广东省2016年全国卷适应性考试文科数学试题含答案解析

1 2016 年适应性考试 文科数学 一、选择题 :本大题 共 12 小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 1已知 集合 2 5 6 0 A x x x ， 2 1，则 （ ） A 2,3 B (0, ) C (0 , 2 ) (3, )U D (0, 2 3, )U 【答案】 A 【解析】 2,3A ， (0, )B ， 2, 3 2设复数1 3 2，2 1， 则122（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【答案】 D 【解析】12223 2 z 3 2 i ( 1 i ) 4 3 i 5 3 甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为（ ） A 13B 23C 12D 56【答案】 B 【解析】 甲 任意站位有 3 种， 甲站在边上的 情况有 2 种， 23P 4 设 , ，若 是真命题， 那么 （ ） A p 是真命题 且 q 是假命题 B p 是真命题 且 q 是 真 命题 C p 是 假 命题 且 q 是 真 命题 D p 是真命题 且 q 是假命题 【答案】 C 5已知等比数列 310，4654，则 ） A412nB312nC31 42n D21 62n 【答案】 A 【解析】3 461318 ， 12q 由1310，得1 8a， 111 4118 ( )22na a q 2 6 执行 如图 的程序框图，如果输入的 10N ， 则输出的 x （ ） A B C D 1 【答案】 C 【解析】 1 1 1 11 2 2 3 3 4 9 1 0x 1 1 1 1 1 1 1 9( 1 ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3 4 9 1 0 1 0 7 三角函数 ( ) s i n ( 2 ) c o s 26f x x x 的振幅 和最小正周期分别是（ ） A 3,2B 3, C 2,2D 2, 【答案】 B 【解析】 ( ) s i n c o s 2 c o s s i n 2 c o s 266f x x x x 3 3 3 1c o s 2 s i n 2 3 ( c o s 2 s i n 2 )2 2 2 2x x x x 3 c o s ( 2 )6x ，故选 B 8 (2016 广东适应性考试 )已知过 球面上有三点 , 截面 到球心 的距离 是 球半径的一半， 且2A B B C C A ，则此球的半径是 （ ） A 34B 1 C 43D 2 【答案】 C 【解析】 设 外接圆的半径为 r ， 则 233r 设球的半径为 R ，则 2 2 21()2R R r， 43R 9 在等腰三角形 ， 150Ao ， 1C，则 C（ ） A 3 12B 3 12C 3 12 D 3 12 【答案】 A 【解析】 2()A B B C A B A C A B A B A C A B u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u 31 1 c o s 1 5 0 1 12 o 10 已知 椭圆 22 1 ( 0 )xy 的离心率为 53，椭圆上一点 P 到两焦点距离之和为 12 ，则 b（ ） A 8 B 6 C 5 D 4 【答案】 D n = n + 1x= x+1n (n + 1 ) 1 ,x= 0是否开始输入 N 3 【解析】 依题意 2 12a ， 6a 53ce a， 25c ， 4b 11 某 几何体的三视图如图 所示 ， 图中的四边形都是边长为 2 的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ） A 203B 163C 86D 83【答案】 A 【解 析】由三视图可知几何体是正方体挖去 正四棱锥 而成的 321 2 02 2 133V 12 已知 是第二象限的角，其终边上的一点为 ( , 5)且 2x ，则 （ ） A 155B 153C 155D 153【答案】 D 【解析】 2 5， 2x ， 2245x 是第二象限的角， 0x ， 21245x ， 3x ， 5 5 1 5t a 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 13 已知实数, ，若目标函数2z x 仅 在点 (3,4) 处取得最 小 值，则 _ 【答案】( , 2)【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为 (1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 3 , 4 )A B C, 2， 64 6 4 264，解得 2a 正视图 侧视图俯视图 4 14 已知双曲线 22216 13的左焦点在抛物线 2 2y 的准线上，则 p _ 【答案】 4 【解析】 2 23 ( )1 6 2， 4p 15 已知 () 的单调减的奇函数，若 ( 3 1 ) (1 ) 0f x f ，则 x 的取值范围 是 _ 【答案】2( , 3【解析】 () ( 3 1 ) (1 ) 0f x f ， ( 3 1 ) ( 1 )f x f ， 3 1 1x ， 23x 16 顶点在单位圆上的 ， 角 ,对应的边分别为 ,若 3， 224，则_ 【答案】 34【解析】 顶点在单位圆上的 ， 32 s i n 2 1 32a R A 2 2 2 2 c o sa b c b c A ， 2 3， 且 2 ， A ， 3A ， 1 13s i b c A 5 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17（本小题满分 12 分） 数列 n 项和，且对任意的 *nN ，均有 222 （ 1） 求1 （ 2）求 数列 【解析】 （ 1） 222 242n n nS a a 21 1 142S a a,， 21 1 142a a a， 11( 2) 0， 0， 1 2a （ 2） 242n n nS a a, 当 2n 时， 21 1 142n n nS a a ， 得， 22114 2 2n n n n na a a a a 22112 2 0n n n na a a a ， 22112 2 0n n n na a a a ， 1 1 1( ) ( ) 2 ( ) 0n n n n n na a a a a a ， 11( ) ( 2 ) 0n n n na a a a ， 1 2， 数列 以 2 为首项，公差为 2 的等差数列， 2 ( 1 ) 2 2na n n ， 1 2 2 1a ， *2 , n n 6 18（本小题满分 12 分） 某学校的篮球兴趣小组为调查该校男女学生对篮球的喜好情况 ，用简单随机抽样方法调查了该校 100名学生，调查结果如下 ： 28122535是否喜欢篮球否是女生男生性别（ 1） 该校共有 500名学生，估计有多少学生喜好篮球？ （ 2）能否有 99 %的把握认为该校 的 学生 是否喜欢篮球与 性别 有关？说明原因； 50 名女生中按是否看营养说明采取分 （ 3） 已知在喜欢篮球的 12名女生中， 6 名女生 （分别记为1 2 3 4 5 6, , , , , )P P P P P 2 名女生 (分别记为12,时喜欢羽毛球， 4 名女生 (分别记为1 2 3 4, , , )V V V 现从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取 1 人，求12, 附： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b b a c b d c d ， n a b c d 参考数据： )( 02 【解析】（ 1） 100名学生有 47 名学生喜好篮球， 500 名学生中，估计有 475 0 0 2 3 5100名 学生喜好篮球 （ 2） 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b b a c b d c d 21 0 0 ( 3 5 2 8 2 5 1 2 ) 5 7 8 0 0 7 . 7 3 4 5 4 7 4 0 5 3 6 0 7 4 7 3 由于 7 4 5 6 5 ， 有 99 %的把握认为该校 的 学生 喜欢篮球与 性别 有关 （ 3） 从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取 1 人 的基本事件为 ： 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4, , ,P B V P B V P B V P B V，1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4, , ,P B V P B V P B V P B V， 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4, , ,P B V P B V P B V P B V， 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 4, , ,P B V P B V P B V P B V， 3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 1 4, , ,P B V P B V P B V P B V， 3 2 1 3 2 2 3 2 3 3 2 4, , ,P B V P B V P B V P B V， 4 1 1 4 1 2 4 1 3 4 1 4, , ,P B V P B V P B V P B V， 4 2 1 4 2 2 4 2 3 4 2 4, , ,P B V P B V P B V P B V， 5 1 1 5 1 2 5 1 3 5 1 4, , ,P B V P B P B V P B V， 5 2 1 5 2 2 5 2 3 5 2 4, , ,P B V P B V P B V P B V， 6 1 1 6 1 2 6 1 3 6 1 4, , ,P B V P B V P B V P B V， 6 2 1 6 2 2 6 2 3 6 2 4, , ,P B V P B V P B V P B V，共 48 个 ， 其中 12, 基本事件为 ： 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4, , ,P B V P B V P B V P B V，共 4 个 ， 12,被选中 的 基本事件 有 44 个 ， 12,被选中 的 的概率 为 44 1148 12P 7 19（本小题满分 12 分） 如图 所示 ，在 直 三棱柱 中， 底面 棱 C ，且 2C 点 G 、 H 在棱，且 1G H H G G F （ 1）证明： 平面 （ 2）求点 C 到平面 距离 【解析】（ 1） 证明： 设 点 O ， 在 直 三棱柱 中， 90G C B H F E o, 2 , 1A B B C G H H G G F ， 2 , 2B C C G F E F H ， 4 5 , 4 5C B G C G B F H E F E H 90F H E C G B o， 即 90G H O H G O o， 90o ， B 直 三棱柱 中， ,A B B E A B B C B E B C B I， 平面 平面 H B BI ， 平面 平面 平面 （ 2） 设 点 C 到平面 距离为 d C A B G A B C ， 1133A B G B C GS d S A B ， 1 1 1 13 2 3 2A B B G d B C C G A B ， A B B G d B C C G A B ， 2 2 2 2 2 2d ， 2d 点 C 到平面 距离为 2 20（本小题满分 12 分） 已知点 1( ,0)2:2 P 为平面上的动点，过 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q ，且Q P Q F F P F Q （ 1）求动点 P 的轨迹 C 的方程 ； （ 2）设圆 M 过点 (1,0)A 且圆心 M 在 P 的轨迹 C 上， 12, 在 y 轴上截得的弦，证明弦长12 【解析】（ 1） 设 动点 ( , )Px y ， 则 1( , )2 11( , 0 ) , ( 1 , ) , ( , ) , ( 1 , )22Q P x Q F y F P x y F Q y u u ur u u ur u u ur u u Q P Q F F P F Q 11( , 0 ) ( 1 , ) ( , ) ( 1 , )22x y x y y ， 21122x x y ，即 2 2 动点 P 的轨迹 C 的方程为 2 2 （ 2） 设 圆心 2001( , )2M y y，则 圆 M 的方程为 2 2 2 2 2 20 0 0 011( ) ( ) ( 1 ) ( 0 )22x y y y y y ， 2 2 2 20 0 02 1 0x y y x y y y ， 令 0x ，得 22002 1 0y y y y 2200( 2 ) 4 ( 1 ) 4 0 设 1 1 2 2( 0 , ) , ( 0 , )E y E y，则 21 2 0 1 2 02 , 1y y y y y y ， 2 221 2 2 1 2 1 1 2( ) ( ) 4E E y y y y y y 2200( 2 ) 4 ( 1 ) 4 ， 弦长 12一个常数，且常数为 2 9 21（本小题满分 12 分） 设函数 ( ) l o g ( 1 ) ( 0 , 1 )af x x a a （ 1）当 1a 时，证明： 1 2 1 2, ( 1 , ) ,x x x x ，有 1 2 1 2( ) ( )()22x x f x f ； （ 2）若曲线 ()y f x 有经过点 (0,1) 的切线，求 a 的取值范围 【解析】（ 1）证明： ( ) l o g ( 1 ) ( 0 , 1 )af x x a a ， 1a ，1 2 1 2, ( 1 , ) ,x x x x ， 121 0 , 1 0 ，1211 ， 1 2 1 212( 1 ) ( 1 )1 ( 1 ) ( 1 )22x x x x ， 1 2 1 212( ) l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) ( 1 )22 x x xf x x 121 l o g ( 1 ) ( 1 )2 a 1212 ( ) ( )11l o g ( 1 ) l o g ( 1 )2 2 2aa f x f ， 1 2 1 2( ) ( )()22x x f x f （ 2） () 1, ) ， 若曲线 ()y f x 在点 ( , ( )x f x 处的切线经过点 (0,1) ， 则应有 ( ) 1 ()fx ，即 l o g ( 1 ) 1 1( 1 ) l na xx x a ( 1 ) l n l o g ( 1 ) 1 0ax a x x （ 1x ） ， （ *）有解 1( 1 ) l n l o g 0a xx a ， 11 ) l n 0a ， 1 ， l n ( 1 ) l ， l n l n ( 1 )1x ， 令 ( ) l n ( 1 )1xg x x x ，则2211() 1 ( 1 ) ( 1 )x x x ， 令 ( ) 0 ，解得 0x ， 令 ( ) 0 ，解得 10x ， () 1,0) 上单调减，在 (0, ) 上单调增， ( ) ( 0 ) 0g x g， a ， 1a 10 （ 2） ()为 ( 1, ) ， 若曲线 ()y f x 在点 ( , ( )x f x 处的切线经过点 (0,1) ， 则应有 ( ) 1 ()fx ，即 l o g ( 1 ) 1 1( 1 ) l na xx x a ( 1 ) l n l o g ( 1 ) 1 0ax a x x （ 1x ） , （ *）有解 设 ( ) ( 1 ) l n l o g ( 1 ) 1 aF x x a x x （ 1x ）， 则 1( ) l o g ( 1 ) 1 l n ( 1 ) l n 1 l o g ( 1 ) 1 l n( 1 ) l x x a x a x , 令 ( ) 0 ，解得 1 当 1时， ( ) 0 ，当 1时， ( ) 0 ， ( 1) 1F a a 是 () 因此，当 10a，即 01a时，方程（ *）无解， 曲线 ()y f x 没有经过点 (0,1) 的切线 当 10a 时，由于 e 1 1 时， ( e 1 ) e l n ( l o g e 1 ) e 1 1 0aF a a a a a , 方程（ *）有解，故曲线 ()y f x 有经过点 (0,1) 的切线 11 请考生在 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 。作答时请写清楚题号 22（本小题满分 10分）选修 4何证明选讲 如图所示， 半圆 O 的直径， C ，垂足为 D ， F ， 别交于点 E 、G （ 1）证明： D ； （ 2） 证明： E 【解析】 （ 1） 连接 F ， F ， 点 G 是 中点， F 直径， F /F ， 9 0 , 9 0D A O A O B F B C F C B ， D （ 2） 在 与 中， 由 （ 1） 知 D A O G