浙江省杭州市江干区2016届中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 26 页） 2016 年浙江省杭州市江干区中考数学一模试卷 一、选择题（共 10小题，每小题 3分，满分 30分） 1下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 会将于 2016 年 9 约 4 日 5 日在杭州举行，在 “百度 ”搜索引擎中输入 “会 ”，能搜 索到与之相关的结果约为 1680000 个，将 1680000 用科学记数法表示为（ ） A 04 B 06 C 07 D 07 3下列运算中，计算正确的是（ ） A a3a6=（ 3= 42 D（ 3a） 2=6由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的俯视图如图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A B C D 5有一箱子装有 3 张分别标示 4、 5、 6 的号码牌，已知小南以每次取一张且取后不放回的方式，先后取出 2 张牌，组成一个两位数，取出第 1 张牌的号码为十位数，第 2 张牌的号码为个位数，则组成的二位数为 5 的倍数的概率为（ ） A B C D 6一个圆锥的侧面展开图是半径为 8，圆心角为 120的扇形，则这个圆锥的高为（ ） A 如图，已知 尺规作图的方法在 取一点 P，使得 C=下列选项正确的是（ ） 第 2 页（共 26 页） A B C D 8已知二次函数 y=a（ x h） 2+k 的图象经过（ 0， 5），（ 10， 8）两点，若 a 0， 0 h 10，则 ） A 7 B 5 C 3 D 1 9如果，正方形 边长为 2E 为 上一点， 0， M 为 中点，过点 D、 交于点 P、 Q，若 E，则 于（ ） A 0已知抛物线 y=bx+c 的顶点为 D（ 1， 3），与 x 轴的一个交点在（ 3， 0）和（ 2， 0）之间，其部分图象如图，则以下结论： 0； c a=3； a+b+c 0； 方程 bx+c=m（ m2）一定有实数根，其中正确的结论为（ ） A B C D 二、填空题（共 6小题，每小题 4分，满分 24分） 11数据 0， 3， 3， 4， 5 的平均数是 ，方差是 12若 3a=4，则 6a 2= 13如图，一块直角三角板 斜边 量角器的直径恰好重合，点 D 对应的刻度是 58，则 度数为 第 3 页（共 26 页） 14如图，若锐角 接于 O，点 D 在 O 外（与点 C 在 侧）， 则下列三个结论： C D； C D； C D 中，正确的结论为 15若 m、 n（ m n）是关于 x 的方程（ x a）（ x b） +2=0 的两根，且 a b，则 a， b， m， n 的大小关系用 “ ”连接的结果是 16如图，点 C 在以 直径的半圆上， ， 0，点 D 在 运动，点 E 与点 C 对称： 点 D，并交 延长线于点 F，下列结论： F； 线 段 最小值为 ； 当 时， 半圆相切； 当点 D 从点 A 运动到点 O 时，线段 过的面积是 4 其中正确的序号是 三、解答题（共 7小题，满分 66分） 17解方程 2 18如图，在平行四边形 将 折，使点 B 落在 B处， 交于 O，求证： B 第 4 页（共 26 页） 19某海域有 A， B 两个岛屿， B 岛屿在 A 岛屿北偏西 30方向上，距 A 岛 120 海里，有一艘船从 东北方向行驶一段距离后，到达位于 B 岛屿南偏东 75方向的 C 处，求出该船与 B 岛之间的距离 长（结果保留根号） 20为了解我市 3 路公共汽车的运营情况，公交部门随机统计了某天 3 路公共汽车每个运行班次的载客量，得到如下频数分布直方图如果以各组的组中值代表各组 实际数据，请分析统计数据完成下列问题 （ 1）找出这天载客量的中位数，说明这个中位数的意义； （ 2）估计 3 路公共汽车平均每班的载客量大约是多少？ （ 3）计算这天载客量在平均载客量以上班次占总班次的百分数 （注：一个小组的组中值是指这个小组的两个端点数的平均数） 21如图，一次函数 x+2 的图象与反比例函数 的图象交于 A， B 两点，与 x 轴交于点 C，已知 第 5 页（共 26 页） （ 1）求反比例函数的解析式 （ 2）当 y1=，求 x 的取值范围 22在 ， 别是边 的高， F 是 上的中点 （ 1）指出图中的一个等腰三角形，并说明理由 （ 2）若 A=x，求 度数（用含 x 的代数式表达） （ 3）猜想 数量关系，并证明 23如图，在平面直角坐标中， 三个顶点 的坐标分别是 A（ 4， 4）， O（ 0， 0）， B（ 6，0），点 M 是射线 的一动点，过点 M 作 射线 于点 N， P 是 上的任意点，连接 面积为 S （ 1）点 M 的坐标为（ 2， 0）时，求点 N 的坐标 （ 2）当 M 在边 时， S 有最大值吗？若有，求出 S 的最大值；若没有，请说明理由 （ 3）是否存在点 M，使 ，其中一个面积是另一个 2 倍？如果存在，求出点 果不存在，请说明理由 第 6 页（共 26 页） 2016年浙江省杭州市江干区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10小题，每小题 3分，满分 30分） 1下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 中心对称图形；轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念 解答即可 【解答】 解： A、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形故正确； C、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误 故选： B 【点评】 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 2 会将于 2016 年 9 约 4 日 5 日在杭州举行，在 “百度 ”搜索引擎中输入 “会 ”，能搜索到与之相关的结果 约为 1680000 个，将 1680000 用科学记数法表示为（ ） A 04 B 06 C 07 D 07 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【解答】 解： 1680000=06 故选： B 【点评】 此题考查科学记数法的 表示方法科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 第 7 页（共 26 页） 3下列运算中，计算正确的是（ ） A a3a6=（ 3= 42 D（ 3a） 2=6考点】 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法 【分析】 分别利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则和积的乘方运算法则化简求出答案 【解答】 解： A、 a3a6=确； B、（ 3=此选项错误； C、 42法计 算，故此选项错误； D、（ 3a） 2=9此选项错误； 故选： A 【点评】 此题主要考查了幂的乘法运算以及积的乘方运算、同底数幂的乘法等知识，正确掌握运算法则是解题关键 4由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的俯视图如图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A B C D 【考点】 由三视图判断几何体；简单组合体的三视图 【专题】 常规题型 【分析】 俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有四列，从左到右分别是 1， 2， 2， 1 个正方形 【解答】 解：由俯视图中的数字可得：主视图有 4 列，从左到右分别是 1， 2， 2， 1 个正方形 故选： A 第 8 页（共 26 页） 【点评】 本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间 想象能力 5有一箱子装有 3 张分别标示 4、 5、 6 的号码牌，已知小南以每次取一张且取后不放回的方式，先后取出 2 张牌，组成一个两位数，取出第 1 张牌的号码为十位数，第 2 张牌的号码为个位数，则组成的二位数为 5 的倍数的概率为（ ） A B C D 【考点】 列表法与树状图法 【专题 】 计算题 【分析】 先画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出组成的二位数为 5 的倍数的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】 解：画树状图为： 共有 6 种等可能的结果数，其中组成的二位数为 5 的倍数的结果数为 2， 所以组成的二位数为 5 的倍数的概率 = = 故选 C 【点评】 本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率 6一个圆锥的侧面展开图是半径为 8，圆心角为 120的扇形，则这个圆锥的高为（ ） A 考点】 圆锥的计算 【专题】 计算题 【分析】 设圆锥的底面圆的半径 为 r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到 2r= ，然后求出 r 后利用勾股定理计算圆锥的高 【解答】 解：设圆锥的底面圆的半径为 r， 根据题意得 2r= ，解得 r= ， 第 9 页（共 26 页） 所以圆锥的高 = = 故选 A 【点评】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 7如图，已知 尺规作图的方法在 取一点 P，使得 C=下列选项正确的是（ ） A B C D 【考点】 作图 复杂作图 【分析】 由 C= C=得 B，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点 P 在垂直平分线上，于是可判断 D 选项正确 【解答】 解： C= 而 C= B， 点 P 在 垂直平分线上， 即点 P 为 垂直平分线与 交点 故选 D 【点评】 本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图， 逐步操作 8已知二次函数 y=a（ x h） 2+k 的图象经过（ 0， 5），（ 10， 8）两点，若 a 0， 0 h 10，则 ） A 7 B 5 C 3 D 1 【考点】 二次函数图象上点的坐标特征 【分析】 根据二次函数的对称性确定出对称轴的范围，然后求解即可 【解答】 解： a 0， 第 10 页（共 26 页） 抛物线开口向下， 图象经过（ 0， 5）、（ 10， 8）两点， 0 h 10， 对称轴在 5 到 10 之间， h 的值可能是 7 故选 A 【点评】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，从二次函数的对称性考虑求解是解题的 关键 9如果，正方形 边长为 2E 为 上一点， 0， M 为 中点，过点 D、 交于点 P、 Q，若 E，则 于（ ） A 考点】 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理 【专题】 分类讨论 【分析】 根据题意画出图形，过 P 作 点 N，由 正方形，得到 C=直角三角形 ，利用锐角三角函数定义求出 长，进而利用勾股定理求出 长，根据 M 为 点求出 长，利用 到三角形 三角形 等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到 Q， 0，再由 行，得到 0，进而得到 直于 直角三角形 ，根据 长，利用锐角三角函数定义求出 而得出 长 【解答】 解：根据题意画出图形，过 P 作 点 N， 四边形 正方形， C= 在 ， 0， ，即 根据勾股定理得： M 为 中点， 第 11 页（共 26 页） 在 ， ， Q， 0， 0， 0，即 在 ， 0， ， 所以 = 或 故选 D 【点评】 此题考查了全等三角形 的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键 10已知抛物线 y=bx+c 的顶点为 D（ 1， 3），与 x 轴的一个交点在（ 3， 0）和（ 2， 0）之间，其部分图象如图，则以下结论： 0； c a=3； a+b+c 0； 方程 bx+c=m（ m2）一定有实数根，其中正确的结论为（ ） 第 12 页（共 26 页） A B C D 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【分析】 由抛物线与 x 轴有两 个交点得到 40；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线 x= 1，则根据抛物线的对称性得抛物线与 x 轴的另一个交点在点（ 0， 0）和（ 1， 0）之间，所以当 x=1 时， y 0，则 a+b+c 0；由抛物线的顶点为 D（ 1， 3）得 a b+c=3，由抛物线的对称轴为直线 x= = 1 得 b=2a，所以 c a=2；根据二次函数的最大值问题，当 x= 1 时，二次函数有最大值为 3，即 bx+c=3，有两个相等的实数根，而当 m 3 时，方程 bx+c=m 没有实数根 【解答】 解： 抛物线与 x 轴有两个交点， 40，所以 正确； 抛物线的顶点为 D（ 1， 3）， a b+c=3， 抛物线的对称轴为直线 x= = 1， b=2a， a 2a+c=3，即 c a=3，所以 正确； 抛物线的对称轴为直线 x= 1， 抛物线与 x 轴的一个交点 A 在点（ 3， 0）和（ 2， 0）之间， 抛物线与 x 轴的另一个交点在点（ 0， 0）和（ 1， 0）之间， 当 x=1 时， y 0， a+b+c 0， 所以 正确； 抛物线的顶点为 D（ 1， 3）， 当 x= 1 时，二次函数有最大值为 3， 方程 bx+c=3 有两个相等的实数根， m2， 方程 bx+c=m（ m 3）没有实数根，所以 错误 第 13 页（共 26 页） 故选： C 【点评】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y=bx+c（ a0）的图象为抛物线，当 a 0，抛物线开口向上；对称轴为直线 x= ；抛物线与 y 轴的交点坐标为（ 0， c）；当 0，抛物线与 x 轴有两个交点；当 4，抛物线与 x 轴有一个交点；当 40，抛物线与 x 轴没有交点 二、填空题（共 6小题，每小题 4分，满分 24分） 11数据 0， 3， 3， 4， 5 的平均数是 3 ，方差是 【考点】 方差；算术平均数 【分析】 先由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可 【解答】 解：数据 0， 3， 3， 4， 5 的平均数是 ， 方差为： ， 故答案为： 3 【点评】 本题考查方差和平均数，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立平均数是所有数据的和除以数据的个数 12若 3a=4，则 6a 2= 0 【考点】 代数式求值 【专题】 计算题；实数 【分析】 原式前两项提取 2 变形后，将已知等式代入计算即可求出值 【解答】 解： 3a=4， 原式 = 2（ 3a） +8= 8+8=0， 故答案为： 0 【点评】 此题考查了代数式求值，熟练掌握运算 法则是解本题的关键 13如图，一块直角三角板 斜边 量角器的直径恰好重合，点 D 对应的刻度是 58，则 度数为 61 第 14 页（共 26 页） 【考点】 圆周角定理 【专题】 压轴题 【分析】 首先连接 直角三角板 斜边 量角器的直径恰好重合，可得点 A， B， C，D 共圆，又由点 D 对应的刻度是 58，利用圆周角定理求解即可求得 度数，继而求得答案 【解答】 解：连接 直角三角板 斜边 量角器的直径恰好重合， 点 A， B， C， D 共圆， 点 D 对应的刻度是 58， 8， 9， 0 1 故答案为： 61 【点评】 此题考查了圆周角定理注意准确作出辅助线是解此题的关键 14如图，若锐角 接于 O，点 D 在 O 外（与点 C 在 侧），则下列三个结论： C D； C D； C D 中，正确的结论为 【考点】 圆周角定理；锐角三角函数的增减性 第 15 页（共 26 页） 【分析】 首先设 O 于点 E，连接 圆周角定理，易得 C D，继而求得答案 【解答】 解：设 O 于点 E，连接 C= D， C D， C D； C D； C D， 正确的结论有： 故答案为： 【点评】 此题考查了圆周角 定理以及三角函数的性质注意准确作出辅助线是解此题的关键 15若 m、 n（ m n）是关于 x 的方程（ x a）（ x b） +2=0 的两根，且 a b，则 a， b， m， n 的大小关系用 “ ”连接的结果是 a m n b 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【分析】 由于（ x a）（ x b） = 2，于是可 m、 n 看作抛物线 y=（ x a）（ x b）与直线 y= 2的两交点的横坐标，而抛物线 y=（ x a）（ x b）与 x 轴的两交点坐标为（ a， 0），（ b， 0），然后画出函数图象，再利用函数图象即可得到 a， b， m， n 的大小关系 【解 答】 解： （ x a）（ x b） +2=0， （ x a）（ x b） = 2， m、 n 可看作抛物线 y=（ x a）（ x b）与直线 y= 2 的两交点的横坐标， 抛物线 y=（ x a）（ x b）与 x 轴的两交点坐标为（ a， 0），（ b， 0），如图， a m n b 故答案为： a m n b 第 16 页（共 26 页） 【点评】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点、根与系数的关系；根据题意得出 m、 n 可看作抛物线 y=（ x a）（ x b）与直线 y= 2 的两交点的横坐标是解决问题的关键 16如 图，点 C 在以 直径的半圆上， ， 0，点 D 在 运动，点 E 与点 C 对称： 点 D，并交 延长线于点 F，下列结论： F； 线段 最小值为 ； 当 时， 半圆相切； 当点 D 从点 A 运动到点 O 时，线段 过的面积是 4 其中正确的序号是 【考点】 圆的综合题 【分 析】 （ 1）由点 E 与点 D 关于 称可得 D，再根据 可证到 F （ 2）根据 “点到直线之间，垂线段最短 ”可得 小，由于 出 最小值就可求出 最小值 （ 3）连接 证 等边三角形， D，根据等腰三角形的 “三线合一 ”可求出 而可求出 0，从而得到 半圆相切 （ 4）首先根据对称性确定线段 过的图形，然后探究出该图形与 关系，就可求出线段过的面积 【解答】 解： 连接 图 1 所示 点 E 与点 D 关于 称， 第 17 页（共 26 页） D E= 0 E+ F=90， 0 F= F， D= 正确 当 ，如图 2 所示 半圆的直径， 0 ， 0， 0， ， 0， 根据 “点到直线之间，垂线段最短 ”可得： 点 D 在线段 运动时， 最小值为 D= 线段 最小值为 2 故 正确 当 时，连接 图 3 所示 C， 0， 等边三角形 O， 0 ， ， O， 0， 点 E 与点 D 关于 称， 第 18 页（共 26 页） 0， 0， 过半径 外端，且 半圆相切故 正确 点 D 与点 E 关于 称， 点 D 与点 F 关于 称， 当点 D 从点 A 运动到点 B 时， 点 E 的运动路径 于 称， 点 F 的运动路径 于 称 过的图形就是图 5 中阴影部分 S 阴影 =2S C=2 =4 故 正确 故答案为 第 19 页（共 26 页） 【点评】 本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、 轴对称的性质、含 30角的直角三角形、垂线段最短等知识，综合性强，有一定的难度，第四个问题解题的关键是通过特殊点探究 运动轨迹，属于中考压轴题 三、解答题（共 7小题，满分 66分） 17解方程 2 【考点】 解分式方程 【分析】 观察可得最简公分母是（ x 3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解 【解答】 解：方程的两边同乘（ x 3），得： 2 x= 1 2（ x 3）， 解得： x=3， 检验：把 x=3 代入（ x 3） =0，即 x=3 不是原分式方程的解 则原方程无解 【点评】 此题考查了分式方程的求解方法此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根 18如图，在平行四边形 将 折，使点 B 落在 B处， 交于 O，求证： B 第 20 页（共 26 页） 【考点】 翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质 【专题】 证明题 【分析】 利用翻折不变性以及平行四边形的性质先证明 证明 C 即可 【解答】 证明： 由 翻折， B， 四边形 平行四边形， C， C， B 【点评】 本题考查平行四边形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用翻折不变性发现等腰三角形，属于中考常考题型 19某海域有 A， B 两个岛屿， B 岛屿在 A 岛屿北偏西 30方向上，距 A 岛 120 海里，有一艘船从 沿东北方向行驶一段距离后，到达位于 B 岛屿南偏东 75方向的 C 处，求出该船与 B 岛之间的距离 长（结果保留根号） 第 21 页（共 26 页） 【考点】 解直角三角形的应用 【专题】 探究型 【分析】 要求该船与 B 岛之间的距离 长，可以作辅助线 点 D，然后根据题目中的条件可以分别求得 长，从而可以求得 长，本题得以解决 【解答】 解：作 点 D，如下图所示， 0， 0， 又 5， 5， 20， D=60 ， 5， 5， C=60， 0 ， ， D+ ）海里 第 22 页（共 26 页） 【点评】 本题考查解直角 三角形的应用方向角问题，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件 20为了解我市 3 路公共汽车的运营情况，公交部门随机统计了某天 3 路公共汽车每个运行班次的载客量，得到如下频数分布直方图如果以各组的组中值代表各组实际数据，请分析统计数据完成下列问题 （ 1）找出这天载客量的中位数，说明这个中位数的意义； （ 2）估计 3 路公共汽车平均每班的载客量大约是多少？ （ 3）计算这天载客量在平均载客量以上班次占总班次的百分数 （注：一个小组的组中值是指这个小组的两个端点数的平均数） 【考点】 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；中位数 【分析】 （ 1）从图上可看出中位数是 80，估计 3 路公共汽车每天大约有一半的班次的载客量超过80 人 （ 2）求出平均数，可代表 3 路公共汽车平均每班的载客量大约是多少 （ 3）找出在平均载客量以上的班次算出这些人数的和然后除以总人数就可以了 【解答】 解：（ 1） 80 人，估计 3 路公共汽车每天大约有一半的班次的载客量超过 80 人； （ 2） = =73（人）， 因为样本平均数为 73， 所以可以估计 3 路公共汽车平均每班的载客量大约是 73 人； （ 3）在平均载客量以上的班次占总班次的百分数 = 第 23 页（共 26 页） 【点评】 本题考查频数分布直方图，频数直方图表示每组数据里面的具体数是多少，以及中位数的概念有样本估计总体等知识点 21如图，一次函数 x+2 的图象与反比例函数 的图象交于 A， B 两点，与 x 轴交于点 C，已知 （ 1）求反比例函数的解析式 （ 2）当 y1=，求 x 的取值范围 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （ 1）根据已知得出 B（ 2m， m），代入 x+2，求出 B 的坐标，代入，根据待定系数法求出即可； （ 2）联立方 程，解方程即可求得 【解答】 解：（ 1） ， 设 B（ 2m， m）， 代入 x+2 得 m=2m+2， 解得 m= 2， 第 24 页（共 26 页） B（ 4， 2）， k= 24= 8， 反比例函数的解析式为 y= ； （ 2）解 = x+2 得 x= 2 或 x=4， 故当 y1=， x 的取值为 2 或 4 【点评】 本题考查了一次