希尔伯特的数学生涯

希尔伯特的数学生涯希尔伯特的数学生涯 崇高的人格与光辉的数学成就 希尔伯特的数学生涯 摘要 本文叙述了希尔伯特的生平 列举并论述了他的数学研究成果 探 讨希尔伯特对后世数学发展的巨大影响 关键词 几何基础 公理化 哥廷根 23 个数学问题 前 言 作为一个时代数学界的领袖 德国人民伟大的儿子 当大卫 希尔伯特 1943 年在哥廷根与世长辞时 人们开始回顾他所留下的精神印记和正在消失 在地平线下的那个数学时代 似乎感到希尔伯特的时代比起以往和以后贯穿着 更完美的平衡 精通单个具体问题和形成一般抽象概念之间的平衡 我们称之为希尔伯特的时代 正因为是他 希尔伯特 通过自己的工作做 出了巨大的贡献 开创了二十世纪初那个数学大发展的时代 而后继者们所走 的道路 也几乎都可以追溯到他的推动 希尔伯特是推动着一个时代的数学的 人 在以后的时代里我们还没有找到可以达到与他相比的崇高形象 赫尔 曼 外尔语 大卫 希尔伯特对数学的贡献是巨大的和多方面的 研究领域涉及代数不 变式 代数数域 几何基础 变分法 积分方程 无穷维空间 物理学和数学 基础等 当然 他在数学领域所做出的最具影响的贡献还是著名的几何基础和 23 个数学问题 它们贯穿整个 20 世纪的数学乃至现在 影响之深远是我 们所无法估量的 另一方面 希尔伯特的崇高人格更加为人称道的 许多在数学发展中起了 相当大作用的年轻数学家 都曾在 1900 至 1914 年间侨居哥廷根 师从希尔 伯特 而他的问题 观点和数学研究方法的影响更远远超过直接受他教导所鼓 舞的那些人的范围 希尔波特的政治人格同样崇高 是 独一无二地没有国家 和种族偏见的人 他反对沙文主义 并且主张 科学无国界 在政治上始终 站在自由和民主的一方 我们研究希尔伯特的数学思想和数学成就 以及产生这种成就的源泉 一 生平与为人 1861 年春的一天 奥托 希尔伯特和他夫人玛丽亚的遗传基因偶然地 结合 孕育了一个非同寻常的天才人物 1862 年 1 月 23 日下午一点钟 他们的第一个孩子降生在靠近东普鲁士首府哥尼斯堡的韦洛 父母给他起 了个名字叫大卫 希尔伯特和德国的国家主义几乎同时诞生 他来到人世前的 几个月 已故普鲁士国王的兄弟到哥尼斯堡进行了一次传统的朝拜 在那座古 老的 城堡里 他带上了王冠 东普鲁士首都建于公元 13 世纪中叶 是条顿族骑士 修筑的城堡 市内有七座各具特色的大桥 横跨普累格尔河 其中有五座把河 岸同河中的克亲芳福岛相连接 这些桥可不简单 哥尼斯堡因此而载入了数学 史 桥的配置能引出一个数学问题 牵涉著名的拓扑学基础 之前的一个世纪 被欧拉 Euler 所解决 哥尼斯堡大教堂在克余芳福岛 近旁是一所古老的大学 还有哥尼斯堡最伟大的居民伊曼努尔 康德 1mmanud Kant 的墓地 像哥 尼斯堡所有的孩子一样 大卫的成长也深受康德言论的抚育 1880 年秋天 18 岁的希尔伯特进人家乡的哥尼斯堡大学 他不顾当法官 的父亲希望他子承父业的愿望 毫不犹豫地进了哲学系学习数学 当时的大学 数学还设在哲学系内 希尔伯特发现当时的大学生活要多自由有多自由 意想 不到的自由 使许多年轻人把大学第一年的宝贵时光都花费在学生互助会的传 统活动饮酒和斗剑上 然而对希尔伯特来说 大学生活的更加迷人之处却在于 他终于能自由地把全部精力给予数学了 许多德国学生有从一个大学到另一个大学周游的习惯 希尔伯特却不同 一直在家乡求学 正是在嘉兴的大学里 他攀上了学术界的最初几级台阶 成 为大学讲师 在适当的时候升为副教授 1895 年在费力克斯 克莱因的建议 下 被授予哥廷根的正教授的职位 这是他的一流代数家的声誉已经建立起来 了 而哥廷根由于有希尔伯特和稍后闵可夫斯基的加盟 一下子成为了世界数 学的中心 从这时一直到去世 希尔伯特一直在哥廷根直至 1930 年退休 希尔伯特与三个人的关系很值得关注 一是他与克罗内克不免充满矛盾的态度 希尔伯特是康托尔的一般集合论 的早期一个少数的拥护者之一 而克罗内克正是康托尔的死敌 在希尔伯特看 来 克罗内克的数学就是普洛克鲁斯的梯床 这位老数学家利用自己的权势和 声望 压制那些不符合自己数学思想的其它声音 克罗内克坚持定理的证明必 须通过整数明显构造出来 然而另一方面 他又依赖克罗内克 因为在希尔伯 特的代数时期 克罗内克的工作的重要性是毋庸讳言的 晚年的希尔伯特在这 一方面的矛盾其实更加尖锐 与布劳维尔的直觉主义的论战 其实是在与克罗 内克的鬼魂的论战 希尔伯特一方面同克罗内克斗争事实上又在另一方面追随 他 他须沿着严格的直觉主义的路线来思考 以求保护非直觉主义的数学 另两位是阿道尔 胡尔维茨和闵可夫斯基 前者是希尔伯特的老师 朋友 和前任 后者则在青年时就成为希尔伯特挚友并且成为希尔伯特前半生最忠实 的数学伙伴 1902 年希尔伯特和闵可夫斯基在哥廷根重新聚首 这之后的十 年 直至闵可夫斯基逝世 数学领域因二人的共同工作经历了一段伟大而光辉 的时期 希尔伯特后来这样谈到他的朋友和他们共同工作的这段时期 我们 的科学 我们爱它超过一切 它把我们联系在一起 在我们看来 它好像鲜花 盛开的花园 在花园中 有许多踏平的路径可以使我们从容的左右环顾 毫不 费力的尽情享受 特别是有趣味相投的游伴在身旁 但是我们也喜欢寻求隐秘 的小径 发现许多美观的新景 当我们向对方指出来 我们就更加快乐 这也 不仅证明他们基于共同的科学兴趣的友谊是如此的深厚 而且我们似乎由这几 句话听到希尔伯特这位吹笛人所吹的甜蜜的芦笛声 它诱惑许多老鼠跟着他投 入数学的深河 赫尔曼 外 尔语 这篇文章的主旨只是想简略谈一下希尔伯特个性中的个性方面 因此笔者 并不准备过多涉及他对人们生活中的态度 像社会及政治 艺术 宗教道德和 规范 家庭 友谊 爱情等等方面 也更加没有必要指出在的人格光环下的某 些阴影 然而不可忽略的是以上我们所谈到的他的同行和更多的环境因素 像 哥廷根那样的小镇中的大学 特别是处于 1914 年以前美好平静的日子里 正 是发展理论科学的最有利场所 教授们的崇高的科学地位 以及大学城中一切 事情都和大学密切相关 这在当今的中国几乎是一种不可想象的气氛 此外 一旦一帮充满求知欲望的学生围绕着希尔伯特 不被教学杂务打扰而专门从事 研究 彼此之间相互激励 又怎能不产生丰富的数学硕果 当然 这其中更加不能忽略的是希尔伯特的个人魅力 一个希尔伯特的学 生回忆说 我去听希尔伯特开的课 课程讲的是数的概念和化圆为方 他讲 的内容一直钻进我的脑子里 新世界的门向我敞开了 我在他的班上听课没多 久就在我年青的心里下了决心 我必须用一切方法去阅读和研究他所写的一切 这之后几个月使我一生中最幸福的几个月 经历了我们共同分担的疑虑和 失败的岁月之后 它的光辉仍抚慰着我的心灵 一个数学家对于他所处时代的推动并不直接和他科学研究工作的分量成比 例 希尔伯特的数学工作博大精深 然而他的影响并不完全来自这些工作 同 样是哥廷根历史上领军人物的高斯 其数学成就甚至要高过希尔伯特 但是他 对同时代的人的激励却很少 不仅没有形成学派 甚至给某些年青数学家的前 途带来了毁灭性的灾难 高斯与小波尔约和阿贝尔的纠葛中 高斯都未能表现 出一个数学领袖应有的风范 这或许是个人的天性所决定 尽管很多的创造性 的天才习惯于孤独与默默无闻 但是希尔伯特充满生活热情的天性使他选择了 另一种方式 他喜欢和其他人交往 尤其是同年青科学家交往 并在交往中发 展自己 也给对方带来启发 正如他从胡尔维茨那儿学到东西 在年青时不顾 世俗的偏见和闵可夫斯基结成了终生的友谊 他也在环绕哥廷根的树林中长时 期漫步或雨天在有顶的花园中走来走去时 把科学传授给自己的学生 至少是 那些他深感兴趣的学生 他的乐观主义 他的热情 他对科学的崇高价值的不可动摇的信念以及他坚信 对于简单明了的问题能够求出简单明了的答案的理性的力量 都具有不可抗拒 的感染力 他憎恶假装冷淡的势利态度与游手好闲甚至玩世不恭的犬儒主义 他对人 对事总是采取直截了当的态度 即使这样 在他周围总是充满快乐和欢笑 他 惊人的勤奋 天才就是勤奋 是他的座右铭 而最卓著的是他伟大的启示性力 量 有时甚至使平庸的智利提高到远远超过你所期待的水平而取得惊人的成就 二 数学工作 希尔伯特的数学工作涉及的领域非常广泛而且成就巨大 他的工作可以清 楚的分为不同的时期 每一时期他都几乎集中于一组特殊的问题 当他全神贯 注于微分方程时 微分方程似乎就是一切 放弃一个题目 他就永远的离开 转向另外的题目 他就是以这样特殊的方式造就他的广博 一般的 将他的工作氛围五个主要时期 1 不变式理论 1885 1893 2 代数数域理论 1893 1898 3 基础论 a 几何基础 1898 1902 b 一般数学基础 1922 1930 4 积分方程 1902 1912 5 物理学 1910 1922 尽管以上前 4 个时期的每个时期的数学成就都足以使希尔伯特位列一流数 学家 但论及对整个数学的发展真正举足轻重的还是他的公理化理论和 23 个 数学问题 后者虽然不是一项严格意义上的数学成果 但它的影响却不比任何 一个理论的成果影响小 一 几何基础 与公理化理论 1 几何基础 希尔伯特在名著 几何基础 中第一次给出了自然 简明 全面 严格的 公理系统 提出了形式公理法 这是公理学上的里程碑 在欧几里德的实质公理法中 所讨论的对象是在所列举的公理也是不完备 的 公理系统以前早就已知的 而这些对象 指基本概念 的定义仅限于直觉 描述而不是逻辑定义 因而在定理的证明过程中并非为严格的逻辑推演 往往 诉诸 直观 和 经验 希尔伯特还注意到 要研究数学的逻辑推理 要考察哪种推理过程可以实 现 哪种过程不能实现 与作为前提的诸命题和作为结论的命题的具体含义无 关 只与其逻辑构成形式有关 例如 由 如果 A 则 B 与 如果 B 则 C 可 以推出 如果 A 则 C 这种推理是常见的 正确的和可以实现的 并且这种 推理与命题 A B C 的具体含义无关 因此 希尔伯特在研究欧式几何的基础上 放弃了 几何原本 里公理系 统的直观显然性 而强调逻辑结构 给出了由五组公理构成的公理系统 这便 是希尔伯特 几何基础 的主要内容 也就是所谓的形式公理法 在希尔伯特的公理系统中 把 点 线 面 作为一组抽象元素 把 在 之上 在 中间 合同于 作为一组抽象的关系 这是六个基本 概念 然后把他们的基本属性用五组公理形式陈述出来 也就是说与欧式的实 质公理法不同 不是把所讨论的对象作直接的定义 做明显的直觉描述 而是 把它们之间的基本关系的根本性质用公理来刻画 从而把所讨论的对象整体的 公理形式做 隐 的规定 所以 作为抽象元素的点 线 面和作为抽象关系 的 在 之上 在 中间 合同于 完全不必与直觉关系下的点 线 面和他们之间的关系发生任何联系 这六个基本概念 我们只知道他们是适合 上述五组公理的元素和关系 换言之 这些公理就是在其中出现的概念的定义 同时公理自身就是自己的证明 应用纯粹逻辑推理来建立几何是 所需要的一 切都包含在公理之中了 当我们把这些基本概念看成某一具体领域的元素的关系时 若公理成了该 领域的真命题 就称给公理系统一个解释 或者说给出公理系统的一个模型 举一例如下 考虑非空的集合 S x y z S 上有一抽象关系 R 在 之前 简记为 这里 x y z 作为抽象的元素 作为抽象的关系 还 并未说明由什么具体含义 我们列举两条关于它们的公理 1 任何元素不再自身之前 即关系 不自反 2 如果 x y y z 则 x z 即关系 是传递的 不难看出公理系统 1 2 是有模型的 例如 当 x y z 指的是人 而人与人 之间有个年龄的大于关系 如果把 x y 解释作 x 大于 y 那么公理系统 1 2 的一个解释就是 人的集合和人之间的年龄大于关系 再如 把 x y z 看成整数 则 S 就成了整数集 Z 而把 看成 Z 上的 小于关系 那么整数集 Z 和他们之间的小于关系就是公理系统 1 2 的又一解 释 2 公理系统的系统特征 A 系统的无矛盾性 希尔伯特用形式公理法研究初等几何的逻辑结构时 首先提出了公理系统 的协调性 即无矛盾性 也就是基于它的公理系统作逻辑演绎时不会推出互相 矛盾的命题来 否则这个公理系统就不能反应 真 假 因而也就没有意义 了 希尔伯特认为公理系统的协调性是解决悖论问题的方法 为了给出协调性的证明 希尔伯特创立了证明论和有穷方法 这对数学思想的 发展 对数理逻辑和数学基础的研究有很大的促进作用和深远的影响 以协调性为中心论题的证明论已发展成为数理逻辑的西大分之之一 B 系统的独立性 在一个公理系统中 若一个公理 A 不能从其他公理对出 则称 A 对于其它公 理是独立的 公理系统应该尽可能的精简 然而一条独立的公理就不能轻易删 除 否则它所包含的内容不能有其它公理推出 系统也就具有缺陷 C 系统的完备性 从公理系统出发借助于逻辑规则可以推演出一个数学分支的全部真命题 即 为公理的完备性 公理化方法的出现和研究可以上溯到古希腊时期 在希尔伯特的 几何基 础 问世之后 公理化方法则成为数学研究中的主要研究方法 几乎现在所有 的数学分支都经历过公理法的分析和讨论 可以讲 没有希尔伯特形式公理法 的数学是难以想象的 二 希尔伯特的 23 个数学问题 在 1900 年巴黎国际数学家代表大会上 希尔伯特发表了题为 数学问题 的著名讲演 他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势 提出了 23 个最重要的数学问题 这 23 个问题通称 希尔伯特问题 后来成为许 多数学家力图攻克的难关 对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响 并起 了积极的推动作用 希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决 有些至今仍未解 决 他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念 对于数学工作 者是一种巨大的鼓舞 希尔伯特的 23 个问题分属四大块 第 1 到第 6 问题是数学基础问题 第 7 到 第 12 问题是数论问题 第 13 到第 18 问题属于代数和几何问题 第 19 到第 23 问题属于数学分析 希尔伯特认为 数学科学是一个不可分割的整体 它的生命正是在于各个部 分之间的联系 尽管数学知识千差万别 但是在作为整体的数学中 数学家们 都在使用着相同的工具 存在着概念的亲缘关系 同时 在它的不同部分之间 也有大量相似之处 并且希尔伯特相信 数学理论越是向前发展 它的结构就 变得越加的调和一致 并且 这门科学一向相互隔绝的分支之间也会显露出原 先意想不到的关系 因此 随着数学的发展 它的有机的特性不会丧失 只会 更清楚的呈现出来 时至今日 希尔伯特的高度预见性已经得到了验证 他向人们指出的数学 方向和具体问题也被证明是极为正确的 三 希尔伯特带给我们的启发 希尔伯特是一个伟大的数学现象 这个现象可以用三个方面来概括 1 数学领域中基础性和革命性的成果 2 对于数学未知的关键