广东省韶关市2016届高三4月模拟(二模)考试数学文试题含答案

韶关 2016 届高 考模拟 （二模） 测试数学（ 文 科）试题 说明： 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1至 2页，第卷 3至 5页，满分 150分，考试时间 120 分钟 . 注意事项： 1答第 生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔或圆珠笔、签字笔写在答卷上。 2第 将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。 时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 本试卷和答题卡一并交回 第卷 一、本大题共 12小题，每小题 5分，满分 50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (1) 已知集合 12S x x R ， 2 1 0 1 2T ， ， ， ， 合 元素的个数是 0 个 1 个 2 个 3 个 （ 2） 2( c o s 7 5 s i n 7 5 )A 12B 1 C 32 D 2 （ 3） 设 i 为虚数单位，已知复数 z 满足2z ，则 其共轭复数 z 为 A 1i B 1i C 22i D 22i （ 4） 设 1232 , 3 ,()l o g ( 1 ) , 3 则 ( ( 10 ) A 1 B 2 C 2e D 22e （ 5） 已知焦点在 x 轴双曲线的一条渐近线的倾斜角6,则此双曲线的离心率为 B. 3 3 3 （ 6） 若某程序框图如图 所示，则该程序运行后输出的值是 A7B8C9D10n 10, i 1 n 3n 1 开 始 n 是奇 数 ? 输出 i 结 束 是 否 n n 1? 是 否 n 2 i i 1 俯视图侧视图正视图3544（ 7） 某几何体的 三视图 如图 所示，则该几何体的体积为 A35812 B3584 C 5812 D 584 （ 8） “ 1a ”是“函数 ( ) | |f x x a在区间 1, + )上为 增函数”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 （ 9） 函数 ( ) 2 c o s ( ) ( 0 , 0 )f x x 的部分图象如右图所示， 则 (0)f 的值 A 32B 1 C 2 D 3 （ 10） 在“家电下乡”活动中，某厂要将 至少 100 台洗衣机运往邻近的乡镇现有 4 辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用每辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20台 ；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机 10台若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 A 2000元 B 2200元 C 2400元 D 2800元 （ 11） 若圆 22 4 4 1 0 0x y x y 上至少有三个不同点到直线 l :y 的距离为 22,则直线l 的斜率的取值范围是 A. ( 2 3 , 2 3 ) B. 2 3 , 2 3 C. ( , 2 3 ) ( 2 3 , ) U D. ( , 2 3 2 3 , ) U （ 12） 定义在 ) 1) ( ) 0x f x，且 )1( 偶函数，当1211 时，有 A )2()2( 21 B12( 2 ) ( 2 )f x f x C12( 2 ) ( 2 )f x f x D12( 2 ) ( 2 )f x f x 第卷 本卷包括必考题与选考题两部分，第（ 13）至（ 21）题是必考题，每个试题考生必须做答，第（ 22）至（ 24）是选考题，考生根据要求做答。 二填空题 （本大题共 4 小题，每小题 5分，满分 20 分） （ 13） 已知 (1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) ( ) ( )a b a b r r r r，则实数 . （ 14） 已知 x， y 与 x 线性相关，且 ， 则 a _. （ 15） 在 中，角 , 的对边分别为 , ， 已知 ( s i n s i n ) ( )A B a b 1( ) s a c C , 则 . （ 16） 已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个表面积为 4 的球与该三棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的 侧面积是 _. 三解答题 （本大题共 6 小题，满分 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （ 17）（本小题满分 12 分） 设 *， 数列 ，1 2 （）求数列 （ ）设21n ， 求 数列 n 项和 （ 18）（本小题满分 12 分） 某部门就“按现有的物价水平，抚养一个孩子要花多少钱”对 100人进行了问卷调查，将调查结果制作成频率分布直方图如图， 已知样本中数据 在区间 30,35 上的人数与数据 在区间 45,50的人 数之比为 3 4 （）求 , x 0 1 3 4 y 2.2 a ）（）根据问卷调查结果估计：按现有的物价水平， 抚 养一个孩子平均要花多少钱； （）按分层抽样的方法在 数据 在区间 30,35 和 40,45 上 的接受调查的市民中 选取 6人参加电视台举办的访谈，再从这 6 人中 随机选取 2 人，求数据在 30,35 的市民中至 少有一人被选中的概率 . （ 19）（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中，平面 面 2 E 是 中点 ，,/ ， （ ） 求证： /面 （ ）设 F 是线段 的点，若 13D,求三棱锥F 的体积 . （ 20）（本小题满分 12 分） 已知动圆过定点 10,2，且与直线 12y相切 . （ ）求动圆圆心的轨迹 C 的方程； ( ) 设 Q 是 轨迹 C 上一点，过 Q 作圆 P : 22( 6 ) 1 的切线，其中 A 、 B 是切点，若轨迹 处的切线与直线 行，求直线 程 . （ 21） （本小题满分 12分） 已知函数 ， x 1 ，其中 71828.2e ， （ ） 证明： 是 函数 )( 唯一 零点； （ ）当 2a 且 1x 时，试比较 () ()大小 ，并说明理由 请考生在第（ 22）、（ 23）、（ 24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号 . （ 22） （本题满分 10分）选修 4何证明选讲 22 (本小题满分 10分 )选修 4 1：几何证明选讲 如图， 的高， ,D E A B D F A C （） 证明： ,B C F E， 四点共圆； （） 若 5 , 2 , 2 5A F C F D E ， 求 长 . 23. （本小题满分 10分）选修 4标系与参数方程 在直角坐标系 ，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立 极 坐标系， 曲线 数 方程为2 c o s 32 s i n 1 （ 为参数）， 曲线2坐标方程为 2 . （ I）求 曲线1 （ 若射线6 ( 0)交曲线 、 B （ A 、 B 异于原点） ,求 24 （本小题满分 10 分）选修 4等式选讲 已知 ( ) 1f x x （ I） 求不等式 ( ) 3的解集 A ； （ 当 , 时，证明： 4 | | | 1 6 |m n m n . 2016 届高考模拟 测试数学（文科） 参考解答和评分标准 说明： 1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题： 解析： 1. 1 2 1S x x S x x 2 1 0 1 2T ， ， ， ，, 故 12， 2. 原式 = 31 s 5 02o,选 C 3. 由已知得 ( 2 )z z i i ，即 (1 ) 2， 2 11 ，所以， 1 故选 B. 4. 3( 1 0 ) l o g 9 2f Q，故 21( ( 1 0 ) ) ( 2 ) 2 2f f f e e ，选 C 21,依题意 33 22 33 233e选 D 6. 10, 1； 5, 2； 16, 3； 8, 4； 4, 5； 2, 6； 1, 7；故选 A 7. 5)22(3132 22V 35812 , 故 选 A 8. 若 “ 1a ”，则 函数 |)( =| 1|x 在区间 ),1 上为增 函数 ；而若 |)( 在区间 ),1 上为增函数 ，则 a 1，所以 “ 1a ”是 “函数 |)( 在区间 ),1 上为增函数 ”的充分不必要条件 ，选 A 9. 21 2 1 2T ，所以 2 2T 212 k ，可得 26 k ，取 0k 可得6 ，所以 2 c o s 26f x x ，于是 0 2 c o s ( ) 36f x 辆，乙型货车需要 y 辆，由题意得不等式组 0 4 ,0 8 ,2 0 1 0 1 0 0x x Ny y 作出可行域 ，可知，当直线 4 0 0 3 0 0z x y过点 (4,2) 时， 200z ，故选 B 104422 理为 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 3 2 ) ， 圆心坐标为 (2， 2)，半径为 3 2 ，要求圆上至少有三个不同的点到直线 :l y 的距离为 22 ，则圆心到直线的距离应不 大 于等于 2 ， 2| 2 2 | 21 ， 2 3 2 3 k ，选 B. 12. 若 )( ，则 0)( 此时 0)()1( )1( 偶函数都成立，此时当11 21 ，恒有 )2()2( 21 。 若 )(是常数，因为函数 )1( 偶函数，所以 )1()1( 即函数)( 关于 1x 对称，所以 )()2()()2( 2211 ，。当 1x 时， 0)( 此时函数 )( 单调递减，当 1x 时， 0)( 此时函数 )( 单调递增。若1,1 21 则由 11 21 得 11 21 即 211 ，所以 )()( 21 同理若 1,1 21 由 1121 )1()1( 21 即 112 所以 )()( 21 ，若 21,一个大于 1，一个小于 1，不妨设 1,1 21 则 1)1( 21 得 2121 ，所以 )()2( 21 ，即 )()( 21 ，综上有 )()( 21 ，即 )2()2( 21 ，选 A. 二、填空题： 题号 13 14 15 16 答案 2 15412 3 (13) ： ( 1 , 2 ) (0,1)若 ( ) ( )a b a b r r r r，则 ( ) ( ) 0a b a b r r r r，即 0 ( 1 ) 1 ( 2 ) 0 ，从而 2 (14) 回归直线过样本中心点 ( , )： (15) 由正弦定理可得 2 2 2 12a c b a c ,由余弦定理可得： 12 15B (16) 由球表面积为 4 可得半径 1r ,所以三棱柱高 2h ,设底面三角形边长为 a ,由体积关系 221 1 3 33 ( ) 2 ( )3 3 4 4r h a a r h a 解得： 23a 三棱柱的侧面积 12 或 ： 过球心作平行于棱柱底面的截面，因为球与三棱柱各面相切，所以，截面圆的半径等于球的半径 1，并且等于底面三角形边心距， 设底面三角形边长为 a ，则 3 16 a， 23a . 三、解答题 (17) （ I） 因为1 2，则1 21 分 所以 数列 2 为公差的等差数列 3 分 设等差数列 d 由已知得 12 3 824 分 解得 1 12L 5 分 所以 1 1 2 1na a n d n 6 分 （ （ I）可得 1 1 1 1()( 2 1 ) ( 2 3 ) 4 2 1 2 3nb n n n n 所以1 2 31 1 1 1 1 1 1 114 5 3 7 5 9 2 1 2 3b b b b 1 1 1 1 1 1 1 114 3 2 1 2 3 3 4 2 1 2 3n n n n （ 18） （）依题意： a b 3 4 由直方图可得： ( 0 . 0 1 0 . 0 6 0 . 0 2 ) 5 1a b b 1分 由得 34入 得： 11( 0 . 0 9 ) 5 14b 2分 解得： 3分 4分 （）（）由（）可知 ， 根据 直方图可得： 2 7 . 5 0 . 0 1 3 2 . 5 0 . 0 3 3 7 . 5 0 . 0 4 4 2 . 5 0 . 0 6 4 7 . 5 0 . 0 4 5 2 . 5 0 . 0 2 5 （ ） 所以， 按现有的物价水平， 抚 养一个孩子平均要花 元。 6分 （） 在区间 30,35 和 40,45 上 的数据的频率之比为 1 2 数据 在区间 30,35 的市民应选取 2 人，设为 , 7分 数据 在区间 40,45 的市民应选取 4 人，设为 1,2,3,4 8分 设“数据在 30,35 的民众至少有一人被选中”为事件 A 从 6 人中任选 2 人的所有基本事件为： ( , ) ( , 1 ) ( , 2 ) ( , 3 ) ( , 4 )a b a a a a ( , 1 ) ( , 2 ) ( , 3 ) ( , 4 )b b b b (1 , 2 ) (1 , 3 ) (1 , 4 ) (2,3) (2, 4) (3,4) 共 15 件 9分 事件 A 包含的基本事件有： ( , ) ( , 1 ) ( , 2 ) ( , 3 ) ( , 4 )a b a a a a ( , 1 ) ( , 2 ) ( , 3 ) ( , 4 )b b b 件 11 分 93()1 5 5 12分 （ 19） （） 证法 1： 取 点 G ，连 1分 分别是 的中点， ， ， ， ， 四边形 平行四边形 3分 又 面 面 /面 5分 证法 2： 取 点 M ，连 ，转证 平面 /面 证法 3： 延长 长线于 N ，连 转证 （）取 点 M ，连 , ， M 是 点 又 平面 面 交线为 面 面 长就是点 P 到平面 距离 7分 在 中， 2 2 M 是 点 1 8分 在直角梯形 ， ， 2121)(216513221231211321 10分 F 3118516531 12分 （ 20） （ ） 因为 动圆圆心 到定点 10,2与定直线 12y的距离相等， 由抛物线的定义知， 动圆圆心 轨迹为抛物线 2分 其中 10,2为焦点， 12y为准线，所以轨迹方程为 2 2 4分 ( ) 设 ( , ) 由 2 2 212 , Q 处的切线斜率为 m 5分 线段 点 6 ,)22,A 、 B 是 以 直径的圆 R 与圆 P 的两交点 圆 R 的方程为： 22226 ( 6 ) ( ) ( )2 2 4 4m n m （即： 22 ( 6 ) 6 0x y m x n y m 7分 又 圆 P 方程为： 22 1 2 3 5 0x y x 相减得： ( 6 ) 6 3 5 0m x n y m 9分 当 0n 时，因为， Q 处的切线与直线 行， 6 2 2 3 2 1 2 0 2( 2 ) ( 2 6 ) 0m m m 2n 2m 所以，直线 程是 4 2 2 3 0 当 0n 时， Q 处的切线与 直，不符合题设 12分 另解：11( , )Ax y,22( , )B x 的切线斜率都存在时 则过11( , )Ax 1116 ()xy y x （ 1） 因为 11( , )Ax 上 ，所以 221 1 11 2 3 5 0x y x 上且切线过 ( , ) 所以，11116 ()xn y m 以上两式代入（ 1）整理得：11( 6 ) 6 3 5 0m x n y m 7分 当 的切线斜率都有一条不存在时，上式同样成立 同理可得 22( 6 ) 6 3 5 0m x n y m 8分 所以直线 ( 2 ) 2 3 0m x n y n 过 A 、 B 两点，是直线 程的方程 10分 因为， Q 处的切线与直线 行， 6 22 322 1 2 0 ( 2 ) ( 2 6 ) 0m m m m m , 2m 2n 所以，直线 程是 4 2 2 3 0 12分 （ 21） 解：（ 1） ， 01)(2 )( ),0( 上是减函数，又 0)( 当 0 时， 0)( 当 时， 0)( 是 )(唯一零点 . 4分 （ 2） 当 1 时， x 1)()(|)(|)(| 6分 设 x 1)(，则 0)( 12 )( ),1 上为减函数 1)1()( ， 2a ， 0)( |)(|)(| 8分 当 时， 11 )(|)(|)(| 9分 设 x 1 ，则 12)( 02)( 12 )(在 ),( e 上为减函数， 02)()(1 )( ),( e 上为减函数， 02)()( 1 |)(|)(| 综上，当 2a ， 1x 时， |)(|)(| 12 分 （ 22） （本题满分 10分）选修 4何证明选讲 解： （） 证明： :连接 ,已知 , , ,A E D F 四点共圆，