北京市朝阳区2016届高三第二次(5月)综合数学理试题含答案

数学答案（理工类） 2016 5 一、选择题：（满分 40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B C D A D C 二、填空题： （满分 30分） 题号 9 10 11 12 13 14 答案 33 ， 4 3 ， 16 6 ( , 2 0 ,1) 9 6 0 ,5 2 2 1 （注：两空的填空，第一空 3分，第二空 2分） 三、解答题： （满分 80分） 15（本小题满分 13分） 解： ( ) 因为 2 1c o s 2 1 2 s i ，且 0 A ， 所以 6 因为 3 , s i n 6 s i C， 由正弦定理得 6 6 3 3 2 6 分 ( ) 由 6s i n , 032 得 3 由余弦定理 2 2 2 2 c o sa b c b c A ，得 2 2 1 5 0 解得 5b 或 3b （舍负） 所以 1 5 2s i b c A 13 分 解 : （ ）由已知可得： 上班的 40个工作日 中 早高峰时段 中度拥堵的频率为 据此估计此人 260个工作日 早高峰时段（早晨 7点至 9点） 中度拥堵的天数为 2605天 . 5 分 （ ）由题意可知 X 的可能取值为 3 0 , 3 5 , 4 0 , 5 0 , 7 0 且 ( 3 0 ) 0 ； ( 3 5 ) 0 ； ( 4 0 ) 0 ； ( 5 0 ) 0 . 2 5； ( 7 0 ) 0 ； 所以 3 0 0 . 0 5 + 3 5 0 . 1 + 4 0 0 . 4 5 + 5 0 0 . 2 5 + 7 0 0 . 1 5 = 4 6 13分 17（本小题满分 14分） 解：（ ）如图 1，在等腰梯形 ， 由 /D ， 1 22B C A D， 60A ， E 为 所以 为等边三角形如图 2, 因为 O 为 中点，所以1E 又因为平面1面 且平面1E ， 所以1面 所以1E 4 分 （ ）连结 由已知得 E ，又 O 为 中点， 图 2 所以 E 由（ ）知1面 所以11,A O B E A O O C， 所以1 ,O A O B O 以 O 为原点，1,C ,建立空间直角坐标系（如图） 因为 2，易知1 3O A O C 所以1 ( 0 0 3 ) , ( 1 0 0 ) , ( 0 3 0 ) , ( 1 0 0 )A B C E ， ， ， ， ， ， ， ， 所以1 1 1( 1 0 3 ) , ( 0 3 3 ) , ( 1 0 3 )A B A C A E u u u r u u u r u u u r， ， ， ， ， ， 设平面1 , , )x y zn ， E C D B A 图 1 A1 O B C D E P C B F O D 由 110,0 得 3 3 0 , 3 0 . 即 0, 3 0 . 取 1z ，得 ( 3 ,1,1)n 设直线1 ， 则13 3 3 1 5s i n c o s ,52 5 5 u u u r n 所以直线155 9 分 （ ）假设在侧棱1 ，使得 /面1 设11A P A C0,1 因为1 1 1 1B P B A A P B A A C u u ur u u ur u u u r u u ur u u u r， 所以 ( 1 0 3 ) ( 0 3 3 ) ( 1 , 3 , 3 3 ) u u ， ， ， 易证 四边形 菱形，且 D ， 又由（ ）可知，1E，所以 平面1 所以 ( 1 , 3 , 0 ) 平面1 由 ( 1 , 3 , 3 3 ) ( 1 , 3 , 0 ) 1 3 0B P C E u u ur u u 得 1 0,13 所以 侧棱1 ，使得 /面11113 14 分 18（本小题满分 13分） 解：（ ）当 3a 时 , 21( ) 4 2 l x x x x ， 0x 2( ) 4f x x x 则 (1 ) 1 4 2 1f ，而 17(1 ) 422f 所以曲线 C 在点 (1, (1)f )处的切线方程为 7 12 ，即 2 2 5 0 4 分 （ ）依题意当 1,2x 时，曲线 C 上的点 ,在不等式组1 2,32 所表示的平面区域内，等价于当 12x时， 3()2x f x x 恒成立 设 ( ) ( )g x f x x 21 1 ) l n2 x a x a x（ ， 1,2x 所以 21 (1 )( ) = + =a x a x ag x x a + ( 1 ) ( 1 ) )= x x （ 1）当 11a ，即 2a 时，当 1,2x 时， ( ) 0 ， () 所以 ( 2 ) ( ) (1 )g g x g 依题意应有 131,222 2 2 1 l n 2 0 ,()( ) ( )a a 解得 21所以 12a （ 2）若 1 1 2a ，即 23a时，当 1, 1， ( ) 0 ， () 数， 当 x 1,2a ， ( ) 0 ， () 由于 3(1)2g ，所以不合题意 （ 3）当 12a ，即 3a 时，注意到 15(1)22 ，显然不合题意 综上所述， 12a 13 分 19 （本小题满分 14分） 解： （ ） 依题意可知 2a ， 2 1 1c ， 所以椭圆 C 离心率为 1222e 3分 （ ）因为 直线 l 与 x 轴， y 轴分别相 交于 ,以000, 0 令 0y ，由 00 12xx 得02x x ，则02( ,0)A x 令 0x ，由 00 12xx 得01y y ，则01(0, )B y 所以 的面积0 0 0 01 1 2 122O A A O B x y x y 因为点00( , )P x C 2 2 12x y上，所以 2 200 12x y 所以 2 0020 0122 2y 即0022，则001 2 所以0011 22O A A O B 当且仅当 2 2002x y ，即0021, 2 时， 面积的最小值为 2 9分 （ ） 当0 0x 时， (0, 1)P 当直线 :1时，易得 ( 1,2)Q ，此时2 1，2 1 因为22F Q F 所以三点2,Q P 同理，当直线 :1 时，三点2,Q P 当0 0x 时，设点 ( , )因为点 Q 与点1l 对称， 所以000011,2 2 202 ( ) 1 12x y 整理得 0 0 00 0 02 4 0 ,2 2 0 .x m y n xy m x n y 解得220 0 022000 0 0220044 ,448 x y 所以点 220 0 0 0 0 02 2 2 20 0 0 04 4 4 8( , )44x x y x y x y x 又因为2 0 0( 1, )F P x y220 0 0 0 0 02 2 2 2 20 0 0 04 4 4 8( 1 , )44x x y x y x y x u u u 且 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 02 2 2 2 2 20 0 0 0 0 04 4 4 8 ( 4 8 ) ( 4 8 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 )4 4 4x x y x y y x y x xy x yy x y x y x 220 0 0 00 22004 8 ( 4 4 8 )4x y x 2 2 2 20 0 0 00 0 02 2 2 2 2 20 0 0 0 0 08 4 8 4 ( 2 ) 8 4 2 8 04 4 4y x y xy y yy x y x y x 所以2 /以点2,Q P 综上所述，点2,Q P 14 分 20（本小题满分 13分） 证明：（ ）当 2n 时， 1, 2, 3, 4S ，令1 1, 4S ，2 2,3S , 则12S S S U, 且对 , ( 1 , 2 ) ,ix y S i x y ，都有ix y S， 所以 S 具有性质 P 相应的 P 子集为1 1, 4S ，2 2,3S 3分 （ ） 若 31, (1 )2nx y T y x ,由已知 x y T , 又 31 132n ,所以 x y T 所以 x y T TU 若 ,x y T ,可设 3 , 3s y r ， ,r s T ,且 3112 ， 此时 31( 3 ) ( 3 ) 1 32nn n nx y s r s r 所以 x y T ，且 x y s r T 所以 x y T T U 若 , 3 nx s T ,， 则 3 1 3 3 3 1( 3 ) ( ) 3 ( 1 ) 32 2 2n n nn n nx y s y s y , 所以 x y T 又因为 ,y T s T，所以 s y T 所以 ( 3 ) ( ) 3y s y s y T 所以 x y T TU 综上，对于 ,x y T TU ， ，都有 x y T TU 8分 （ ）用数学归纳法证明 （ 1）由（ ）可知当 2n 时，命题成立，即集合 S 具有性质 P （ 2）假设 ( 2k )时，命题成立即1231 1 , 2 , 3 , , 2 S SL U U L U， 且 ( 1 , , ) i j n i j I， , ( 1 , 2 , , ) ,ix y S i k x y L，都有ix y S 那 么 当 1时，记 3 | s s S , ， 并构造如下 k+1 个集合：1 1 1S S S U,2 2 2S S S U, ,k k S U， 13 1 3 1 3 1 1 , 2 , , 2 1 2 2 2k k L， 显然 () i j I 又因为 13 1 3 13122 ，所以 11 2 131 1 , 2 , 3 , , 2 S S U U L U U L 下面证明 任意两个元素之差不等于 的任一元素