弹性力学--第十章等截面直杆的扭转(全部)ppt课件.ppt

第十章等截面直杆的扭转 10 1扭转问题的应力和位移10 2扭转问题的薄膜比拟10 3椭圆截面杆的扭转10 4矩形截面杆的扭转 学习指导 扭转问题是空间问题中的一个专门问题 扭转问题的理论 是从空间问题的基本方程出发 考虑扭转问题的特性而建立起来的 扭转问题的应力函数 x y 仍然是二维问题 柱体扭转圆柱扭转 平面假设非圆截面扭转 横截面发生翘曲柱体扭转精确求解是十分困难的 第十章等截面直杆的扭转 10 1扭转问题的应力和位移 第十章等截面直杆的扭转 10 1扭转问题的应力和位移 等直非圆杆扭转 横截面翘曲纯扭转 自由扭转 端面可以自由翘曲 翘曲不受限制 相邻截面翘曲的程度完全相同 横截面上只有切应力 没有正应力 约束扭转 两端受到约束而不能自由翘曲 翘曲受到限制 相邻截面的翘曲程度不同 在横截面上引起附加正应力 弹性力学讨论自由扭转 第十章等截面直杆的扭转 10 1扭转问题的应力和位移 设有等直截面杆 体力可以不计 在两端平面内受有大小相等而转向相反的扭矩M 取杆的一端平面为xy面 z轴沿着杆的纵向 第十章等截面直杆的扭转 10 1扭转问题的应力和位移 设有等直截面杆 体力可以不计 在两端平面内受有大小相等而转向相反的扭矩M 取杆的一端平面为xy面 z轴沿着杆的纵向 用半逆解法 参考材料力学中对于圆截面杆的解答 这里假设 除了横截面上的剪应力 zx和 zy 即扭应力 以外 其余应力分量都等于零 即 10 1 1 求应力分量和位移分量 第十章等截面直杆的扭转 10 1扭转问题的应力和位移 1 求应力分量和位移分量 a 第十章等截面直杆的扭转 10 1扭转问题的应力和位移 10 2 10 3 2考察边界条件 1 第十章等截面直杆的扭转 10 1扭转问题的应力和位移 10 4 讨论 10 2 第十章等截面直杆的扭转 10 1扭转问题的应力和位移 静力等效 2 10 2 第十章等截面直杆的扭转 10 1扭转问题的应力和位移 静力等效 2 第十章等截面直杆的扭转 10 1扭转问题的应力和位移 10 5 10 2 第十章等截面直杆的扭转 10 1扭转问题的应力和位移 第十章等截面直杆的扭转 10 1扭转问题的应力和位移 现在推导有关位移的公式 将应力分量的表达式 10 1 及 10 2 代入物理方程 8 17 得 第十章等截面直杆的扭转 10 1扭转问题的应力和位移 通过积分运算 可求得位移分量 10 6 用柱坐标系表示 即 可见 每个横截面在xy面上的投影不改变形状 只是转动一个角度 Kz 由此又可见 杆的单位长度内的扭转角满足 第十章等截面直杆的扭转 10 1扭转问题的应力和位移 10 7 10 8 10 3 10 9 10 2扭转问题的薄膜比拟 第十章等截面直杆的扭转 德国力学家Prantle 普朗都指出 薄膜在均匀压力作用下的垂度 与等直截面杆扭转问题中的应力函数 在数学上相似 用薄膜来比拟扭杆 可以有助于求得扭转问题的解答 10 2扭转问题的薄膜比拟 当薄膜承受微小的均匀压力时 薄膜的各点将发生微小的垂度 以边界所在的水平面为xy面 则垂度为z 由于薄模的柔性 可以假定它不承受弯矩 扭矩 剪力和压力 而只能承受均匀拉力T 好像液膜的表面张力 均匀薄膜 张在一个水平边界上 上图所示 条件 水平边界形状和大小 扭转杆的横截面边界 第十章等截面直杆的扭转 10 2扭转问题的薄膜比拟 第十章等截面直杆的扭转 10 10 此外 薄膜在边界上的垂度显然等于零 即 10 11 10 2扭转问题的薄膜比拟 第十章等截面直杆的扭转 薄膜问题与扭转问题比较 扭转问题 薄膜问题 结论 10 2扭转问题的薄膜比拟 第十章等截面直杆的扭转 薄膜问题与扭转问题比较 结论 10 2扭转问题的薄膜比拟 第十章等截面直杆的扭转 薄膜问题与扭转问题比较 10 2扭转问题的薄膜比拟 第十章等截面直杆的扭转 10 2扭转问题的薄膜比拟 第十章等截面直杆的扭转 薄膜曲面可以形象地描述横截面的扭转应力分布 薄膜的等高线 切应力方向沿薄膜等高线切线 切应力与等高线法线方向导数成正比 切应力与等高线相切 切应力线 10 3椭圆截面杆的扭转 第十章等截面直杆的扭转 等截面直杆 它的横截面具有一个椭圆边界 椭圆的半轴是a和b a 10 3椭圆截面杆的扭转 等截面直杆 它的横截面具有一个椭圆边界 椭圆的半轴是a和b a 由于应力函数 在横截面的边界上应当等于零 所以假设应力函数为 b 其中m是一个常数 然后考察 是否满足一切条件 第十章等截面直杆的扭转 A 10 3椭圆截面杆的扭转 第十章等截面直杆的扭转 10 5 d 10 3椭圆截面杆的扭转 第十章等截面直杆的扭转 由材料力学知 e f 10 2 10 12 10 3椭圆截面杆的扭转 第十章等截面直杆的扭转 该应力函数满足了所有一切条件 10 12 10 13 10 3椭圆截面杆的扭转 第十章等截面直杆的扭转 假想有一块薄膜 张在椭圆边界上 受均匀压力 则 显然可见 薄膜的最大斜率将发生在 而方向垂直于边界 根据薄膜比拟 扭杆横截面上最大的切应力也发生在A点和B点 但方向平行于边界 将A点和B点的坐标 0 b 代入 10 13 得出 10 9 10 15 10 3椭圆截面杆的扭转 第十章等截面直杆的扭转 10 17 10 3椭圆截面杆的扭转 第十章等截面直杆的扭转 10 4矩形截面杆的扭转 分析矩形截面杆的扭转 设矩形的边长为a及b 10 3 积分 第十章等截面直杆的扭转 10 5 10 5 10 18 10 19 10 4矩形截面杆的扭转 第十章等截面直杆的扭转 10 9 10 20 d e f 10 4矩形截面杆的扭转 第十章等截面直杆的扭转 分析任意矩形截面杆 a b 为任意数值 并满足边界条件 e f 10 4矩形截面杆的扭转 第十章等截面直杆的扭转 分析任意矩形截面杆 a b 为任意数值 求解参见有关参考书 不讲 10 4矩形截面杆的扭转 第十章等截面直杆的扭转 薄壁构件的扭转 薄壁杆的横截面是由等宽度的狭长矩形组成 一个弯的狭长矩形组成可以用一个等宽度的直矩形截面代替 而不致引起很大的误差 开口薄壁杆件 横截面由等宽