高考数学难点突破_难点31__数学归纳法解题

104 难点 31 数学归纳法解题 数学归纳法是高考考查的重点内容之一 象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法 . 难点磁场 ( )是否存在 a、 b、 c 使得等式 1 22+2 32+ +n(n+1)2=12 )1( nn(bn+c). 案例探究 例 1试证明：不论正数 a、 b、 c 是等差数列还是等比数列，当 n 1,n N*且 a、 b、c 互不相等时，均有： an+2命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属 级题目 . 知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤 . 错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况 . 技巧与方法：本题中使用到结论： (a c) 0 恒成立 (a、 b、 c 为正数 )，从而 + c+a. 证明： (1)设 a、 b、 c 为等比数列， a=qb,c=bq(q 0 且 q 1) an+cn=bn( 22)设 a、 b、 c 为等差数列，则 2b=a+c 猜想2nn (2n(n 2 且 n N*) 下面用数学归纳法证明： 当 n=2 时，由 2(a2+ (a+c)2， 222 )2(2 设 n=k 时成立，即 ,)2(2 则当 n=k+1 时，41211 kk (+) 41(+c+a)=41(ak+a+c) (2k (2=(2k+1 例 2在数列 ， ，当 n 2 时， n,1成等比数列 . (1)求 a2,a3,推出 (2)用 数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列 有项的和 . 命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识 . 知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤 想、证明 . 错解分析： (2)中， 321一点往往容易被忽视 . 技巧与方法：求通项可证明 是以 11S 为首项， 21 为公差的等差数列，进而 求得 105 通项公式 . 解： n,1成等比数列， (1)(n 2) (*) (1)由 ,S2=a1+入 (*)式得 :32由 ， 32,1+入 (*)式得： 152同理可得： 352,由此可推出： )1( )12)(32( 2)1( 12)当 n=1,2,3,4 时，由 (*)知猜想成立 . 假设 n=k(k 2)时， )12)(32( 2 故 )12)(32( 2 (1) (2k 3)(2k 1)1=0 2 1,12 1 k(舍 ) 由 2= (21),得 (Sk+)2=(+1) 1)1(23)1(222112122)12(1111211212命题也成立即 知， )2()12)(32( 2)1(1一切 n N 成立 . (3)由 (2)得数列前 n 项和 21n, S=. 锦囊妙记 (1)数 学归纳法的基本形式 设 P(n)是关于自然数 n 的命题，若 1 P(立 (奠基 ) 2假设 P(k)成立 (k 可以推出 P(k+1)成立 (归纳 )，则 P(n)对一切大于等于 自然数 n 都成立 . (2)数学归纳法的应用 具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等 . 歼灭难点训练 一、选择题 1.( )已知 f(n)=(2n+7) 3n+9,存在自然数 m,使得对任意 n N,都能使 m 整除 106 f(n)，则最大的 m 的值为 ( ) .( )用数学归纳法证明 3k n3(n 3,n N)第一步应验证 ( ) 二、填空题 3.( )观察下列式子：474 1312 11,35312 11,23211 22222 则可归纳出 _. 4.( )已知 1,=33n a2,a3,a4,值分别为 _，由此猜想_. 三、解答题 5.( )用数学归纳法证明 4 12n +3n+2 能被 13 整除，其中 n N*. 6.( )若 n 为大于 1 的自然数，求证：2413212111 . 7.( )已知数列 等差数列， ,b1+ +45. (1)求数列 通项公式 (2)设数列 通项 an=+(其中 a 0 且 a 1)记 前 n 项和 ，试比较 的大小，并证明你的结论 . 8.( )设实数 q 满足 |q| 1,数列 足： ,0,= 如果3,求 q 的取值范围 . 参考答案 难点磁场 解：假设存在 a、 b、 时令 n=1,2,3,有 101133970)24(2122)(614 n=1,2,3 下面等式成立 1 22+2 32+ +n(n+1)2= )10113(12 )1( 2 n=1 22+2 32+ +n(n+1)2 设 n=k 时上式成立，即 2 )1( 1k+10) 那么 =k+1)(k+2)2=2 )1( kk(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 107 =12 )2)(1( k+12k+24) =12 )2)(1( 3(k+1)2+11(k+1)+10 也就 是说，等式对 n=k+1 也成立 . 综上所述，当 a=3,b=11,c=10 时，题设对一切自然数 n 均成立 . 歼灭难点训练 一、 f(1)=36,f(2)=108=3 36,f(3)=360=10 36 f(1),f(2),f(3)能被 36 整除，猜想 f(n)能被 36 整除 . 证明： n=1,2 时，由上得证，设 n=k(k 2)时， f(k)=(2k+7) 3k+9 能被 36 整除，则 n=k+1 时， f(k+1) f(k)=(2k+9) 3k+1 (2k+7) 3k =(6k+27) 3k (2k+7) 3k =(4k+20) 3k=36(k+5) 3k 2 (k 2) f(k+1)能被 36 整除 f(1)不能被大于 36 的数整除，所求最大的 6. 答案： C 题意知 n 3，应验证 n=3. 答案： C 二、 1 112)11( 1123211 22 即12 122)12( 1)11( 11,353 12 11 2222 即1 12)1( 131211 222 纳为(n N*) 1 12)1( 131211: 222 案(n N*) 53,553103,54393,5338333,5237332121333:案、83、93、10353(1)当 n=1 时， 42 1+1+31+2=91 能被 13 整除 (2)假设当 n=k 时， 42k+1+3k+2 能被 13 整除，则当 n=k+1 时， 42(k+1)+1+3k+3=42k+1 42+3k+2 3 42k+1 3+42k+1 3 =42k+1 13+3 (42k+1+3k+2 ) 42k+1 13 能被 13 整除， 42k+1+3k+2 能被 13 整除 108 当 n=k+1 时也成立 . 由知，当 n N*时， 42n+1+3n+2 能被 13 整除 . (1)当 n=2 时，241312722 112 1 (2)假设当 n=k 时成立，即2413212111 2413)1)(12(21241322112124131122112124131111221121213121,1时则当7.(1)解：设数列 公差为 d,由题意得311 4 52 )110(10101111 n 2 (2)证明：由 n 2 知 Sn=+1)+41)+ +231n) =(1+1)(1+41) (1+ 231n) 而31= 13 n ,于是，比较 31 比较 (1+1)(1+41)(1+231n)与 3 13 n 的大小 . 取 n=1，有 (1+1)= 333 11348 取 n=2，有 (1+1)(1+ 333 12378)41 推测： (1+1)(1+41) (1+231n) 3 13 n (*) 当 n=1 时，已验证 (*)式成立 . 假设 n=k(k 1)时 (*)式成立，即 (1+1)(1+41) (1+231k) 3 13 k 则当 n=k+1 时， )13 11(13)2)1(3 11)(23 11()411)(11( 3 1313 23 333222333331)1(343)23(13130)13(49)13()13)(43()23()43()131323(109 3 1)1(3)13 11)(23 11()411)(11( 而,即当 n=k+1 时， (*)式成立 由知， (*)式对任意正整数 n 都成立 . 于是，当 a 1 时， 1 ,当 0 a 1 时， 1 q,0, q 0,29, = qn, = 两式相除，得2 ,即 =q 是， , q, 想： =21qn(n=1,2,3, ) 综合，猜想通项公式为 )(2 21)(12 2 1证： (1)当 n=1,2 时猜想成立 (2)设 n=2k 1 时， 1=2 1 则 n=2k+1 时，由于 =q 1 =2 n=2k 1 成立 . 可推知 n=2k+1 也成立 . 设 n=2k 时， 21 n=2k+2 时，由于 =q 所以 =21,这说明