2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系

第 3 讲 空间点 直线 平面之间的位置关 系 一 选择题 1 下列命题正确的个数为 经过三点确定一个平面 梯形可以确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 错误 正确 答案 C 2 若两条直线和一个平面相交成等角 则这两条直线的位置关系是 A 平行 B 异面 C 相交 D 平行 异面或相交 解析 经验证 当平行 异面或相交时 均有两条直线和一个平面相交成等 角的情况出现 故选 D 答案 D 3 若三个平面两两相交 且三条交线互相平行 则这三个平面把空间分为 A 5 部分 B 6 部分 C 7 部分 D 8 部分 解析 垂直于交线的截面如图 把空间分为 7 部分 答案 C 4 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 O 是 BD1的中点 直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M 则下列结论错误的是 A A1 M O 三点共线 B M O A1 A 四点共面 C A O C M 四点共面 D B B1 O M 四点共面 解析 因为 O 是 BD1的中点 由正方体的性质知 点 O 在直线 A1C 上 O 也是 A1C 的中点 又直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M 则 A1 M O 三点共 线 A 正确 又直线与直线外一点确定一个平面 所以 B C 正确 答案 D 5 一个正方体的展开图如图所示 A B C D 为原正方体的顶点 则在原来 的正方体中 A AB CD B AB 与 CD 相交 C AB CD D AB 与 CD 所成的角为 60 解析 如图 把展开图中的各正方形按图 a 所示的方式分别作为正方体的前 后 左 右 上 下面还原 得到图 b 所示的直观图 可见选项 A B C 不正确 正确选项为 D 图 b 中 DE AB CDE 为 AB 与 CD 所成的角 CDE 为等边三角形 CDE 60 答案 D 6 如图 四棱锥SABCD的底面为正方形 SD 底面ABCD 则下列结论中不正 确的是 A AC SB B AB 平面SCD C SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 解析 选项 A 正确 因为SD垂直于平面ABCD 而AC在平面ABCD中 所以 AC垂直于SD 再由ABCD为正方形 所以AC垂直于BD 而BD与SD相交 所以 AC垂直于平面SBD 进而垂直于SB 选项 B 正确 因为AB平行于 CD 而CD在平面SCD内 AB不在平面SCD内 所以AB平行于平面SCD 选 项 C 正确 设AC与BD的交点为O 连接SO 则SA与平面SBD所成的角就 是 ASO SC与平面SBD所成的角就是 CSO 易知这两个角相等 选项 D 错误 AB与SC所成的角等于 SCD 而DC与SA所成的角是 SAB 这两个 角不相等 答案 D 二 填空题 7 已知 a b 为不垂直的异面直线 是一个平面 则 a b 在 上的射影有可 能是 两条平行直线 两条互相垂直的直线 同一条直线 一条直线及其 外一点 在上面结论中 正确结论的编号是 写出所有正确结论的编号 解析 只有当 a b 时 a b 在 上的射影才可能是同一条直线 故 错 其余都有可能 答案 8 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别为 棱 C1D1 C1C 的中点 有以下四个结论 直线 AM 与 CC1是相交直线 直线 AM 与 BN 是平行直线 直线 BN 与 MB1是异面直线 直线 AM 与 DD1是异面直线 其中正确的结论为 注 把你认为正确的结论的序号都填上 解析 直线 AM 与 CC1是异面直线 直线 AM 与 BN 也是异面直线 故 错误 答案 9 如图 矩形 ABCD 中 AB 2 BC 4 将 ABD 沿对角线 BD 折起到 A BD 的位置 使点 A 在平面 BCD 内的射影点 O 恰 好落在 BC 边上 则异面直线 A B 与 CD 所成角的大小为 解析 如题图所示 由 A O 平面 ABCD 可得平面 A BC 平面 ABCD 又由 DC BC 可得 DC 平面 A BC DC A B 即得异面直线 A B 与 CD 所成角的大小为 90 答案 90 10 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为棱 AA1 CC1的中点 则在空 间中与三条直线 A1D1 EF CD 都相交的直线有 条 解析 法一 在 EF 上任意取一点 M 直线 A1D1 与 M 确定一个平面 这个平面与 CD 有且仅有 1 个 交点 N 当 M 取不同的位置就确定不同的平面 从而与 CD 有不同的交点 N 而直线 MN 与这 3 条 异面直线都有交点 如图所示 法二 在 A1D1上任取一点 P 过点 P 与直线 EF 作一个平面 因 CD 与平 面 不平行 所以它们相交 设它们交于点 Q 连接 PQ 则 PQ 与 EF 必然 相交 即 PQ 为所求直线 由点 P 的任意性 知有无数条直线与三条直线 A1D1 EF CD 都相交 答案 无数 三 解答题 11 如图所示 四边形 ABEF 和 ABCD 都是直 角梯形 BAD FAB 90 BC 綉 AD BE 綉 FA G H 分别为 FA FD 的 1 2 1 2 中点 1 证明 四边形 BCHG 是平行四边形 2 C D F E 四点是否共面 为什么 1 证明 由已知 FG GA FH HD 可得 GH 綉 AD 1 2 又 BC 綉 AD GH 綉 BC 四边形 BCHG 为平行四边形 1 2 2 解 由 BE 綉 AF G 为 FA 中点知 BE 綉 FG 1 2 四边形 BEFG 为平行四边形 EF BG 由 1 知 BG 綉 CH EF CH EF 与 CH 共面 又 D FH C D F E 四点共面 12 在长方体 ABCD A1B1C1D1的 A1C1面上有一 点 P 如图所示 其中 P 点不在对角线 B1D1 上 1 过 P 点在空间作一直线 l 使 l 直线 BD 应该如何作图 并说明理由 2 过 P 点在平面 A1C1内作一直线 m 使 m 与直线 BD 成 角 其中 这样的直线有几条 应该如何作图 0 2 解 1 连接 B1D1 BD 在平面 A1C1内过 P 作直线 l 使 l B1D1 则 l 即为 所求作的直线 如图 a B1D1 BD l B1D1 l 直线 BD 图 a 2 BD B1D1 直线 m 与直线 BD 也成 角 即直线 m 为所求作的直线 如图 b 由图知 m 与 BD 是异面直线 且 m 与 BD 所成的角 0 2 当 时 这样的直线 m 有且只有一条 当 时 这样的直线 m 有两 2 2 条 图 b 13 如图 空间四边形ABCD中 E F分别是AD AB的中点 G H分别在 BC CD上 且BG GC DH HC 1 2 1 求证 E F G H四点共面 2 设FG与HE交于点P 求证 P A C三点共线 证明 1 ABD中 E F为AD AB中点 EF BD CBD中 BG GC DH HC 1 2 GH BD EF GH 平行线公理 E F G H四点共面 2 FG HE P P FG P HE Error P 直线AC P A C三点共线 14 在四棱锥 P ABCD 中 底面是边长为 2 的菱形 DAB 60 对角线 AC 与 BD 交于点 O PO 平面 ABCD PB 与平面 ABCD 所成角为 60 1 求四棱锥的体积 2 若 E 是 PB 的中点 求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值 解 1 在四棱锥 P ABCD 中 PO 面 ABCD PBO 是 PB 与面 ABCD 所成的角 即 PBO 60 在 Rt POB 中 BO AB sin 30 1 又 PO OB PO BO tan 60 3 底面菱形的面积 S菱形 ABCD 2 3 四棱锥 P ABCD 的体积 VP ABCD 2 2 1 333 2 取 AB 的中点 F 连接 EF DF E 为 PB 中点 EF PA DEF 为异面直线 DE 与 PA