中考题的解法探究及思考

一道中考题的解法探究及思考 湖北省安陆市洑水初中 王官清 一道以正方形为背景的中考题 很多同学解答时 往往找不到解题的突破口 不能综 合运用所学数学知识 思维缺乏灵活性 连贯性 下面的六种解法给同学们提供借鉴 题 2009 贺州 如图 1 1 正方形 ABCD 的边长为 1cm E F 分别是 BC CD 的中点 连接 BF DE 则图中阴影部分的面积是 cm2 分析 图中阴影部分是不规则四边形 须作辅助线转化为规则四边形或三角形 才能 运用规则四边形或三角形的面积公式求解 也可考虑间接求解 先求出空白部分的面积 再用正方形的面积减去空白部分面积 题目中重要的是要考虑中点的如何运用 解法一 如图 1 2 连接 AC BD 交于 G 根据正方形性质 G 是 BD 中点 显然 O 是 BDC 的重心 CG 经过 O 点 OG CG BOG 的面积等于 BCD 的面积的 即 阴影部分的面积 点评 正方形常见的辅助线是正方形的对角线 由正方形对角线的性质迅速得到 O 是 三角形 BCD 的重心 利用三角形重心的性质使解答比较简捷 重心性质见人教版八年 级下册数学教材第 115 页第 15 题的结论 解法二 如图 1 3 连接 OC F 分别是 CD 的中点 DOF 的面积和 COF 面积相等 由 FC EC BC DC 得 由 得 由 OC OC CF CE OF OE 得 COF COE DOF 的面积等于 DCE 的面积的 即 DOF 的面积 1 空白部分的面积等于 DOF 的面积的 4 倍 即为 4 阴影部分的面积 1 点评 解答过程反复运用了全等三角形的有关知识 充分发挥了全等三角形在处理几 何问题时的工具性 解法三 如图 1 2 同解法一可知 AC 过 O 点 而 AC 是正方形 ABCD 的对称轴 COF COE AB FC ABO CFO 相似比为 AB FC 2 面积比为 4 设 CFO 的面积为 a 则 ABO 的面积为 同理 ADO 的面积为 CEO 的面积为 E F 分别是 BC CD 的中点 阴影部分的面积 点评 正方形的对称性 相似三角形性质的灵活运用 使解答比较巧妙 解答中根据 所设 应用相似三角形的性质得到了图中有关三角形的面积关系 值得关注 解法四 如图 1 4 作 EM DC 交 BF 于 M 相似比为 面积比为 设 则 由证法二知 相似比为 面积比为 且 图中空白部分面积为 阴影部分的面积 1 点评 全等三角形和相似三角形性质综合应用 思路更加开阔灵活 解法五 如图 1 5 过 O 作 GH DC PQ DC 分别交正方形四边于 G H P Q 设 HO 则 OG 由证法二知 DO BO 又 Rt DOQ Rt BOG DQ BG HO PO AHPO CGOQ 为正方形 阴影部分的面积等于矩形 ADQP 的面积 由得 矩形 ADQP 的面积 1 阴影部分的面积 点评 把不规则四边形用割补法转化为矩形是本解法的亮点 解法六 如图 1 6 连接 BD EF E F 分别是 BC CD 的中点 EF BD 相似比为 面积比为 设的面积为 则面积为 4 BO OF 2 1 和的面积都为 而 阴影部分的面积 点评 把求阴影部分的面积转化为求两个三角形分的面积 充分体现了转化的数学思 想 归纳与思考 以上各种解法 使用的知识点较多 其中相似三角形 全等三角形的性 质为解答提供了主要依托 使解答入口更宽 各种解法有共性 也有差别 观察思考的角 度略有不同 解答中注重了转化的思想方法运用 解法一 解法六是把阴影部分面积转化 为两个三角形的面积之和 解法二 解法三 解法四是把阴影部分面积转化求正方形面积 与空白部分面积之差 而空白部分的面积求法由辅助线的不同而不