一、圆锥曲线的光学性质及其应用

圆锥曲线定值定点子弦的课例分析圆锥曲线定值定点子弦的课例分析 一 内容介绍一 内容介绍 1 教材内容分析 本节课 圆锥曲线定值定点子弦 是 普通高中课程标准实验教科书 数学选 修 2 1 A 版 第二章的内容 圆锥曲线是解析几何的重要内容之一 也是高考考查 的重点和热点 知识综合性较强 对学生逻辑思维能力 计算能力等要求很高 这些问 题重点考查学生方程思想 函数思想 转化与化归思想的应用 定值问题与定点问题 是这类题目的典型代表 为了提高学生的解题效率 特别是高考备考效率 列举了一些 典型的定点和定值问题 以起到抛砖引玉的作用 2 学生情况分析 新课标下的高考数学 越来越重视对学生综合素质的考察 圆锥曲线中的定点 定值问题 便是考察学生综合数学素质的一个重要途径 此类问题主要涉及到直线 圆与圆锥曲线等方面的知识 渗透了函数 化归 数形结合的思想 所以是高考的 热点题型之一 但是这类问题难度相对较大 学生在学习中的掌握情况较差 为了 提高学习的有效性 本人通过变式探究的方法为学生创设了积极主动多效的学习方 式 使课堂充满乐趣 大大提高了学生的综合素质 自然也提高了备考效果 二 二 教学目标 教学目标 知识与技能 1 培养运算能力 2 通过引入参数 建立含参等式寻找定点 3 培养由特殊到一般的探索能力 过程与方法 通过小组合作 自主学习培养学生分析 解决问题的能力 情感态度与价值观 1 认识世界总是从特殊到一般 再由一般到特殊 数学研 究也不例外 由特殊到一般 再由一般到特殊的基本认识过程 就是数学研究中的特 殊与一般思想 2 在运动中寻找不变量 动静结合 体现哲学中动静既对立又统一 思想 三 三 教学重点与难点 教学重点与难点 重点 1 掌握圆锥曲线中斜率等和子弦的定点定值 2 掌握圆锥曲线中斜率等积 子弦的定点定值 难点 运算技巧 化简 1 引入 圆锥曲线上的定点定值子弦的含义 设点 P 是圆锥曲线上的一个定点 PA PB 是该曲线过定点 P 的两条弦 当直线 PA PB 的斜率之积为定值时 称线段 AB 为该曲线上定点 P 的关于定值的斜率 等积子弦 当直线 PA PB 的斜率之和为定值时 称线段 AB 为该曲线上定点 P 的 关于定值的斜率等和子弦 并把这两个子弦统称为定点 P 关于定值的定值子弦 四 四 教学过程 教学过程 高考题回顾 2017 年 全国 I 卷 理数 20 已知椭圆 C a b 0 22 22 1 xy ab 四点 P1 1 1 P2 0 1 P3 1 P4 1 中恰有三点在椭圆 C 上 3 2 3 2 1 求 C 的方程 2 设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A B 两点 若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率 的和为 1 证明 l 过定点 解 1 根据椭圆对称性可得 P1 1 1 P4 1 3 2 不可能同时在椭圆上 P3 1 3 2 P4 1 3 2 一定同时在椭圆上 因此可得椭圆经过P2 0 1 P3 1 3 2 P4 1 3 2 代入椭圆方程可得 2 13 1 12 4 ba a 故而可得椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x y 2 根据题题意 直线 AB 的斜率存在 设 AB 的方程为mkxy 2 设 联立方程得 2211 yxByxA 消去 y 可得 1 4 2 2 y x mkxy 044814 222 mkmxxk 14 44 14 8 2 2 21 2 21 k m xx k km xx 消去 x 可得 1 4 2 2 y x mkxy 04214 2222 kmmyyk 此题不用 后面改编题可用上 14 4 14 2 2 22 21 2 21 k km yy k m yy 即1 11 2 2 1 1 22 x y x y kk BPAP 11 211221 yxyxxx 11 211221 mkxxmkxxxx 0112 2121 xxmxxk 0 14 8 1 14 44 12 22 2 k km m k m k 0121 kmm 时 直线 AB 方程 过 P2 舍去 1 m1 kxy 时 直线 AB 方程 过定点 2 1 12 km 12 xky 分析 引入课题 为求解定点提供模板 提出新问题探索新定值定点 分析 引入课题 为求解定点提供模板 提出新问题探索新定值定点 改编 1 设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A B 两点 若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率 3 的积为 试探 l是否过定点 4 1 解 设 则 2211 yxByxA 即 BPAP kk 33 4 111 2 2 1 1 x y x y 212121 4 1 1xxyyyy 14 44 14 8 2 2 21 2 21 k m xx k km xx 14 4 14 2 2 22 21 2 21 k km yy k m yy 14 44 4 1 1 14 2 14 4 2 2 22 22 k m k m k km 2222 m 11424 m kmk 解得 过定点 0 0 舍去 0 m1 m 改编 2 设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A B 两点 若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率 的积为 试探 l是否过定点 4 1 解 设 则 2211 yxByxA 即 BPAP kk 33 4 111 2 2 1 1 x y x y 212121 4 1 1xxyyyy 14 44 14 8 2 2 21 2 21 k m xx k km xx 14 4 14 2 2 22 21 2 21 k km yy k m yy 14 44 4 1 1 14 2 14 4 2 2 22 22 k m k m k km 4 1m1424 m 2222 kmk 解得 舍去 1 m 改编 3 设直线 l 不经过 P3点且与 C 相交于 A B 两点 若直线 P3A 与直线 P3B 的斜率 的积为 试探 l是否过定点 4 1 解 设 则 2211 yxByxA 即 BPAP kk 33 4 1 1 2 3 1 2 3 2 2 1 1 x y x y 1 4 1 4 3 2 3 21212121 xxxxyyyy 14 44 14 8 2 2 21 2 21 k m xx k km xx 14 4 14 2 2 22 21 2 21 k km yy k m yy 1 14 8 14 44 4 1 4 3 14 2 2 3 14 4 22 2 22 22 k km k m k m k km 063488 2 mkmk 0324432 mkk 解得 或 舍去 2 3 k 2 3 km 改编 4 设椭圆上任意一点 直线 l 不经过 P 且与 C 相交于 A B 两点 若直线 00 y xP PA 与直线 PB 的斜率的积为 试探 l是否过定点 解 设 则 221100 yxByxAyxP 5 即 PBPAk k 02 02 01 01 xx yy xx yy 2 021021 2 021021 xxxxxxyyyyyy 14 44 14 8 2 2 21 2 21 k m xx k km xx 14 4 14 2 2 22 21 2 21 k km yy k m yy 代入得 2 00 22 2 2 00 22 22 14 8 14 44 14 2 14 4 xx k km k m yy k m k km 2 0 2 0 22 0 2 0 22 148441424xkkmxmykmykm 0414142814 22 0 22 0 2 00 2 kykxkmyxkm 44 22 00 yx 常数项化简为 2 0 2 0 2 2 0 2 0 22 0 2 0 2 2222 0 22 0 2 22 0 22 0 2 14 44 41414 41414 00 yxk yxkyxk kyxykxk kykxk 0142814 2 0 2 0 2 00 2 yxkmyxkm 01414 0000 ykxmykxm 情形 1 舍去 0 00 ykxm 情形 2 01414 00 ykxm 6 时 4 1 00 14 14 14 14 ykxm 直线 AB 方程为 00 14 14 14 14 yxxky 时 4 1 0 0 0 0 x x y k 例 3 已知抛物线 C P 0 0 设直线 l 不经过 P 点且与 C 相交于 A B 两点 xy4 2 若直线 PA 与直线 PB 的斜率的积为 1 试探 l是否过定点 解 由抛物线的性质易推出直线 AB 过定点 0 2p 推广 已知抛物线 C 在抛物线 C 上 设直线 l 不经过 P 点且与 Cpxy2 2 00 y xP 相交于 A B 两点 若直线 PA 与直线 PB 的斜率的积为 试探 l是否过定点 解 设 则 nmyx AByxByxAyxP 221100 方程 022 p2 2 2 pnpmyy xy nmyx pnyypmyy2 2 2121 0101 01 01 2 0 2 1 0 2 0 1 2 1 2 2 2 2 yy p xx yy xxpyy pxy pxy 同理 0202 02 2 yy p xx yy 0201 22 yy p yy p kk PBPA 22 021021 4pyyyyyy 0422 22 00 pypmypn 7 p xmy p p y myn 22 2 00 2 0 0 直线 AB 方程为 p xyymnmyx 2 00 小结 给定椭圆及椭圆上的定点 对于定值 当 01 2 2 2 2 ba b y a x 00 y xP 时 定点 P 的斜率等积子弦所在直线经过定点 当 2 2 a b 0 22 22 0 22 22 y ba ba x ba ba 时 定点 P 的斜率等积子弦所在直线斜率为定值 或斜率不存在 2 2 a b 给定抛物线及抛物线上的定点 对于定值 当 02 2 ppxy 00 y xP 时 定点 P 的斜率等积子弦所在直线经过定点 0 00 2 y p x 我的启示我的启示 我以问题串的形式进行启发 引导学生自己归纳总结 找出共同点 得我以问题串的形式进行启发 引导学生自己归纳总结 找出共同点 得 到定值定点的寻找方法 主要是想培养学生的审题能力 以及培养学生的归纳概括到定值定点的寻找方法 主要是想培养学生的审题能力 以及培养学生的归纳概括 能力 题型的推广学生不太熟悉 所以我提出可以相互讨论 希望可以通过合作学能力 题型的推广学生不太熟悉 所以我提出可以相互讨论 希望可以通过合作学 习的方式对基础相对较弱的学生给予指导 培养学生一种互帮互助的精神 这里我习的方式对基础相对较弱的学生给予指导 培养学生一种互帮互助的精神 这里我 根据知识的发生 发展过程以及对学生的能力的适当的评估 引导学生自己动手 根据知识的发生 发展过程以及对学生的能力的适当的评估 引导学生自己动手 这个过程我并没有刻意去追求这个过程我并没有刻意去追求 还课堂给学生还课堂给学生 但整个过程自然 流畅 营造了 但整个过程自然 流畅 营造了 人人参与的气氛 让学生得到了充分的锻炼 激发了学生的灵气 人人参与的气氛 让学生得到了充分的锻炼 激发了学生的灵气 附加题 2017 年 4 月北大自主招生题 已知椭圆 AB 为长轴 为 AB 的六等分点 过1 2 2 2 y x 54321 MMMMM 作斜率为的直线 交椭圆于 则这十 5 4 3 2 1 iMik 1021 PPP 1021 APAPAP 条线的斜率之积为 8 32 1 16 1 4 1 2 1 DCBA 我的启示我的启示 起到画龙点睛的效果 起到画龙点睛的效果 五 教学反思五 教学反思 从圆锥曲线的定义看 它本身就是 定点定值问题 这一章是平面解析几何的 内容 以 椭圆 和 双曲线 和 抛物线 这三种曲线作为研究对象 通过引进 坐标系 借助 数形结合 思想 来研究曲线本身的方程和简单几何性质 以及直 线与曲线的位置关系及弦长等问题 解析几何是用代数的手段解决几何问题 在教学中我发现了许多圆锥曲线中过 定点或比值为定值问题 讲清楚这类问题不难 教者只要讲清这类问题的原理为等 式恒成立 方法为待定系数法即可 后来发现如果只讲方法与原理 不少学生的掌 握仅限于模仿 处于知其然不知其所以然的境况 而在几何中过定点问题可以依据 的几何方法找到直观的解释 如果教者能潜心研究 发现其几何解释 这样不仅很 好地解释过定点或定值问题 而且能让学生易于接受结果 学生学习积极性的会有 更好提高 对解几的运算更能接受 本课从 2017 年全国 I 卷出发 通过类比的手法 逐步寻找规律 由特殊到一般 椭圆类比双曲线 扩展至抛物线 培养了学生的探索能力 数学思维能力 学生小 组合作 计算能力也得到很好的展示 同时 转化 讨论 思想也相映其中 无形 中增添了数学的魅力以及优化了知识结构 从学生角度而言 大多数学生普遍反映 平面解析几何的学习是不轻松的 做题就更困难了 这章公式是多 而且后面内容 较抽象 计算量非常大 所以难度就大大增加 进而给学习带来了挑战及困惑 关 于公式 不少学生仍然采用的是传统的学习方式 死记硬背 机械模仿 导致在解 题中往往碰壁而影响了学习兴