反比例函数专题知识点归纳常考典型题型重难点题型含详细答案.doc

反比例函数专题知识点归纳+常考（典型）题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录1二、基础知识点21.知识结构22.反比例函数的概念23.反比例函数的图象24.反比例函数及其图象的性质25.实际问题与反比例函数4三、常考题型61.反比例函数的概念62图象和性质63函数的增减性94解析式的确定105面积计算136综合应用18三、重难点题型221.反比例函数的性质拓展222.性质的应用231.求解析式232.求图形的面积243. 比较大小244. 求代数式的值255. 求点的坐标256. 确定取值范围267. 确定函数的图象的位置26二、基础知识点1.知识结构2.反比例函数的概念1y=kx（k0）可以写成y=x-1（k0）的形式，注意自变量x的指数为1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k0这一限制条件；2y=kx（k0）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3反比例函数y=kx的自变量x0，故函数图象与x轴、y轴无交点3.反比例函数的图象在用描点法画反比例函数y=kx的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）4.反比例函数及其图象的性质1函数解析式：y=kx（k0）2自变量的取值范围：x03图象：（1）图象的形状：双曲线k越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直k越小，图象的弯曲度越大（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线当k0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（a，b）在双曲线的另一支上图象关于直线y=x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（b，a）在双曲线的另一支上（4）k的几何意义图1如图1，设点P（a，b）是双曲线y=kx上任意一点，作PAx轴于A点，PBy轴于B点，则矩形PBOA的面积是k（三角形PAO和三角形PBO的面积都是12k）图2如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QCPA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2k（5）说明：双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论直线y=k1x与双曲线y=k2x的关系：当k1k20时，两图象没有交点；当k1k20时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称5.实际问题与反比例函数1求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式2注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上三、常考题型1.反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）Ay=3x By3=2x C3xy=1 Dy=x2答案：A为正比例函数 B为一次函数 C变型后为反比例函数 D为二次函数（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）Ay=14x By=-1x2 Cy=1x-1 Dy=1+1x答案：A为反比例函数，k为14B、C、D都不是反比例函数2图象和性质（1）已知函数y=（k+1）xk2+k-3是反比例函数。若它的图象在第二、四象限内，那么k=_若y随x的增大而减小，那么k=_答案：因为函数是反比例函数，且经过二、四象限 所以k+10k2+k-3=-1 解得：k=2 因为函数是反比例函数，且y随x的增大而减小 所以k+10k2+k-3=-1 解得：k=1（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数y=abx的图象位于第_象限答案：因为y=ax+b经过一、二、四象限 所以a0，b0 所以ab0 所以函数y=abx经过二、四象限（3）若反比例函数y=kx经过点（1，2），则一次函数y=kx+2的图象一定不经过第_象限答案：因为函数y=kx经过点（1，2） 所以2=k-1，解得k=2 所以y=kx+2为y=2x+2 所以a0，b0 所以经过一、二、三象限（4）已知ab0，点P（a，b）在反比例函数y=ax的图象上，则直线y=ax+b不经过的象限是 答案：因为点P（a，b）在反比例函数y=ax的图象上 所以b=aa=1 因为ab0 所以a0 所以y=ax+b经过一、二、四象限，不经过第三象限（5）若P（2，2）和Q（m，-m2）是反比例函数y=kx图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过哪几个象限？答案：因为P（2，2）是y=kx上的点 所以k=4 因为Q（m，-m2）是反比例函数y=kx图象上的点 所以-m2=4m 所以m0 所以y=kx+m经过一、三、四象限（6）已知函数y=k（x1）和y=kx（k0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A B C D答案：B3函数的增减性（1）在反比例函数y=kx（k0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x20，则y1-y2的值为（ ）A正数 B负数 C非正数 D非负数答案：A 因为k0 所以函数图像在二、四象限，y随x的增大而增大 因为x1x2 所以y1y2，所以y1-y2为正数（2）在函数y=-a2-1x（a为常数）的图象上有三个点（-1，y1），（-14，y2），（12，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是怎样的？答案：因为函数为y=-a2-1x，其中-a2-10 所以函数图像在二、四象限，y随x的增大而增大 因为1-1412 所以y1y2y3（3）下列四个函数中：y=5x；y=5x；y=5x；y=-5x其中y随x的增大而减小的函数有：答案：要使y随x的增大而减小，则正比例函数k0 符合条件的有： 为反比例函数，且k0，是在每一个象限内y随x的增大而减小，不符合。 综上得，符合条件的有：（4）已知反比例函数y=kx的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）答案：y=2xy=x+1，解得x=1y=2 所以反比例函数过点（1,2），则k=20 所以当x0时，在第一象限，y随x的增大而减小4解析式的确定（1）若y与1x成反比例，x与1z成正比例，则y是z的（ ）A正比例函数 B反比例函数 C一次函数 D不能确定答案：B 因为y与1x成反比例 所以y1x=k1 因为x与1z成正比例 所以x=k21z 合并得：yz=k1k2 所以为反比例函数（2）若正比例函数y=2x与反比例函数y=kx的图象有一个交点为 （2，m），则m=_，k=_，它们的另一个交点为_答案：因为y=2x过点（2，m） 所以m=22=4 因为y=kx过点（2，m），即（2,4） 所以k=8 y=2xy=8x，解得另一个点为：（2，4）（3）已知反比例函数y=m2x的图象经过点（2，8），反比例函数y=mx的图象在第二、四象限，求m的值答案：因为函数y=m2x的图象经过点（2，8） 所以8（2）=m2 m=4 因为y=mx的图象在第二、四象限 所以m0 所以m=4（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数y=m+1x（m0）的图象在第一象限内的交点为P（x0，3）求x0的值；求一次函数和反比例函数的解析式答案：3=x0+m3=m+1x0 解得：x0=1m=2 一次函数解析式为：y=x+2 反比例函数解析式为：y=3x（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克 请根据题中所提供的信息解答下列问题：药物燃烧时y关于x的函数关系式为_，自变量x 的取值范围是_；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_分钟后，学生才能回到教室； 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：y=34x，0x8；y=48x，x8 30 消毒时间为：483-334=13.2510，所以有效5面积计算（1）如图，在函数y=-3x的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为S1、S2、S3，求三个面积的大小关系。答案：根据反比例函数图像面积的性质知 S1=S2=S3（2）如图，A、B是函数y=1x的图象上关于原点O对称的任意两点，AC/y轴，BC/x轴，ABC的面积S，则（ ）AS=1 B1S2 CS=2 DS2答案：C 设A（a，1a），其中a0，则B（a，-1a） BC= a（a）=2a，AC=1a（-1a）=2a 所以S=122a2a=2（3）如图，RtAOB的顶点A在双曲线y=mx上，且SAOB=3，求m的值答案：根据反比例函数图像性质 SAOB=m2 又因为图像在第一象限 所以m0 所以m=6（4）已知函数y=4x的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2Q2，P2R2，垂足分别为Q2，R2，求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长，并比较它们的大小答案：y=4xy=x，解得x=2，y=2，即P1（2,2） y=4xy=2x，解得x=2，y=22，即P1（2,22） 所以矩形OQ1P1R1的周长为（2+2）2=8 OQ2P2R2的周长为（2+22）2=62 因为82=64（62）2=72 所以OQ2P2R2的周长长。 （5）如图，正比例函数y=kx（k0）和反比例函数y=1x的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若ABC面积为S，则S=_答案：y=1xy=kx，解得x=kk，y=k 所以A（kk，k），C（kk，-k），B（kk，0） 所以S=12k（kk-（-kk）=1（6）如图在RtABO中，顶点A是双曲线y=kx与直线y=x+（k+1）在第四象限的交点，ABx轴于B且SABO=32求这两个函数的解析式；求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和AOC的面积答案：y=kxy=-x+（k+1），解得x1=1y1=k，x2=ky2=1 所以A（1，k），B（1,0），C（k，1） 因为SABO=32 所以32=121k 解得k=3 所以反比例函数解析式为：y=-3x，直线解析式为：y=x2 设直线交x轴于点D 则D（2,0）则sAOC=sDOC+sAOD=1212+122k=4（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y=kx（k0，x0）的图象上，点P （m，n）是函数y=kx（k0，x0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S 求B点坐标和k的值； 当S=92时，求点P的坐标； 写出S关于m的函数关系式答案：根据反比例函数图像性质知 正方形OABC的面积9=k 因为是正方形，所以B（3,3） 设FP与AB交于点D 因为无论P在什么地方，四边形OFPE的面积为9。而S=92 所以四边形OADF的面积为992=92=OAOF 所以F（0，32） 所以n=32 所以m=6 同理可推导出9S=3n n=9-S3 m=9n=279-S6综合应用（1）若函数y=k1x（k10）和函数y=k2x（k20）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（ ）A互为倒数 B符号相同 C绝对值相等 D符号相反答案：D 因为若k1和k2同号，则必定有2个交点 因为无交点，所以符号必定相反（2）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例数y=mx的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n） 求反比例函数和一次函数的解析式； 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围答案：将点A坐标代入反比例函数得，m=2 所以反比例函数解析式为：y=-2x 因为B也在反比例函数上，所以n=-21=-2，即B（1，2） 将点A，点B代入一次函数得：1=-2k+b-2=k+b 解得：k=-1b=-1，即直线解析式为：y=x1 x2或0x1（3）如图所示，已知一次函数y=kx+b（k0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=mx（m0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1 求点A、B、D的坐标； 求一次函数和反比例函数的解析式答案： 因为OA=OB=1=1 所以A（1,0），B（0,1），D（1,0） A（-bk，0），B（0，b） 所以-bk=-1b=1，k=1，b=1，则一次函数解析式为：y=x+1 因为D（1,0），所以C的横坐标为1代入一次函数得，纵坐标为：1+1=2所以D（1,2）所以m=12=2，即反比例函数解析式为：y=2x（4）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点） 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； 双曲线上是否存在一点P，使得POC和POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由答案：因为交于点C（1,4） 所以k=14=4，即反比例函数解析式为：y=4x D横坐标为4，代入反比例函数得：m=44=1 要想POC和POD的面积相等，则只需要OP为CD的中垂线即可 因为C（1,4），D（4,1） 所以直线AB的解析式为：y=x+5 设P（a，4a） 因为OP是CD中垂线 所以OP这条直线的斜率为1，即4a-0a-0=1 解得：a=2，所以P（2,2）（5）不解方程，判断下列方程解的个数1x+4x=0； 1x-4x=0答案：构造双曲线y=1x和直线y=4x，它们无交点，说明原方程无实数解构造双曲线y=1x和直线y=4x，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解四、重难点题型1.反比例函数的性质拓展1. 积的不变性：自变量x与其对应的函数y的乘积是定值，等于比例系数k，即ky=k（k0，k为常数），因此反比例函数图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积不变，等于比例系数k。2. 图象与k的关系：反比例函数的图象是两支双曲线。当k0时，双曲线两个分支在第一、三象限内，如图1。当k0时，在每个象限内y随x增大减小；当k0时，在每个象限内，y随x增大而增大。4. 图象与坐标轴关系：在y=kx中，x0，所以y0，因此反比例函数的图象无限接近x轴，y轴，但永远不可能与x轴、y轴相交。5. 对称性：轴对称性：反比例函数的图象是轴对称图形，直线y=x和y=x是它的两条对称轴。中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是坐标原点。6. 面积相等性：如图3，在反比例函数图象上任取两点P、Q，过P、Q分别作x轴、y轴垂线，垂足如图3，则有：，。图32.性质的应用1.求解析式（1）试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数的解析式：_。答案：由反比例函数图像与k的性质知：k0，可得出这样的解析式，如：y=-1x，y=-5x等。（2）如图，点A是反比例函数图象上一点，自点A作y轴垂线，垂足为T，已知SAOT=4，则此函数的表达式为_。答案：由面积相等性质可得：12k=4，k=8又由图形和k的性质得，k0，所以k=8，故解析式为y=-8x。2.求图形的面积（1）如图，反比例函数y=-4x的图象与直线y=-13x的交点为A、B。过A作y轴的平行线，过B作x轴平行线，它们交于C，则ABC的面积为_。答案：方法一：本联立y=-4xy=-13x求A、B坐标，再确定C的坐标，最后计算面积。方法二：利用性质可得巧解。如图过B作BEx轴，E为垂足，AC、BC与x轴、y轴分别交于M、F，因为反比例函数与正比例函数都是以原点为中心的中心对称图形，则A、B交于原点坐标，由对称性知：AM=BE=MC，OM=OE，所以S矩MCFO=S矩BEOF由面积不变性得：