2 m 18 解 I 由题可知 建模能力一级的学生是 9 A 建模能力二级的学生是 245710 A A A A A 建模能力三级的学生是 1368 A A A A 记 所取的两人的建模能力指标相同 为事件A 则 22 54 2 10 16 45 CC P A C II 由题可知 数学核心素养一级 123568 A A A A A A 数学核心素养不是一级的 47910 A A A A X的可能取值为 1 2 3 4 5 11 32 11 64 1 1 4 C C P X C C 1111 3122 11 64 7 2 24 C CC C P X C C 6 111111 312112 11 64 7 3 24 C CC CC C P X C C 1111 2111 11 64 1 4 8 C CC C P X C C 11 11 11 64 1 5 24 C C P X C C 随机变量X的分布列为 X12345 p 1 4 7 24 7 24 1 8 1 24 17711 12345 42424824 EX 29 12 19 解 解 I 在梯形ABCD中 ABCD 设1ADCDBC 又 2 3 BCD 2AB 2220 2cos603 ACABBCAB BC 222 ABACBC BCAC CFABCD 平面 ACABCD 平面 ACCF 而CFBCC ACBCF 平面 EFAC EFBCF 平面 II 由 I 可建立分别以直线CA CB CF为x轴 y轴 z轴的如图所示建立空间直角坐 标系 设1ADCDBCCF 令FM 03 则C 0 0 0 A 3 0 0 B 0 1 0 M 0 1 AB uu u r 3 1 0 BM uuu r 1 1 设 1 nx y z r 为平面MAB的一个法向量 7 由 0 0 nAB nBM ruu u r g ruuu r g 1 1 得 30 0 xy xyz 取1x 则 1 n r 1 3 3 2 n r 1 0 0 是平面FCB的一个法向量 12 12 22 n11 cos 1 3 3 1 3 4 rr g rr g n n n 03 当0 时 cos 有最小值 7 7 点M与点F重合时 平面MAB与平面FCB所成二面角最大 此时二面角的余弦值为 7 7 20 20 解 I 设动点 00 yxAyxM 由于ANx 轴于点 N 0 0 N x 又圆 0 222 1 rryxC 与直线5 2 3 2 1 0 xyl即0532 yx相切 3 5 3 14 r 圆 22 1 9 Cxy 由题意 ONAMOM 222 2 得 000 2 2 22 0 x yxxyyx 000 32 32 2 22 0 xxyyx 00 0 32 2 22 320 xxx yy 即 0 0 3 2 2 3 2 x x y y 将 2 3 22 3 yx A代入9 22 yx 得曲线C的方程为 22 1 84 xy II 1 假设直线l的斜率存在 设其方程为mkxy 设 1122 P x yQ xy 联立 22 1 84 ykxm xy 可得 222 12 4280 kxkmxm 8 由求根公式得 2 1212 22 428 1212 kmm xxx x kk 以PQ为直径的圆过坐标原点O OPOQ 即0 OP OQ 1212 0 x xy y 即 1212 0 x xkxm kxm 化简可得 22 1212 1 0 kx xkm xxm 将 代入可得0 21 883 2 22 k km 即 22 3880 mk 即 3 1 8 2 2 k m 又 22 22 12 2 64832 11 12 km PQkxxk k 将 3 1 8 2 2 k m代入 可得 2 222 2 22242 2 6432 32 41 1 32 33 11 123 12 3144 k kkk PQk kkkk 2 2 321 12 3 1 3 44k k 当且仅当 2 2 4 1 k k 即 2 2 k时等号成立 又由0 441 24 2 kk k 3 64 3 32 PQ 32 3 64 PQ 2 若直线l的斜率不存在 因以PQ为直径的圆过坐标原点O 故可设OP所在直线方程为 xy 联立 22 1 84 yx xy 解得 2 6 2 6 33 P 同理求得 2 62 6 33 Q 故 3 64 PQ 综上 得32 3 64 PQ 9 21 21 解解 I x h xxa ea x eaxxh 1 令0 x h得1 ax 当11 a即0 a时 在 1 1 上0 x h xh递增 xh的最小值为 e a ah 1 1 当111 a即20 a时 在 1 1 ax上0 x h xh为减函数 在在 1 1 ax上0 x h xh为增函数 xh的最小值为aeah a 1 1 当11 a即2 a时 在 1 1 上0 x h xh递减 xh的最小值为 aeah 1 1 综上所述 当0a 时 xh的最小值为 e a a 1 当20 a时 xh的最小值为aea 1 当2 a时 xh最小值为aea 1 II 设 2 1 ln 1 2 a F xxxxax 1 1 1ln xaxxF 2 x 当0 a时 在 2 x 上0 x F xF在 2 x 递增 xF的最小值为 0 2 F 不可能有 10f xag x 当1 a时 令0 1 1 a x xF 解得 a x 1 1 此时 1 21 a 0 1 1 a x xF x F 在 2 上递减 x F 的最大值为01 2 aF xF递减 xF的最大值为0 2 F 即 10f xag x 成立 当01 a时 此时 1 21 a 当 1 1 2 a x 时 10 0 xFxF 递增 当 1 1 a x时 0 xFxF 递减 1 1 max a FxF 0 ln a 又由于01 2 aF 在 1 1 2 a x 上0 x F xF递增 又 0 2 F 所以在 1 1 2 a x 上0 xF 显然不合题意 综上所述 1 a 22 22 解 I 由 2 sin2cos0 得 22 sin2cos 曲线C的直角坐标方程为xy2 2 II 将直线l的参数方程代入xy2 2 得 22 sin2 cos10 tt 设 A B两点对应的参数分别为 12 t t 则 12 2 2cos sin tt