广东省2016年全国卷适应性考试理科数学试题含答案解析

1 2016 年适应性考试 理科 数学 一、选择题 :本大题共 12 小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 1已知集合 2 4 3 0 A x x x ， 2 1，则 （ ） A 3, 1 B ( , 3 1, 0 ) U C ( , 3 ) ( 1, 0 U D ( ,0) 【答案】 B 【解析】 ( , 3 1 , )A U ， ( , 0)B ， ( , 3 1 , 0 ) 2若 ( 2 )z a a i 为纯虚数，其中 a R，则 7a （ ） A i B 1 C i D 1 【答案】 C 【解析】 z 为纯虚数 ， 2a ， 7i 2 i ( 2 i ) ( 1 2 i ) 3 i i1 i 31 2 i ( 1 2 i ) ( 1 2 i ) 3 设列 n 项的和，且 *3 ( 1 ) ( )2a n N，则 ） A 3(3 2 ) B 32n C 3n D 132n 【答案】 C 【解析】 1 1 11 2 23 ( 1 )23 ( 1 )2a S aa a a ， 1239， 经代入选项检验，只有 C 符合 4 执行 如图 的程序框图，如果输入的 100N ， 则输出的 x （ ） A B C D 【答案】 C 【解析】 1 1 1 11 2 2 3 3 4 9 9 1 0 0x 1 1 1 1 1 1 1 9 9( 1 ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3 4 9 9 1 0 0 1 0 0 n = n + 1x= x+1n (n + 1 ) 1 ,x= 0是否开始输入 N 2 5三角函数 ( ) s i n ( 2 ) c o s 26f x x x 的振幅和最小正周期分别是（ ） A 3,2B 3, C 2,2D 2, 【答案】 B 【解析】 ( ) s i n c o s 2 c o s s i n 2 c o s 266f x x x x 3 3 3 1c o s 2 s i n 2 3 ( c o s 2 s i n 2 )2 2 2 2x x x x 3 c o s ( 2 )6x ，故选 B 6一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 12 B 6 C 4 D 2 【答案】 D 【解析】 11= 2 ( 2 + 1 ) 2 232V 正 四 棱 锥 7设 p 、 q 是两个命题，若 ()是真命题， 那么（ ） A p 是真命题且 q 是假命题 B p 是真命题且 q 是真命题 C p 是假命题且 q 是真命题 D p 是假命题且 q 是假命题 【答案】 D 8从一个边长为 2 的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这 7 个点中任取两个点，则这两点间的距离小于 1 的概率是（ ） A71B73C74D76【答案】 A 【解析】 两点间的距离小于 1 共有 3种情况， 分别为中心到三个中点的情况， 故 两点间的距离小于 1 的概率27317P C 9已知平面向量 a 、 b 满足 | | | | 1 ( 2 )a a b ，则 | ） A 0 B 2 C 2 D 3 【答案】 D 【解析】 ( 2 )a a b ， ( 2 ) 0 a a b ， 21122 a b a， 2 2 2| | ( ) 2 a b a b a a b b 2211 2 1 32 112221 3 10 62 )21( 的展开式中，常数项是（ ） A45B45C1615D1615【答案】 D 【解析】2 6 1 2 31 6 611( ) ( ) ( )22r r r r r x C ， 令 12 3 0r，解得 4r 常数项为4461 1 5()2 1 6C 11 （ 2016 广东适应） 已知双曲线的顶点为椭圆 1222 轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于 1 ，则双曲线的方程是（ ） A 122 B 122 C 222 D 222 【答案】 D 【解析】 椭圆 的端点为 (0, 2) ， 离心率 为 22， 双曲线的离心率 为 2 ， 依题意 双曲线 的实半轴 2a ， 2c ， 2b ，故选 D 12如果定义在 R 上的函数 )(足：对于任意 21 ，都有 )()( 2211 )()( 1221 ，则称 )( “ H 函数 ” 给 出 下 列 函 数 ： 13 )c o ss 3 ； 1 000|其中 “H 函数 ”的个数是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【答案】 C 【解析】 1 1 2 2( ) ( )x f x x f x )()( 1221 ， 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x ， )( R 上单调递增 231 ， 3( , )3x ， 0y ，不符合 条件 ； 3 2 ( c o s + s i n ) = 3 2 2 s i n ( ) 04y x x x ， 符合条件； 0， 符合条件； ,0) 单调递减， 不符合 条件 ； 综上所述，其中 “H 函数 ”是 4 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 13已知实数 x ， y 满足约束条件1122若目标函数 2 仅在点 )4,3( 取得最小值，则 【答案】( , 2)【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为 (1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 3 , 4 )A B C, 2， 64 6 4 264，解得 2a 14已知双曲线 1163 222 左焦点在抛物线 2 的准线上，则 p 【答案】 4 【解析】 2 23 ( )1 6 2， 4p 15已知数列 n 项和，且对任意 n N* ，均有na、2 【答案】 n 【解析】 na，2 22n n nS a a当 1n 时， 21 1 1 122a S a a 又1 0a1 1a当 2n 时， 221 1 12 2 ( )n n n n n n S a a a a ， 2211( ) ( ) 0n n n na a a a ， 1 1 1( ) ( ) ( ) 0n n n n n na a a a a a ， 又1 0， 1 1， 公差为 1， 1 1a， *( N )na n n 5 16已知函数 )(定义域 R，直线 1x 和 2x 是曲线 )( 的对称轴，且 1)0( f ，则 )10()4( 【答案】 2 【解析】 直线 1x 和 2x 是曲线 )( 的对称轴， ( 2 ) ( )f x f x ， ( 4 ) ( )f x f x ， ( 2 ) ( 4 )f x f x ， )( 的 周期 2T ( 4 ) ( 1 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 2f f f f 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17（本小题满分 12 分） 已知顶点在单位圆上的 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且 c o sc o sc o （ 1） 值； （ 2）若 422 求 的面积 【解析】（ 1） 2 c o s c o s c o c B b C， 2 s i n c o s s i n c o s s i n c o C B B C ， 2 s i n c o s s i n ( )A A B C ， A B C ， s i n ( ) s i A ， 2 s i n c o s s i A 0 A ， A ， 2A ， 1 （ 2）由 1得 3， 由 2，得 2 s 2 2 2 2 c o sa b c b c A ， 2 2 2 4 3 1b c b c a ， 1 1 3 3s i 2 4b c A 6 18（本小题满分 12 分） 某单位共有 10 名员工，他们某年的收入如下表： 员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪（万元） 3 3 5 4 5 5 5 6 5 7 7 5 8 50 （ 1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数； （ 2）从该单位中任取 2 人，此 2 人中年薪收入高于 5 万的人数记为 ，求 的分布列和期望； （ 3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为 3 万元、元、 元、 元，预测该员工第五年的年薪为多少？ 附：线性回归方程 中系数计算公式分别为： 121( ) ( )()x y $ ， ，其中 x 、 y 为样本均值 【解析】（ 1） 平均值为 10 万元，中位数为 6 万元 （ 2）年薪高于 5 万的有 6 人，低于或等于 5 万的有 4 人； 取值为 0， 1， 2 152)0(21024 ，158)1(2101614 ，31)2(21026 ， 的分布列为 0 1 2 P 152 158 31 2 8 1 6( ) 0 1 21 5 1 5 3 5E （ 3）设 )4,3,2,1(, 5, 21( ) 2 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5 2 . 2 5 5n ， 41( ) ( ) 1 . 5 ( 2 ) ( 0 . 5 ) ( 0 . 8 ) 0 . 5 0 . 6 1 . 5 2 . 2 7x y y ， 121( ) ( ) 71 . 45()x y $ ， 5 1 . 4 2 . 5 1 . 5a y b x ， 由线性回归方程 为 可预测该员工年后的年薪收入为 元 7 19（本小题满分 12 分） 如图，在直二面角 中，四边形 矩形， 2 32 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，点 P 是线段 的一点， 3 （ 1）证明： （ 2）求异面直线 成角的余弦值 【解析】（ 1）证明： 以 A 为原点，建立空间直角坐标系， 如图， 则 (0,0,0)A ， (2,0,0)B ， (0,2,0)C ， (0, 0, 2 3 )F 22 4B F A B A F ， 3， 33( , 0, )22P， ( 2 , 0 , 2 3 ) (0, 2, 0 ) 33( , 0 , )22 0C C 0P P C ， P ， P AI ， 平面 （ 2） (2, 0, 0)AB 33( , 2 , )22 记 角为 ，则 3 37c o s =1427A B P P C u u ur u u u ur u u 【方法 2】 （ 1） 4, 3c o s c o A B F A ， 22 2 c o P F F A P F F A P F A 9 1 2 2 3 2 3 3 / 2 3 2 2 23 9 1 2P A P F A F ， F 平面 平面 平面 面 B ， C ， 平面 平面 平面 F C AI ， 平面 （ 2）过 P 作 / / , / /P M A B P N A F，分别交 ,A 于 , 的补角为 成的角 连接 32P N M B， 32， 22 52N C A N A C ， 22， 22 7P C P N N C ， 22 352M C M B B C ， 1 3 573 3 744c o 427272M P C 异面直线 成的角的余弦值为 3714 9 20（本小题满分 12 分） 已知抛物线 C ： 2 ，过其焦点 F 作两条相互垂直且不平行于 x 轴的直线，分别交抛物线 C 于点 1P 、 2P 和点3P、 4P ，线段 2143M 、 2M （ 1）求 21面积的最小值； （ 2）求线段 21中点 P 满足的方程 【解析】（ 1） 由题设条件得焦点坐标为 (1,0)F ， 设直线12 ( 1)y k x， 0k 联立2( 1)4y k ，得 2 2 2 22 ( 2 ) 0k x k x k （ *） 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) 4 1 6 ( 1 ) 0k k k k 设1 1 1( , )P x y，2 2 2( , )P x y，则 212 22 ( 2 )k 设111 ( , )x y，则 1112122222( 1 )k 类似地，设222 ( , )x y，则2222212211221 2 2 2 21 222 2 2| | ( 1 ) ( ) 1 kk k k ， 2 2 2 22| | ( 2 ) ( 2 ) 2 | | 1F M k k k k ， 因此12 1211| | | | 2 ( | | )2 | |F M M F M 1 | | 2|， 12 4S ， 当且仅当 1 |，即 1k 时，12到最小值 4 （ 2）设线段12 , )Px y ，由（ 1）得 121222221 1 2 1( ) ( 2 2 ) 1221 1 2 1( ) ( 2 )22x x k y y k ， 消去 k 后得 2 3 线段12 满足的方程为 2 3 10 21（本小题满分 12 分） 设函数 2（ 0m ） （ 1）求 )(单调区间； （ 2）求 )(零点个数； （ 3）证明：曲线 )( 没有经过原点的切线 【解析】（ 1） ()0, ) ， 211() x m xf x x 令 ( ) 0 ，得 2 10x 当 2 40m ，即 02m 时， ( ) 0 ， ()0, ) 内单调递增 当 2 40m ，即 2m 时，由 2 10x 解得 2142 ， 2242 ，且 120 ， 在区间1(0, ), )x 内 , ( ) 0 ，在12( , )( ) 0 ， (), ), )x 内单调递增，在12( , ) （ 2）由（ 1）可知，当 02m 时， ()0, ) 内单调递增， ()多只有一个零点 又 1( ) ( 2 ) l x x x m x ， 当 02 且 1x 时， ( ) 0； 当 2且 1x 时， ( ) 0，故 () 当 2m 时， (), ), )x 内单调递增，在12( , ) 且 2 2 2211 4 4 ( 4 )( ) ( ) l 2 2m m m m m m 2 2 24 2 4m m m m ， 而 2 2 2 24 2 2 044m m m m m ， 224 4 401242 ( 4 ) （ 2m ）， 1( ) 0由此知21( ) ( ) 0f x f x， 又 当 2且 1x 时， ( ) 0，故 ()0, ) 内有且仅有一个零点 综上所述，当 0m 时， () （ 3）假设曲线 ()y f x 在点 ( , ( )x f x （ 0x ）处的切线经过原点， 则有 () ()fx ，即 21 x x m 1 ， 化简得： 21 02 （ 0x ） （ *） 记 21( ) l n 12g x x x （ 0x ），则 211() xg x ， 令 ( ) 0 ，解得 1x 当 01x时， ( ) 0 ，当 1x 时， ( ) 0 ， 3(1)2g 是 ()当 0x 时， 21322 由此说明方程（ *）无解， 曲线 ()y f x 没有经过原点的切线 11 请考生在 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清楚题号 22（本小题满分 10 分）选修 4何证明选讲 如图所示， 半圆 O 的直径， C ，垂足为 D ， F ， 别交于点 E 、G （ 1）证明： D ； （ 2） 证明： E 【解析】（ 1）连接 F ， F ， 点 G 是 中点， F 直径， F /F ， 9 0 , 9 0D A O A O B F B C F C B ， D （ 2）在 与 中， 由（ 1）知 D A O G B O ， 又 B ， ，于是 G A G O A O G O B O D B D 在 与 中，