【赢在高考】2013届高考数学一轮复习 9.6椭圆配套练习

1 第第 6 6 讲讲 椭圆椭圆 随堂演练巩固 1 已知M为椭圆上一点为椭圆的一个焦点 且 2 N为的中点 则ON的长为 2 2 1 259 y x 1 F 1 MF 1 MF A 2B 4C 8D 1 2 答案 B 解析 设为椭圆的另一个焦点 根据定义有 10 所以 8 显然ON为三角形的中位 2 F 1 MF 2 MF 2 MF 线 即 ON 4 2 已知椭圆过其右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于 A B 两点 AB的垂直平分线交x轴于N 则 2 2 1 95 y x NF AB 等于 A B C D 1 2 1 3 2 3 1 4 答案 B 解析 本题适合于特值法 不妨取直线的斜率为 0 右焦点F 2 0 则得 NF 2 AB 6 3 椭圆的两个焦点为 过作与x轴垂直的直线与椭圆相交 一个交点为P 则 等 2 2 1 4 x y 1 F 2 F 1 F 2 PF 于 A 1B 2C D 7 2 3 2 答案 C 解析 不妨设令得 y 即 由 4 得 1 3 0 F 3x 1 2 1 PF 1 2 1 PF 2 PF 2 PF 7 2 4 已知椭圆的一个焦点为F 1 0 离心率则椭圆的标准方程为 1 2 e A B 2 2 1 2 x y 2 2 1 2 y x C D 2 2 1 43 y x 2 2 1 43 y x 答案 C 解析 由题意 a 2 又椭圆的焦点在x轴上 椭圆的方程为 1 1 2 c ce a 22 3bac 2 2 1 43 y x 5 已知平面内两定点 A 0 1 B 0 1 动点M到两定点 A B 的距离之和为 4 则动点M的轨迹方程是 答案 2 2 1 34 y x 解析 由椭圆的定义知 动点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆 且c 1 2a 4 2 椭圆方程为 22 23abac 2 2 1 34 y x 课后作业夯基 基础巩固 1 已知圆的圆心为M 设 A 为圆上任一点 N 2 0 线段 AN的垂直平分线交MA 于点P 则动 22 2 36xy 点P的轨迹是 A 圆B 椭圆 C 双曲线D 抛物线 答案 B 解析 点P在线段 AN的垂直平分线上 故 PA PN 又 AM是圆的半径 PM PN PM PA AM 6 MN 由椭圆定义知 P的轨迹是椭圆 2 已知椭圆的左 右焦点分别为 点P在椭圆上 若P 是一个直角三角形的三个 2 2 1 169 y x 1 F 2 F 1 F 2 F 顶点 P为直角顶点 则点P到x轴的距离为 A B 3C D 9 5 9 7 7 9 4 答案 C 解析 由题意 12 22 12 8 4 7 PFPF PFPF 18 又18 其中 h 为P到x轴的距离 1 PF 2 PF 1 2 1 2 PF F S A 1 2 7 2 h 9 7 7 h 3 椭圆的离心率的取值范围是 2 2 2 1 4 x ya a A B 15 0 16 15 0 4 C D 15 1 16 15 1 4 答案 D 解析 2 1 14ea a 15 1 4 e 4 离心率为且过点 2 0 的椭圆的标准方程是 3 2 A B 或 2 2 1 4 x y 2 2 1 4 x y 2 2 1 4 y x C D 或 2 2 1 1 4 y x 2 2 1 4 x y 2 2 1 416 y x 答案 D 3 解析 当a 2 时 由得所求椭圆为 3 2 e 31cb 2 4 x 2 1y 当 b 2 时 由得所求椭圆方程为 3 2 e 22 164ab 2 2 1 164 y x 5 已知椭圆a b 0 的左焦点为F 右顶点为 A 点 B 在椭圆上 且轴 直线AB交 y轴于 2 2 22 1 y x ab BFx 点P 若 2 则椭圆的离心率是 AP PB A B C D 3 2 2 2 1 3 1 2 答案 D 解析 左焦点F c 0 右顶点 A a 0 不妨设点 B 在第二象限 则由 得 0 a 2 2 b Bc a AP 2PB c 0 所以 1 2 c e a 6 若AB为过椭圆中心的弦为椭圆的焦点 则 面积的最大值为 2 2 1 2516 y x 1 F 1 F AB A 6B 12C 24D 48 答案 B 解析 由椭圆的标准方程可知a 5 b 4 22 3cab 如图所示 由于 111 ABFBOFAOF SSS AAA 根据椭圆的对称性可知 当且仅当 面积取最大值时 取最大值 这时 B 为短轴的端点 的最大值为 1 BOF 1 ABF SA 1 BOF SA 11 22 c b 4 6 面积的最大值为 12 3 1 F AB 7 已知 A B 为椭圆 C 的长轴的两个端点 P是椭圆 C 上的动点 且的最大值是则 2 2 1 1 y x mm APB 2 3 实数m的值等于 A B C D 31 2 31 2 1 2 3 2 答案 C 4 解析 由椭圆性质知 当点P位于短轴的端点时取得最大值 APB 则 tan 11 32 m m m 8 如果方程表示焦点在y轴上的椭圆 那么实数k的取值范围是 22 2xky 答案 0 1 解析 椭圆方程化为 该椭圆焦点在y轴上 则即k0 0 k 1 2 2 1 22 y x k 2 2 k 9 与椭圆共焦点 且过M 3 2 的椭圆方程为 2 2 1 94 y x 答案 2 2 1 1510 y x 解析 设所求椭圆方程为代入 3 2 得或3 舍去 2 945c 2 2 22 1 5 y x aa 2 15a 2 a 10 底面直径为 12 cm的圆柱被与底面成 30角的平面所截 截口是一个椭圆 则这个椭圆的长轴长为 短circ 轴长为 离心率为 答案 cm 12 cm 8 3 1 2 解析 作出经过椭圆长轴的圆柱的轴截面 易得 cm 短轴长即为底面圆直径 12 cm 12 28 3 cos30 a 22 2 3cab 1 2 c e a 11 若椭圆的焦点在x轴上 过点作圆1 的切线 切点分别为 A B 直线AB恰好经 2 2 22 1 y x ab 1 1 2 22 xy 过椭圆的右焦点和上顶点 求椭圆的方程 解 显然x 1 是一条切线 且过切点 A 1 0 设另一条切线方程为k x 1 1 2 y 5 即 2kx 2y 1 2k 0 由解得 2 1 2 1 44 k k 3 4 k 圆的切线方程为 3x 4y 5 0 解得 进一步求得过 A 1 0 与两点的直线方程为y 2x 2 22 3450 1 xy xy 3 4 5 5 B 3 4 5 5 B 令x 0 得y 2 故在椭圆方程中 b 2 c 1 2 2 22 1 y x ab 2 5a 因此椭圆方程为 2 2 1 54 y x 12 已知椭圆 C 的中心在原点 一个焦点为F 2 0 且长轴长与短轴长的比是 2 3 1 求椭圆 C 的方程 2 设点M m 0 在椭圆 C 的长轴上 点P是椭圆上任意一点 当 最小时 点P恰好落在椭圆的右顶点 求MP 实数m的取值范围 解 1 设椭圆 C 的方程为0 2 2 22 1 y x ab ab 由题意 得 222 2 3 2 abc a b c 解得 22 1612ab 所以椭圆 C 的方程为 2 2 1 1612 y x 2 设P x y 为椭圆上的动点 由于椭圆方程为故 2 16 x 2 1 12 y 44x 因为 x m y MP 6 所以 MP 2 2222221 12 1 212 164 x xmyxmxmxm 221 4 123 4 xmm 因为当 最小时 点P恰好落在椭圆的右顶点 MP 即当x 4 时 取得最小值 而 MP 2 4 4 x 故有解得 44m 1m 又点M在椭圆的长轴上 所以 44m 故实数m的取值范围是 1 4 13 2012 山东德州段考 如图 在平面直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD AB的中点为 BC AB 4 BC 3 AD 1 以 A B 为焦点的椭圆经过点 C O ADAB AD 1 求椭圆的标准方程 2 若点E 0 1 问是否存在直线 l 与椭圆交于M N两点且 ME NE 若存在 求出直线 l 斜率的取值范围 若不存在 请说明理由 解 1 连接AC 依题意设椭圆的标准方程为0 在 Rt ABC中 AB 4 BC 3 AC 5 2 2 22 1 y x ab ab CA CB 5 3 2a 即a 4 又 2c 4 c 2 从而 22 2 3bac 椭圆的标准方程为 2 2 1 1612 y x 2 由题意知 当直线 l 与x轴垂直时 不满足 ME NE 当直线 l 与x轴平行时 ME NE 显然成立 此时 k 0 当直线 l 的斜率存在 且不等于零时 设直线 l 的方程为 0 ykxm k 7 由 消去y得 2 2 1 1612 ykxm y x 222 34 84480kxkmxm 2222 644 34 448 0k mkm 22 1612km 令的中点为 1122 M x yN xyMN 00 F xy 则 12 00022 43 2 3434 xx kmm xykxm kk ME NE EFMN 1 EF kk 即 2 2 3 1 34 1 4 34 m k k km k 化简得 2 43 mk 结合 得即 222 1612 43 kk 42 16830kk 解之 得 11 0 22 kk 综上所述 存在满足条件的直线 l 且其斜率k的取值范围为 1 1 2 2 拓展延伸 14 已知椭圆 C 0 的长轴长为 4 2 2 22 1 y x ab ab 1 若以原点为圆心 椭圆短半轴为半径的圆与直线y x 2 相切 求椭圆 C 的焦点坐标 2 若点P是椭圆 C 上的任意一点 过原点的直线 l 与椭圆相交于M N两点 记直线PM PN的斜率分别为 PM k 当时 求椭圆的方程 PN k 1 4 PMPN kk 解 1 由题意知得 2 1 1 b 2b 又 2a 4 22 242aab 椭圆 C 的两个焦点的坐标为 222 2cab 2 0 2 0 2 由于过原点的直线 l 与椭圆相交的两点M N关于坐标原点对称 8 不妨设 0000 M xyNx