都是类比惹的祸

都是类比惹的祸都是类比惹的祸 记得一次等比数列公开课上 我在课前作了如下设计 首先和学生一起在 上一节课学习的等比数列有关概念 通项公式等内容的基础上 回忆等差数列 的有关结论 作一类比 以达到研究相关联数列的通法 然后给出等比数列的 前项求和公式 再有针对性地做一些练习巩固新知 并准备了一个表格 来n 帮助学生梳理知识以易于建构他们的认知结构 在课上我积极引导学生思考 从等差数列与等比数列的定义出发 对两者的有关概念 公差与公比 等差中项 与等比中项 通项公式等进行类比 我看到学生们都已对两者之间的密切联系 产生了浓厚的兴趣 激发出一种能更深一步理解知识的喜悦和再探究的欲望 借此机会 我又引导学生一起推导出了等比数列的前项求和公式 公开课气n 氛热烈而又紧张 我心中也为自己课前教学计划的准备工作没有白费而暗自高 兴 正在此时 学生小明举手问 老师 等差中项 等比中项 2 ba C 等差数列的前项的求和公式是 能不能把等比数列abG n 1 2 n n n aa S 前项的求和公式写为 n 1 n nn Sa a 他这一问题问得突然 不仅我备课时没有考虑到 而且教参中也没有提到 过有此类猜想 此问题一出 一下子在听课的老师和同学中炸了锅 我心想 不好 课要上砸了 若在课上进行 我心中没底 让学生课后讨论 又会打击 学生探究问题的积极性 毕竟学生作出猜想难能可贵 思维的火花稍纵即逝 情急之间 我决定鼓励猜想 很好 从等差数列的通项公式 到等比数列的通项公式 由等差中项到等比中 1 1 n aand 1 1 n n aa q 2 AB 项 猜想由等差数列前项求和公式到等比数列前项求A B n 1 2 n n n aa S n 和公式 你的猜想是合情推理 但到底对不对呢 我们该怎样判 1 n nn Sa a 断呢 学生们听后开始思考 并相互讨论起来 后面的听课老师也窃窃私语 为我捏一把汗 整个课堂沉浸在浓郁的探究氛围中 这时 有一个学生建议说 正确与否 不如先找个实例分别代入计算一下 这个建议得到了大家的一致 认同 约定 正确答案应该是 15 而猜想公式算出来却是 1 1 2 4aqn 64 大家回头看看小明 都笑了起来 小明的脸一下涨得通红 看到这些 我心里不禁一楞 象这样的话 谁以后还敢在课堂上提猜想 更不用说去学作猜想了 于是我以肯定的口吻说 其实我们今天应该感谢小 明同学 是他的猜想引起了我们的思考 锻炼了我们的思维 然后我舒缓了口 气 这节课我们又一次灵活应用了举反例来判断命题的真假 也体验了研究 问题的一个基本方法 猜想证实猜想改进猜想 那么 我们是否还能改进 小明的猜想呢 让我们结合等差数列前项的求和公式和等比数列的特点再来n 探究 由等差数列求和公式中出现的形式类比推理到等比数列求和公式 1 n aa 中会有是合情推理 大家看看会有什么发现 1 n a a 一学生 我发现 两种数列的定义决定了等差数列 定值 而等比数列有定值 121nn aaaa 121nn a aaa 另一学生 11211 n nnnn a aa aaaaa 12 n a aa 不就是说 这里是指项的积而不是项的和 11 nn aaa 2 1 n nn a a S 2 n S 同学们和我不约而同地释怀 经过探讨 改进了小明提出的猜想公式 也 算是一种发现 又一学生按奈不住举手 老师 既然由等差数列能类比推理到等比数列 那么是否有等和数列 等积数列存在呢 好家伙 真是一石激起千层浪 一 波未平一波又起 说实话 我也从没有认真考虑过还有这些数列 但学生的提 问沿用类比推理 真的还就在情理之中 看来 当学生的猜想得到肯定时 会 激发他们思维的发散和创新 我不禁为该生大叫一声 好 然后问 那如 何来研究呢 一位平时发言很少的同学 也许是受课堂热烈气氛的带动而答 老师 对于研究数列的模式 我想是否可以借用研究等差数列和等比数列的 方法 也从定义 通项公式等入手 这个建议得到了大家的肯定 这时 下 课铃声响了 我和所有的老师和同学带着多个疑问结束了这节公开课 课后反思 走出教室 我陷入了沉思 大半节课都在被小明的猜想牵着鼻 子走 我的教学计划被彻底打乱了 教学任务没有完成 花一节课的时间让学 生讨论一个不属于高考范围的问题是否有价值 我的下一节课又该怎么上 大 家又会如何评价这节课 我不禁有点懊恼 结果 对课的评价出乎我的预料 教师应变自然 对学生猜想的肯定引出了学生积极探索真理的欲望 值 得倡导 在学生那头 课后许多学生围绕等和数列 等积数列开展了一系列研 究 写出了他们的定义 通项公式 还得到了数列的一个周期性性质 看来这 堂似乎 砸 了公开课 但可贵之处是鼓励猜想而激发了学生一颗探索未知世 界的心 三 案例的启示 1 课堂教学中应创设民主 宽松 良好的氛围 允许学生发表与自己不同 的意见 要鼓励他们积极思考 善于点燃他们猜想的火花 案例中教师如果将 小明同学提出的猜想搪塞过去的话 就不会达到意外的效果 融洽的师生关系 为后继的探究活动奠定了坚实的基础 2 普通高中数学课程标准 实验稿 强调 应力求通过各种不同形式 的自主学习 探究活动 让学生体验数学发现和创造的历程 发展他们的创新 意识 因此 在教学中教师要以教会学生主动探索和解决问题为立足点 鼓励他们去 联想 归纳 类比 对他们已提出的猜想进行正确引导 重视学生创新与合情 推理能力的培养 正如波利亚所说 类比是一个伟大的引路人 本案例中教 师通过引导学生验证 改进小明同学提出的猜想 最后达到学生能自主的去类 比探究新生的 未知事物的规律 性质 确实难能可贵 数学家拉普拉斯曾说 的好 数学本身赖以获得真理的重要手段就是归纳和类比 3 要积极探索培养学生合情推理能力的教学模式 首先要引导学生经历观 察 实验 猜想 证明等数学活动过程 在探索和思考中 培养学生的合情推 理能力 其次要加强以猜想为核心的学法指导 如引导他们怎样处理信息 提 出质疑 还可以介绍多种实现猜想的