广东省佛山市2016届高三第二次模拟考试数学试题(文)含答案

2015 2016学年佛山市普通高中高三教学质量检测（二） 数 学 （文 科 ） 一、选择题 :本大题 共 12 小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 1函数 11)的定义域为（ ） A ( ,0 B (0,1) C (1, ) D ( , 0 ) (1, ) U 【答案】 B 【解析】 1 10x， 1 0， 1 0， 01x 2已知复数1 1,2 3 2， aR ,i 是虚数单位，若12 a （ ） A 23B 13C 13D 23【答案】 A 【解析】12 3 2 ( 3 2 ) iz z a a ， 12 3 2 0a ， 23a 3已知 正项等差数列 1 2 3 15a a a ， 若1 2 32 , 5 , 1 3a a a 成等比数列，则10a （ ） A 19 B 20 C 21 D 22 【答案】 C 【解析】设 等差数列的公差为 d ，且 0d 1 2 3 15a a a ， 2 5a 1 2 32 , 5 , 1 3a a a 成等比数列， 22 1 3( 5 ) ( 2 ) ( 1 3 )a a a ， 22 2 2( 5 ) ( 2 ) ( 1 3 )a a d a d ， 21 0 ( 7 ) (1 8 ) ，解得 2d 1 0 2 8 5 8 2 2 1a a d 4 已知 函数 s 2 )在6x 处取得最大值，则函数 c o s ( 2 )的图象（ ） A关于点 ( 0)6,对称 B关于点 ( 0)3,对称 C关于直线6x 对称 D关于直线3x 对称 【答案】 A 【解析】 2 2 ,62k k Z ， 2,6 k Z ， c o s ( 2 ) c o s ( 2 2 ) c o s ( 2 )66y x x k x ， 当6x 时， c o s ( 2 ) 066y ，故选 A 5 若 , ，且 1,2 3 0 则 最 小 值 等于（ ） A 3 B 2 C 1 D 12【答案】 B 6 命题 “ 0x ，使得 a x b ”是 “”成立的 （ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条 件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 【答案】 C 7 下列函数中， aR ，都有得 ( ) ( ) 1f a f a 成立的是 （ ） A 2( ) l n ( 1 )f x x x B 2( ) c o s ( )4f x x C2() 1x D 11() 2 1 2【答案】 B 【解析】选项 A ( ) ( ) 0f a f a ，排除； 选项 B 1 c o s ( 2 ) 112( ) s i n 22 2 2xf x x ， ( ) ( ) 1 s i n 2 s i n ( 2 ) 1f a f a x x ，故选 B 8 自主招生联盟成行于 2009 年清华大学等五校联考，主要包括 “北约 ”联盟， “华约 ”联盟， “卓越 ”联盟和 “京派 ”联盟 在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果： 报考 “北约 ”联盟的学生 ，都没报考 “华约 ”联盟 报考 “华约 ”联盟的学生，也报考了 “京派 ”联盟 报考 “卓越 ”联盟的学生，都没报考 “京派 ”联盟 不报考 “卓越 ”联盟的学生，就报考 “华约 ”联盟 根据上述调查结果，下列结论错误的是（ ） A 没有同时报考 “华约 ” 和 “卓越 ”联盟 的学生 B 报考 “华约 ”和 “京派 ”联盟的考生一样多 C 报考 “北约 ” 联盟的考生也报考了 “卓越 ”联盟 D 报考 “京派 ” 联盟的考生也报考了 “北约 ”联盟 【答案】 D 【解析】集合 A 表示 报考 “北约 ”联盟的学生， 集合 B 表示 报考 “华约 ”联盟的学生， 集合 C 表示 报考 “京派 ”联盟的学生， 集合 D 表示 报考 “卓越 ”联盟的学生， 由题意得 ， 选项 A I ，正确； 选项 B ，正确； 选项 C ，正确 9 执行如图的程序 框图， 若输出 i 的值 为 12， 则 、 处可填入的条件分别为 （ ） A 3 8 4 , 1S i i B 3 8 4 , 2S i i C 3 8 4 0 , 1S i i D 3 8 4 0 , 2S i i 【答案】 D 【解析】如 果 处填入 2 ， 则 1 2 4 6 8 1 0 3 8 4 0S ，故选 D 10 已知 椭圆 ： 22 1 ( 0 )xy 的焦距为 2c ， 左焦点 为 F ，若直线 y x c与椭圆交于,点，且 3B ,则该椭圆的离心率是 （ ） A 14B 12C 22D 32S = 1 ,i= 2 S S i C【答 案】 C 【解析】 22221x c ，得 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0a b y b c y b c a b ， 2 2 2 2 4( ) 2 0a b y b c y b ，设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y， 241 2 1 22 2 2 22 ,b c by y y ya b a b 3B ， 123， 242222 2 2 222 , 3b c b a b ， 2 2 23a b c ， 222， 2212 ， 22e 11已知 A 、 B 、 C 都在半径为 2 的 球面上， 且 C ， 30o ，球心 O 到平面 ，点 M 是线段 中点，过点 M 作球 O 的截面，则截面面积的最小值为 （ ） A 34B 34C 3 D 3 【答案】 B 【解析】 C ， 90o ， 圆心 O 在 平面的射影为 的中点 ， 221 12 A B O B O D ， 2 c o s 3 0 3B C A Co， 当线段 截面圆的直径时，面积最小， 截面面积的最小值为 233()24 12 已知函数 1( ) 1xf x a e x a 有两个零点，则实数 a 的取值范围是 （ ） A 1,1 B 0,1 C 1 (0,1 U D 1 0,1) U 【答案】 D 【解析】当 1a 时， 1( ) 1 1xf x e x 当 1x 时， 1( ) 2xf x e x 为增函数， ( ) (1) 0f x f，有唯一零点 1 当 1x 时， 1() xf x e x， 1( ) 1xf x e 1x ， ( ) 0 ， () ( ) (1) 0f x f，没有零点， 综上： 1a 时，原函数只有一个零点， 故不成立，从而排除 , 二、填空题 (本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13一根铁丝长为 6 米，铁丝上有 5 个节点将铁丝 6 等分，现从 5 个节点中随机选一个将铁丝剪断，A 的概率为 _ 【答案】 35【解析】如 图： , , , ,B C D E F 中任取一个 所得的两段铁丝长均不小于 2 的情况可以是：取 ,C 所求的概率 35P n 项和 为满足1 1a ，1 2（其中 *)nN ，则 【答案】 13n 【解析】1 2， 1 2n n S ， 1 3， 111 33 15 已知点 P 是 抛物线 2 4上的点，且 P 到该抛物线焦点的距离为 3，则 P 到原点的距离为 【答案】 23 【解析】设00( , )P x y，则0 32， 0 13x ， 0 2x ， 20 8y ， P 到原点的距离为 2200 1 2 2 3 16如图，在矩形 ， 3D ，点 Q 为线段 含端点 )上一个动点，且C P ，且 C若 P ，则 【答案】 1 【解析】以 A 为原点建立直角坐标系，如图： 设 3，则 1， ( 3,0)B ， ( 3,1)C 直线 方程为 33 直线 方程为 33 ， 直线 方程为 1y ， 由 133 ，得 23( ,1)3Q， 由 3333 ，得 3 3 3( , )44P， 233 333Q C D Q ，由 C得 2 由 C得 3 3 3 3 3 3 3 1( , ) ( 3 , 1 ) ( , ) ( , )4 4 4 4 4 4 ， A C D E 3 ， 1 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本 小题 满分 12 分） 已知 A 、 B 、 C 、 D 为同一平面上的四个点 ， 且满足 2， 1B C C D D A ， 设， 的面积为 S ， 的面积为 T （ 1）当3时，求 T 的 值 ； （ 2）当 时，求 的 值 ； 【解析】（ 1）在 中，由余弦定理得 222 2 c o A B A D A B A D 22 11 2 2 1 2 32 ， 在 中，由余弦定理得 2 2 2c o C D B D B C C D 2 2 21 1 ( 3 ) 12 1 1 2 ， ( 0 , 1 8 0 )B C D c o s 6 0B C Do 1 1 3 3s i n 1 12 2 2 4T B C C D B C D （ 2） 1 s i n s i D A B B C D 222 2 c o s 5 4 c o A B A D A B A D , 2 2 2 4 c o s 3c o C D B D B C C D , 11s i n s i C C D B C D B C D , , 1s i n s i C D , 2 2 2 4 c o s 34 s i n s i n 1 c o s 1 ( )2B C D B C D , 7 18（本 小题 满分 12 分） 从 2016 年 1 月 1 日起，广东、湖北等 18 个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率 ，具体关系如下表： 上一年的出险次数 01 2 3 4 5 次以上（含 5 次） 下一年保费倍率 85100125150175 200 连续两年没有出险打 7 折，连续三年没有 出险打 6 折 经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系， 下面是随机采集的 8 组数据 ( , )中 x （万元）表示购车价格， y （元）表示商业车险保 费）： (8,2150) 、 (11,2400) 、 (18,3140) 、(25,3750) 、 (25, 4000) 、 (31, 4560) 、 (37,5500) 、 (45,6500) ，设由这 8 组数据得到的回归直线方程为： $ 1055y $ （ 1）求 b ； （ 2）广东李先生 2016 年 1 月购买一辆价值 20 万元的新车， （ i）估计李先生购车时的商业车险保费； （ 该车今年 2 月已出过一次险，现在又被刮花了，李先生到 4S 店询价，预计修车费用为 800 元，保险专员建议李先生自费（即不出险），你认为李先生是否应该接受建议？说明理由 （假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保） 【解析】（ 1） 1 2 0 0( 8 1 1 1 8 2 5 2 5 3 1 3 7 4 5 ) 2 588x 万元， 1 3 2 0 0( 2 1 5 0 2 4 0 0 3 1 4 0 3 7 5 0 4 0 0 0 4 5 6 0 5 5 0 0 6 5 0 0 ) 4 0 0 0y 元， 直线 $ $ 1055y 经过样本中心 ( , )即 (25, 4000) 1 0 5 5 4 0 0 0 1 0 5 5 1 1 7 . 825yb x （ 2）（ i）价值为 20 万 元的新车的商业车险保费预报值为： 1 1 7 . 8 2 0 1 0 5 5 3 4 1 1 元 （ 于该车已出过一次险，若再出一次险， 则保 费增加 25 ，即增加 3 4 1 1 2 5 8 5 2 . 7 5 元 因为 00 ，若出险，明年的保费已超 800 ，故接受建议 19（本 小题 满分 12 分） 如图，在 直四 棱柱1 1 1 1A B C D A B C D中， 6 0 , ,B A D A B B D B C C D o （ 1）求证 ：平面 11 平面 1 （ 2） 若 D ,1 2A,求 三棱锥11B 体积 【解析】（ 1）证明： , 6 0A B B D B A D o， 为正三角形， D D ,公共边， D C C , D 四 棱柱1 1 1 1A B C D A B C D是直四 棱柱， 1面 1D 1A AI， 平面11 平面1平面1面11 （ 2）11 1 1 1 1B A B D A B B D A B B , 由（ 1）知 D 四 棱柱1 1 1 1A B C D A B C D是直四 棱柱， 1面 1C 1B BI， 平面1 记 D OI , 111 1 1 2 3( 2 2 ) 33 3 2 3A B B D B B A O , 三棱锥11B 体积为 233 C 1B 1D 1 20（本 小题 满分 12 分） 已知 点 M 为圆 22:4C x y上一个动点 ，点 D 是 M 在 x 轴上的投影， P 为线段 一点，且与点 Q 关于 原点 O 对称，满足 Q P O M O D (1)求 动 点 P 的 轨迹 E 的方程 ； (2)过点 P 作 E 的切线 l 与圆相交于 , 的 面积 最大时，求直线 l 的方程 【解析】（ 1）设 ( , )Px y ，00( , )M x y，则0( ,0) 点 P 与点 Q 关于原点 O 对称， 2P Q P O M O D 2 O P O M O D 0 0 02 ( , ) ( , ) ( , 0 )x y x y x， 00 2， 22004， 2244， 动 点 P 的 轨迹方程： 2 2 14x y （ 2）当直线 l 的斜率不存在时，显然不符合题意， 设直线 l 的方程为 y km m， 由2244y km ，得 2 2 2( 4 1 ) 8 4 4 0k x k m x m 直线 l 与椭圆相切， 2 2 2 26 4 4 ( 4 1 ) ( 4 4 ) 0k m k m ， 2241 原点 O 到直线 l 的距离21，则 224AB d， 21 2 2 42Q A B d d d 2 2 2 22 ( 4 ) 2 ( 2 ) 4 4d d d ， 当 2 2d ，即 2d 时， 的面积取得最大值 4 此时2 21，即 2222， 由 22222241，解得 322， 直线 l 的方程为 2 32或 2 32或 2 32 或 2 32 21（本 小题 满分 12 分） 设曲线 C : 0 )y a x a在点00( , T x a x 轴交与点0( ( ), 0)A f x，函数2()1 x (1)求0()求函数 ()0, ) 上的极值； (2)设在区间 (0,1) 上，方程 ()f x k 的实数解为1x， ()g x k 的实数解为2x，比较1 【解析】（ 1） a x ， 曲线 C 在点 T 处的切线斜率0ak x ， 切线方程为000 ()ay y x 令 0y ，得0 0 0()x y a x x ， 00a x， 0 0 0l n ( )x a x a x x ， 0 0 0x x 0 0 0 0( ) l nf x x x x ( ) x x x x ( ) x x 当 01x时， ( ) 0 ， ()当 1x 时， ( ) 0 ， () 当 1x 时， ()1) 1f ，无极小值 （ 2）由题设知1()f x k，2()g x k，故2221 x ，解得 2 2 kx k 将1()f x k代入上式得121()2 ( ) ， 1 1 1 12 1 111( ) (1 ) ( ) 22 ( ) 2 ( )f x x f x xx x xf x f x 11111(1 ) 2 (1 l n ) 2 ( ) 1xx xf x x ， 1 (0,1)x ，由（ 1）知1( ) 1 12 ( ) 0， 11(1 ) 0，111(1 ) 02 ( ) 令 2( ) ( 1 l n ) , ( 0 , 1 )1h x x ，则 2221 2 1( ) 0( 1 ) ( 1 )x x x ， ()0,1) 上单调递减， ( ) (1) 0h x h，即1 12(1 l n ) 01x x ， 210，从而21 选做题：请考生在 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22（本小题满分 10 分）选修 4何证明选讲 如图， 点 , , ,A B D E 在 ， 延长线交于点 C ， 于点 F ， B （ 1）证明 ： D ； （ 2）若 2， 4， 求 长 【解析】（ 1）证明： C ， C ， C B E D B A D 2E B A C B E C C ， B ， 2E