高三一轮：取球问题

0 取球问题 一 基础知识 在很多随机变量的题目中 常以 取球 作为故事背景 通过对 取球 提出不同的要 求 来考察不同的模型 常见的模型及处理方式如下 1 独立重复试验模型 关键词 可放回的抽取 即下一次的取球试验与上一次的相同 2 超几何分布模型 关键词 不放回的抽取 一次性抽取 逐一不放回抽取 3 与条件概率相关 此类问题通常包含一个抽球的规则 并一次次的抽取 要注意前一次 的结果对后一步抽球的影响 4 古典概型 要注意虽然题目中会说明 相同的 小球 但是为了能使用古典概型 保证 基本事件为等可能事件 通常要将 相同的 小球视为 不同的 元素 在利用排列组合 知识进行分子分母的计数 5 数字问题 在小球上标注数字 所涉及的问题与数字相关 奇 偶 最大 最小等 在解决此类问题时 要将数字模型转化为 怎样取球 的问题 从而转化为前几个类型进 行求解 二 典型例题 例 1 一袋中有 6 个黑球 4 个白球 1 不放回地依次取出 3 个球 已知第一次取出的是白球 求第三次取到黑球的概率 2 有放回地依次取出 3 个球 已知第一次取出的是白球 求第三次取到黑球的概率 3 有放回的依次取出 3 个球 求取到白球个数的分布列 期望和方差X 1 例 2 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球 乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑球 现从甲 乙两个盒内各任取 2 个球 1 求取出的 4 个球中没有红球的概率 2 求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率 3 设为取出的 4 个球中红球的个数 求的分布列和数学期望 例 3 甲 乙两袋中各装有大小相同的小球个 其中甲袋中红色 黑色 白色小球的个9 数分别为 乙袋中红色 黑色 白色小球的个数均为 某人用左右手分别从2343 甲 乙两袋中取球 1 若左右手各取一球 求两只手中所取的球颜色不同的概率 2 若左右手依次各取两球 称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法 记成功取法次 数为随机变量 求的分布列和数学期望 XX 2 例 4 袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球 白球数量是红球数量的两倍 每 次从袋中摸出一个球 然后放回 若累计 3 次摸到红球则停止摸球 否则继续摸球直到第 5 次摸球后结束 1 求摸球四次就停止的事件发生的概率 2 记摸到红球的次数为 求随机变量的分布列及其期望 例 5 学校游园活动有这样一个游戏项目 甲箱子里装有 3 个白球 2 个黑球 乙箱子里面 装有 1 个白球 2 个黑球 这些球除了颜色外完全相同 每次游戏从这两个箱子里各随机 摸出 2 个球 若摸出的白球不少于 2 个 则获奖 每次游戏后将球放回原箱 1 求在一次游戏中 摸出 3 个白球的概率 获奖的概率 2 求在三次游戏中获奖次数的分布列与期望X 3 三 历年好题精选 1 2014 福建 为回馈顾客 某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励 规 定 每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球 球上所标的面 值之和为该顾客所获的奖励额 若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元 其余 3 个均为 10 元 求 顾客所获的奖励额为 60 元的概率 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望 2 2014 重庆 一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片 其中 4 张卡片上的数字是 1 3 张卡片上的数字是 2 2 张卡片上的数字是 3 从盒中任取 3 张卡片 1 求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率 2 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数 求的分布列与数学期望 XX 注 若三个数满足 则称为这三个数的中位数 a b cabc b 4 习题答案 习题答案 1 1 解析 1 设顾客所获的奖励额为 X 11 13 2 4 1 60 2 C C P X C 2 可取的值为 X20 60 11 13 2 4 1 60 2 C C P X C 2 3 2 4 1 20 2 C P X C 的分布列为X X2060 P0 50 5 所以顾客所获的奖励额的期望为 40EX 2 每个顾客平均奖励额为元 可知期望有可能达到的只有方案 60000 60 1000 60 或 分别分析以下两种方案 10 10 50 50 20 20 40 40 方案一 则的取值为 10 10 50 50 1 X20 60 100 1 2 4 11 20 6 P X C 11 22 1 2 4 2 60 3 CC P X C 1 2 4 11 100 6 P X C 1 121 206010060 636 EX 222 1 1211600 2060606010060 6363 DX 方案二 则的取值为 20 20 40 40 2 X40 60 80 2 2 4 11 40 6 P X C 11 22 2 2 4 2 60 3 CC P X C 2 2 4 11 80 6 P X C 2 121 40608060 636 EX 222 1 121400 406060608060 6363 DX 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求 但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小 所 以应该选择方案 2 2 2 解析 1 设事件为 3 张卡片数字完全相同 A 5 33 43 3 9 5 84 CC P A C 2 可取的值为 X1 2 3 321 445 3 9 3417 1 8442 CC C P X C 112213 344363 3 9 43 2 84 C C CC CC P X C 21 27 3 9 71 3 8412 C C P X C 的分布列为 X X123 P 17 42 43 84 1 12 1743147 123 42841228 EX 3 3 解析 1 设事件为 一个 2 号球 一个 3 号球 A 11 36 2 10 2 5 CC P A C 2 可取的值为 3 4 5 6 1 3 2 10 11 3 15 C P C 21 36 2 10 11 4 5 CC P C 11 36 2 10 2 5 5 C C P C 2 6 2 10 1 6 3 C P C 的分布列为 3456 P 1 15 1 5 2 5 1 3 1121 34565 15553 E 4 4 解析 1 设事件为 3 个小球上的数字分别是 1 2 3 A 6 111 222 3 10 1 15 CCC P A C 2 设事件为 3 个小球上的数字恰有 2 个相同 B 11 58 3 10 1 3 C C P B C 3 可取的值为 X2 3 4 5 121 222 3 10 4 2 120 CC C P X C 2112 2424 3 10 16 3 120