2013高三数学(人教新课标理)《必考问题1-函数、基本初等函数的图象和性质-》(命题方向把握+命题分析)

二轮专题复习 数学理 新课标 第一部分 22 个必考问题专项突破 必考问题 1 函数 基本初等函数的图象和性质 1 2012 江西 下列函数中 与函数 y 定义域相同的函数为 1 3 x A y B y C y xex D y 1 sin x ln x x sin x x 答案 D 函数 y 的定义域为 0 0 而 y 的定义域为 1 3 x 1 sin x x x R x k k Z y 的定义域为 0 y xex的定义域为 R y 的定 ln x x sin x x 义域为 0 0 2 2012 安徽 下列函数中 不满足 f 2x 2f x 的是 A f x x B f x x x C f x x 1 D f x x 答案 C 对于选项 A f 2x 2x 2 x 2f x 对于选项 B f x x x Error Error 当 x 0 时 f 2x 0 2f x 当 x 0 时 f 2x 4x 2 2x 2f x 恒有 f 2x 2f x 对于选项 D f 2x 2x 2 x 2f x 对于选项 C f 2x 2x 1 2f x 1 3 2012 广东 下列函数中 在区间 0 上为增函数的是 A y ln x 2 B y x 1 C y x D y x 1 2 1 x 答案 A 结合初等函数的单调性逐一分析即可得到正确结论 选项 A 的函数 y ln x 2 的增区间为 2 所以在 0 上一定是增函数 4 2011 江苏 已知实数 a 0 函数 f x Error Error 若 f 1 a f 1 a 则 a 的值为 解析 首先讨论 1 a 1 a 与 1 的关系 当 a 0 时 1 a 1 1 a 1 所以 f 1 a 1 a 2a 1 a f 1 a 2 1 a a 3a 2 因为 f 1 a f 1 a 所以 1 a 3a 2 所以 a 当 a 0 时 1 a 1 1 a 1 3 4 所以 f 1 a 2 1 a a 2 a f 1 a 1 a 2a 3a 1 因为 f 1 a f 1 a 所以 2 a 3a 1 所以 a 舍去 3 2 综上 满足条件的 a 3 4 答案 3 4 高考对本内容的考查主要有 利用函数的图象与性质求函数定义域 值域与最值 尤其是考查对数函数的定义域 值域与最值问题 借助基本初等函数考查函数单调性与 奇偶性的应用 尤其是考查含参函数的单调性问题或借助单调性求参数的范围 主要以解 答题的形式考查 求二次函数的解析式 值域与最值 考查二次函数的最值 一元二次 方程与不等式的综合应用 在函数与导数的解答题中 考查指数函数 对数函数的求导 含参函数单调性的讨论 函数的极值或最值的求解等 本部分的试题多围绕二次函数 分段函数 指数函数 对数函数等几个常见的函数来 设计 考查函数的单调性 奇偶性 周期性 对称性等 所以复习时一定要回归课本 重 读教材 只有把课本中的例题 习题弄明白 把基础夯扎实 才能真正掌握 灵活应用 达到事半功倍的效果 必备知识 函数及其图象 1 定义域 值域和对应关系是确定函数的三个要素 是一个整体 研究函数问题时务 必要 定义域优先 2 对于函数的图象要会作图 识图 用图 作函数图象有两种基本方法 一是描点法 二是图象变换法 其中图象变换有平移变换 伸缩变换 对称变换 函数的性质 1 函数单调性的判定方法 定义法 取值 作差 变形 定号 作答 其中变形是关键 常用的方法有 通分 配方 因式分解 导数法 复合函数的单调性遵循 同增异减 的原则 2 函数的奇偶性反映了函数图象的对称性 是函数的整体特性 利用函数的奇偶性可 以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分 一半 区间上 是简化问题的一种途 径 3 求函数最值 值域 常用的方法 单调性法 适合于已知或能判断单调性的函数 图象法 适合于已知或易作出图象的函数 基本不等式法 特别适合于分式结构或两元的函数 导数法 适合于可求导数的函数 函数图象的对称性 1 若函数 y f x 满足 f a x f a x 即 f x f 2a x 则 f x 的图象关于直线 x a 对称 2 若 f x 满足 f a x f b x 则函数 f x 的图象关于直线 x 对称 a b 2 3 若 f x a 为奇函数 f x 的图象关于点 a 0 成中心对称 若 f x a 为偶函数 f x 的 图象关于直线 x a 对称 必备方法 1 函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式 它们的实质是相同的 在解题时 经常要互相转化 在解决函数问题时 尤其是较为繁琐的 如分类讨论 求参数的取值范围 等 问题时 要注意充分发挥图象的直观作用 2 二次函数 一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体 要深刻理解它们之 间的相互关系 能用函数与方程 分类讨论 数形结合思想来研究与 三个二次 有关的 问题 高考对 三个二次 知识的考查往往渗透在其他知识之中 并且大都出现在解答题 中 函数性质及其应用的考查 常考查 给定函数解析式求定义域 给出分段函数表达式结合奇偶性 周期性求 值 熟练转化函数的性质是解题的关键 是高考的必考内容 常以选择题 填空题的形式 考查 多为基础题 例 1 设定义域在 2 2 上的偶函数 f x 在区间 0 2 上单调递减 若 f 1 m f m 则实数 m 的取值范围是 审题视点 听课记录 审题视点 利用已知条件 可将问题转化为 1 m m 解析 f x 是偶函数 f x f x f x 不等式 f 1 m f m f 1 m f m 又 当 x 0 2 时 f x 是减函数 Error Error 解得 1 m 1 2 答案 1 1 2 1 函数的性质主要是函数的奇偶性 单调性和周期性以及函数图象的对称 性 2 求函数最值常用的方法有单调性法 图象法 基本不等式法 导数法和换元法 突破训练 1 2012 济南 2 月月考 已知定义在 R 上的函数 y f x 满足以下三个条件 对于任意的 x R 都有 f x 4 f x 对于任意的 x1 x2 R 且 0 x1 x2 2 都有 f x1 f x2 函数 y f x 2 的图象关于 y 轴对称 则下列结论正确的是 A f 4 5 f 7 f 6 5 B f 7 f 4 5 f 6 5 C f 7 f 6 5 f 4 5 D f 4 5 f 6 5 f 7 答案 A 由 知 f x 的周期为 4 由 知 f x 在 0 2 上单调递增 由 知 f x 的对称轴为 x 2 f 4 5 f 0 5 f 7 f 3 f 1 f 6 5 f 2 5 f 1 5 f 4 5 f 7 f 6 5 函数图象及其应用的考查 常考查 由函数的性质 如单调性 对称性 最值 及图象的变换选图象 在解方 程或不等式问题时 利用图象求交点个数或解集的范围 是高考考查的热点 常以选择题 形式考查 难度中档 例 2 函数 y 2sin x 的图象大致是 x 2 审题视点 听课记录 审题视点 利用导数的正负与函数在某一区间内的单调性的关系求解 C 由 f x f x 知 函数 f x 为奇函数 所以排除 A 又 f x 2cos x 当 x 1 2 在 y 轴右侧 趋向 0 时 f x 0 所以函数 f x 在 x 轴右边接近原点处为减函数 当 x 2 时 f 2 2cos 2 0 所以 x 2 应在函数的减区间上 所以选 C 1 2 3 2 函数的图象在研究函数性质中有着举足轻重的作用 1 识图 在观察 分析图象时 要注意到图象的分布及变化趋势 具有的性质 找准 解析式与图象的对应关系 2 用图 在研究函数性质特别是单调性 最值 零点时 要注意用好其与图象的关系 结合图象研究 3 掌握基本初等函数的图象 一元一次函数 一元二次函数 反比例函数 指数函数 对数函数 三角函数 它们是图象变换的基础 突破训练 2 2012 新课标全国 已知函数 f x 则 y f x 的图象大致为 1 ln x 1 x 答案 B g x ln x 1 x g x x 1 x 当 g x 0 时 1 x 0 当 g x 0 时 x 0 故 g x g 0 0 即 x 0 或 1 x 0 时均有 f x 0 排除 A C D 二次函数综合问题的考查 高考很少单独考查二次函数 往往与导数结合来命题 可涉及到二次函数的许多基础 知识的考查 如含参函数根的分布问题 根与系数的关系问题 要求考生熟练应用有关的 基础知识 例 3 设函数 f x x3 bx2 cx d a 0 且方程 f x 9x 0 的两个根分别为 a 3 1 4 1 当 a 3 且曲线 y f x 过原点时 求 f x 的解析式 2 若 f x 在 内无极值点 求 a 的取值范围 审题视点 听课记录 审题视点 1 借助根与系数的关系 曲线过原点等条件进行求解 2 问题可转化为 f x 0 在 内恒成立 解 由 f x x3 bx2 cx d 得 f x ax2 2bx c a 3 因为 f x 9x ax2 2bx c 9x 0 的两个根分别为 1 4 所以Error Error 1 当 a 3 时 由 式得Error Error 解得 b 3 c 12 又因为曲线 y f x 过原点 所以 d 0 故 f x x3 3x2 12x 2 由于 a 0 所以 f x x3 bx2 cx d 在 内无极值点 等价于 a 3 f x ax2 2bx c 0 在 内恒成立 由 式得 2b 9 5a c 4a 又 2b 2 4ac 9 a 1 a 9 解Error Error 得 a 1 9 即 a 的取值范围是 1 9 高考对该部分的考查多与二次函数相结合综合命题 涉及函数零点问题 比较方程根的大小问题 函数值的求解 函数图象的识别等问题 考查学生分析 解决问 题的能力 突破训练 3 已知函数 f x 3ax4 2 3a 1 x2 4x 1 当 a 时 求 f x 的极值 1 6 2 若 f x 在 1 1 上是增函数 求 a 的取值范围 解 1 f x 4 x 1 3ax2 3ax 1 当 a 时 f x 2 x 2 x 1 2 1 6 f x 在 2 内单调递减 在 2 内单调递增 在 x 2 时 f x 有极小值 所以 f 2 12 是 f x 的极小值 2 在 1 1 上 f x 单调递增 当且仅当 f x 4 x 1 3ax2 3ax 1 0 即 3ax2 3ax 1 0 i 当 a 0 时 恒成立 ii 当 a 0 时 成立 当且仅当 3a 12 3a 1 1 0 解得 a 0 a 1 6 1 6 iii 当 a 0 时 成立 即 3a 2 1 0 成立 x 1 2 3a 4 当且仅当 1 0 解得 a a 0 3a 4 4 3 4 3 综上 a 的取值范围是 4 3 1 6 函数基础知识在综合问题中的应用 函数是高考永远不变的主题 二次函数更是热点 对二次函数的考查主要以二次函数 的图象为载体 利用数形结合思想 解决二次函数的单调区间 二次函数在给定区间上的 最值以及与此相关的参数范围的问题 下面介绍函数基础知识在综合问题中的应用 示例 高考改编题 设函数 f x x3 x2 m2 1 x x R 其中 m 0 1 3 1 当 m 1 时 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率 2 求函数 f x 的单调区间与极值 3 已知函数 f x 有三个互不相同的零点 0 x1 x2 且 x1 x2 若对任意的 x x1 x2 f x f 1 恒成立 求 m 的取值范围 满分解答 1 当 m 1 时 f x x3 x2 f x x2 2x 故 f 1 1 所以曲线 1 3 y f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率为 1 3 分 2 f x x2 2x m2 1 令 f x 0 解得 x 1 m 或 x 1 m 因为 m 0 所以 1 m 1 m 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m f x 0 0 f x 极小值 极大值 所以 f x 在 1 m 1 m 上是减函数 在 1 m 1 m 上是增函数 函 数 f x 在 x 1 m 处取得极小值 f 1 m 且 f 1 m m3 m2 函数 f x 在 x 1 m 2 3 1 3 处取得极大值 f 1 m 且 f 1 m m3 m2 7 分 2 3 1 3 3 由题设 f x x x x x1 x x2 所以方程 1 3x2 x m2 1 1 3 x2 x m2 1 0 有两个相异的实根 x1 x2 故 x1 x2 3 且 1 m2 1 0 解 1 3 4 3 得 m 舍去 或 m 因为 x1 x2 所以 2x2 x1 x2 3 故 x2 x1 9 分 1 2 1 2 3 2 若 x1 1 x2 则 f 1 1 x1 1 x2 0 而 f x1 0 不合题意 1 3 若 1 x1 x2 对任意的 x x1 x2 有 x 0 x x1 0 x x2 0 则 f x x x x1 x x2 0 又 f x1 0 所以 f x 在 x1 x2 上的最小值为 0 于是对任意的 1 3 x x1 x2 f x f 1 恒成立的充要条件是 f 1 m2 0 解得 m 综上 m 的 1 3 3 3 3 3 取值范围是 12 分 1 2 3 3 老师叮咛 该题综合考查了导数知识与函数的基础知识 是一道不错的试题 1 2 问 较易得分