2016届中考数学专题复习测试题(专题三：新定义探究)含答案教师版

2016年中考总复习 专题三 新定义探究 一、基本运算新定义 1.（ 2013河北）定义新运算：对于任意实数 a， b，都有 a b=a（ a b） +1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： 2 5=2（ 2 5） +1 =2（ 3） +1 = 6+1 = 5 （ 1）求（ 2） 3 的值； （ 2）若 3 x 的值小于 13，求 x 的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来 解：（ 1） a b=a（ a b） +1， （ 2） 3= 2（ 2 3） +1=10+1=11； （ 2） 3 x 13， 3（ 3 x） +1 13， 9 3x+1 13， 3x 3， x 1在数轴上表示如下： 2. （ 1） 2 3 ( 2+3)( 2 3)+23( 2+3) 1( 5)+ 231 5+6 1 （ 2）因为 a b (a+b)(a b)+2b(a+b)= 2a 2b +2 2b = 2； b a (b+a)(b a)+2a(b+a)= 2b 2a +2 2a = 2 所以 a b b a 二、几何图形 新定义 1（ 2015台州）定义：如图 1，点 M， N 把线段 割成 以 边的三角形是一个直角三角形，则称点 M， N 是线段 勾股分割点 （ 1）已知点 M， N 是线段 勾股分割点，若 ， ，求 长； （ 2）如图 2，在 ， 中位线，点 D， E 是线段 勾股分割点，且 D，连接 E 分别交 点 M， N，求证：点 M， N 是线段 勾股分割点； （ 3）已知点 C 是线段 的一定点，其位置如图 3 所示，请在 画一点 D，使点 C， D 是线段 勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）； （ 4）如图 4，已知点 M， N 是线段 勾股分割点， N， 为等边三角形， 别交 点 F， G， H，若 H 是 中点，试探究 S S S 四边形 数量关系，并说明理由 （ 1）解： 当 最大线段时， 点 M、 N 是线段 勾股分割点， = = ； 当 最大线段时， 点 M、 N 是线段 勾股分割点， = = ，综上所述： 或 ； （ 2）证明： 中位线， C ， = = =1， 点 M、 N 分别是 中点， 点 D、 E 是线段 勾股分割点，且 D ， = （ 22=（ 22+（ 22， = 点 M、 N 是线段 勾股分割点； （ 3）解：作法： 在 截取 A； 作 垂直平分线，并截取 A； 连接 作 垂直平分线，交 D； 点 D 即为所求；如图所示：（ 4）解： S 四边形 S理由如下：设 AM=a， BN=b， MN=c， H 是 中点， N= c， 为等边三角形， D=0 ，在 ， ， N=b ， MG=c b， N ， ， c 2=2ac+ 点 M、 B 的勾股分割点， c 2=a2+ （ a b） 2=（ b a） c，又 b ac ， a=b ，在 ， ， S S c 2=a2+ S SS S SS 四边形 M SSS S 四边形 S 2（ 2015嘉兴）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做 “等邻边四边形 ” （ 1）概念理解： 如图 1，在四边形 ，添加一个条件使得四边形 “等邻边四边形 ”请写出你添加的一个条件 （ 2）问题探究： 小红猜想：对角线互相平分 的 “等邻边四边形 ”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由 如图 2，小红画了一个 中 0， ， ，并将 平分线 向平移得到 ABC，连结 小红要使平移后的四边形 是 “等邻边四边形 ”，应平移多少距离（即线段 长）？ （ 3）拓展应用： 如图 3， “等邻边四边形 ”， D， 0， 对角线， 探究数量关系 解：（ 1） C=D= B（任写一个即可）；（ 2） 正确，理由为： 四边形的对角线互相平分， 这个四边形是平行四边形， 四边形是 “ 等邻边四边形 ” ， 这个四边形有一组邻边相等， 这个 “ 等邻边四边形 ” 是菱形； 0 ， ， ， ， 将 移得到 ABC ， ， AB AB= ，BC= ， AC=，（ I）如图 1，当 ， ；（ 图 2，当 AC 时，A C= ；（ AC= 时， 如图 3，延长 CB 交 点 D，则 CB 平分 5 ， =45 BD=B ，设 BD=BD=x ，则 CD=x+1 ， x， 在 CD 中， CD ） 2=（ ） 2x 2+（ x+1） 2=（ ） 2， 解得： ， 2（不合题意，舍去）， x= （ ）当 时，如图 4，与（ ）方法一同理可得： CD ） 2=（ ） 2，设 BD=BD=x ，则 x+1） 2=22， 解得： ， （不合题意，舍去）， x= ； （ 3） 数量关系 为： 图 5， D ， 将 点 A 旋转到 连接 C， D， = =1， = = ， 60 ， 360 （ =360 90=270 ， 70 ， 0 ， + 2=2+ 3（ 2015杭州）如图 1， O 的半径为 r（ r 0）， 若点 P在射线 ，满足 OP=称点 P是点 P 关于 O 的 “反演点 ” 如图 2， O 的半径为 4，点 B 在 O 上， 0， ，若点 A， B分别是点A， B 关于 O 的反演点，求 AB的长 解：设 O 于 C，连结 BC ，如图 2， 2，而 r=4， ， 2 ， 2， 4 ， 即点 B 和 B 重合， 0 ， C， 等边三角形，而点 A 为 中点， BA 在 AB 中， ， AB=42 三、函数新定义 1（ 2015扬州）平面直角坐标系中，点 P（ x， y）的横坐标 x 的绝对值表示为 |x|，纵坐标 y 的绝对值表示为 |y|，我们把点 P（ x， y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点 P（ x， y）的勾股值，记为 P，即 P =|x|+|y|（其中的 “+”是四则运算中的加法） （ 1）求点 A（ 1， 3）， B（ +2， 2）的勾股值 A、 B； （ 2）点 M 在反比例 函数 y= 的图象上，且 M =4，求点 M 的坐标； （ 3）求满足条件 N =3 的所有点 N 围成的图形的面积 解：（ 1） A（ 1， 3）， B（ +2， 2）， A =| 1|+|3|=4， B =| +2|+| 2|= +2+2 =4； （ 2）设：点 M 的坐标为（ m， n），由题意得 解得： ， ， ， ， M（ 1， 3），（ 1， 3），（ 3， 1），（ 3， 1） （ 3）设 N 点的坐标为（ x， y）， N =3， |x|+|y|=3， x+y=3， x y=3， x y=3， x+y=3， y= x+3， y= x 3， y=x 3， y=x+3，如图：所有点 N 围成的图形的面积 =3 =18 2（ 2015河南）如图，边长为 8 的正方形 两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线经过点 A，点 ， C 间的一个动点（含端 点 ），过点 P 作 点 F，点 D、 E 的坐标分别为（ 0， 6），（ 4， 0），连接 （ 1）请直接写出抛物线的解析式； （ 2）小明探究点 P 的位置发现：当 P 与点 A 或点 C 重合时， 差为定值，进而猜想：对于任意一点P， 差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由； （ 3）小明进一步探究得出结论：若将 “使 的点 好点 ”，则存在多个 “好点 ”，且使 也是一个 “好点 ”请直接写出所有 “好点 ”的个数，并求出 长最小时 “好点 ”的坐标 解：（ 1） 边长为 8 的正方形 两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线经过点 A， C（ 0， 8）， A（ 8， 0）， 设抛物线解析式为： y=c，则 ，解得： 故抛物线的解析式为： y= ； （ 2）正确，理由：设 P（ a， ），则 F（ a， 8）， D（ 0， 6）， = = ， （ ） = ；（ 3）在点 P 运动时， 小不变，则 和最小时， 周长最小， ， ， D=F+2， 当 P、 E、 F 三点共线时， F 最小，此时点 P， E 的横坐标都为 4， 将 x= 4 代入 y= ，得 y=6， P（ 4， 6），此时 周长最小，且 面积为 12，点 P 恰为 “好点， 周长最小时 ”好点 “的坐标为：（ 4， 6），由（ 2）得： P（ a， ）， 点 D、 E 的坐标分别为（ 0， 6），（ 4， 0）， 当 4a 0 时， S = ； 4 S 2，当 a=0 时， S ， 8 a 4 时， S +6） （ a） 46（ a 4） （ ） = 3a+4， 4S 3， 当 a= 8 时， S 2， 面积可以等于 4 到 13 所有整数，在面积为 12 时， a 的值有两个，所以面积为整数时好点有 11 个，经过验证周长最小的好点包含这 11 个之内，所以好点共 11 个， 11 个好点， P（ 4， 6） 3、（ 2011河北）如图，在平面直角坐标系中，点 出发，沿 个单位长的速度运动t 0），抛物线 y=x2+bx+和点 P，已知矩形 A （ 1， 0）， B （ 1， 5），D （ 4， 0） （ 1）求 c， b （用含 （ 2）当 4 t 5时，设抛物线分别与线段 ， N 在点 认为 大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出 值； 求 面积 S与 求 ； （ 3）在矩形 含边界），把横、纵 坐标都是整数的点称为 “ 好点 ” 若抛物线将这些 “ 好点 ”分成数量相等的两部分，请直接写出 解：（ 1）把 x=0， y=0 代入