广西桂林市、北海市2016届高考数学一模试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 24 页） 2016 年广西桂林市、北海市、崇左市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1已知全集 U=R，集合 A=x|1x3， B=x|x 2，则 A于（ ） A x|1 x2 B x|1x 2 C x|1x2 D x|1x3 2复数 =（ ） A i B i C i D i 3等差数列 ， a4+0， ，则公差 d 等于（ ） A B C 2 D 4已知函数 f（ x） = ，则 f（ f（ 2）等于（ ） A B 2 C 1 D 1 5下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（ ） A y= y= y=|x| D y=已知 （ （ 0， ），则 +2） =（ ） A B C D 7如图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），其中正视图、侧视图都是由边长为 4 和 6 的矩形以及直径等于 4 的圆组成，俯视图是直径等于 4 的圆，该几何体的体积是（ ） 第 2 页（共 24 页） A B C D 8阅读如图所示的程序框图，则输出的 S=（ ） A 45 B 35 C 21 D 15 9函数 的零点所在的区间是（ ） A（ 3， 4） B（ 2， 3） C（ 1， 2） D（ 0， 1） 10已知向量 与 的夹角为 120，且 | |=2， | |=3，若 = + ，且 ，则实数 的值为（ ） A B 13 C 6 D 11设点 P 是双曲线 =1（ a 0， b 0）与圆 x2+y2=a2+第一象限的交点， 别是双曲线的左、右焦点，且 |2|则双曲线的离心率为（ ） A B C D 12已 知函数 f（ x） = x（ 0， e（ e 为自然常数）时，函数 f（ x）的最小值为 3，则 ） 第 3 页（共 24 页） A e B 2e D 2、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13若函数 f（ x） =x+ ）为奇函数，则 a= 14已知实数 x， y 满足不等式组 ，则 z=x 2y 的最小值为 15若圆 C 以抛物线 x 的焦点为圆心，截此抛物 线的准线所得弦长为 6，则该圆的标准方程是 16已知四棱锥 P 顶点都在球 O 的球面上，底面 矩形，平面 底面 正三角形， ，则球 O 的表面积为 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17在 ，内角 A， B， C 对应的边长分别为 a， b， c，且满足 c（ b） = （ ）求角 A； （ 2）求 最大值 18某市规定，高中学生在校期间须参加不少于 80 小时的社区服务才合格某校随机抽取 20 位学生参加社区服务的数据，按时间段 75， 80）， 80， 85）， 85， 90）， 90， 95）， 95， 100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示 （ ）求抽取的 20 人中，参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数； （ ）从参加社区服务时间不少于 90 小时的学生中任意选取 2 人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率 第 4 页（共 24 页） 19在如 图所示的多面体 ， 平面 平面 D=1， ，E=2 （ ）在线段 取一点 F，作 平面 需指出 F 的位置，不需证明）； （ ）对（ ）中的点 F，求三棱锥 B 体积 20如图，已知圆 C 与 y 轴相切于点 T（ 0， 2），与 x 轴正半轴相交于两点 M， N（点 M 必在点 且 |3，已知椭圆 D： 的焦距等于 2|且过点 （ I）求圆 C 和椭圆 D 的方程； （ ）若过点 M 斜率不为零的直线 l 与椭圆 D 交于 A、 B 两点，求证：直线 直线 倾角互补 21已知函数 f（ x） =ax+aR） （ 1）若函数 f（ x）在区间 e， +）上为增函数，求 a 的取值范围； （ 2）当 a=1 且 kz 时，不等式 k（ x 1） f（ x）在 x（ 1， +）上恒成立，求 k 的最大值 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图，四边形 O 的内接四边形，延长 交于点 P， = ， = 第 5 页（共 24 页） （ ）求 的值； （ ）若 O 的直 径，且 ，求 长 选修 4标系与参数方程 23已知曲线 C 的极坐标方程是 =4极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直 l 的参数方程是 （ t 是参数） （ 1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ 2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、 B 两点，且 | ，求直线的倾斜角 的值 选修 4等式选讲 24（选做题）已知 f（ x） =|x+1|+|x 1|，不等式 f（ x） 4 的解集为 M （ 1）求 M； （ 2）当 a， bM 时，证明： 2|a+b| |4+ 第 6 页（共 24 页） 2016 年广西桂林市、北海市、崇左市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1已知全集 U=R，集合 A=x|1x3， B=x|x 2，则 A于（ ） A x|1 x2 B x|1x 2 C x|1x2 D x|1x3 【考点】 交、并、补集的混合运算 【专题】 集合 【分析】 根据集合的基本运算进行求解即可 【解答】 解： A=x|1x3， B=x|x 2， Ax|1x3x|x2=x|1x2， 故选： C 【点评】 本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础 2复数 =（ ） A i B i C i D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【专题】 数系的扩充和复数 【分析】 利用复数的运算法则即可得出 【解答】 解： = = = 故选： C 【点评】 本题考查了复数的运算法则，属于基础题 3等差数 列 ， a4+0， ，则公差 d 等于（ ） 第 7 页（共 24 页） A B C 2 D 【考点】 等差数列的通项公式 【专题】 等差数列与等比数列 【分析】 由已知求得 后结合 代入等差数列的通项公式得答案 【解答】 解：在等差数列 ，由 a4+0，得 20， 又 ，则 故选： A 【点评】 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题 4已知函数 f（ x） = ，则 f（ f（ 2）等于（ ） A B 2 C 1 D 1 【考点】 对数的运算性质；函数的值 【专题】 计算题 【分析】 先由解析式求得 f（ 2），再求 f（ f（ 2） 【解答】 解： f（ 2） = ， f（ 1） =2 1= ， 所以 f（ f（ 2） =f（ 1） = ， 故选 A 【点评】 本题考查对数、指数的运算性质，分段函数求值关键是 “对号入座 ” 5下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（ ） A y= y= y=|x| D y=考点】 奇偶函数图象的对称性 【专题】 计算题 【分析】 根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，要找图象关 于原点对称，即在 4 个选项中找出奇函数即可，结合选项利用排除法 【解答】 解：根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称， 第 8 页（共 24 页） A： y=非奇非偶函数，错误 B： y=偶函数，图象关于 y 轴对称，错误 C： y=|x|为偶函数，图象关于 y 轴对称，错误 D： y=奇函数，图象关于原点对称，正确 故选 D 【点评】 本题主要考查了函数奇、偶函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，奇偶函数的判断，注意：再判断函数的奇偶性时，不但要检验 f（ x）与 f（ x）的关系，更不 能漏掉对函数的定义域要求对称的检验 6已知 （ （ 0， ），则 +2） =（ ） A B C D 【考点】 二倍角的余弦 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用诱导公 式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得 +2）的值 【解答】 解： ， （ 0， ）， 则 +2） =+2） = 2 = = ， 故选： D 【点评】 本题主要考查诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题 7如图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），其中正视图、侧视图都是由边长为 4 和 6 的矩形以及直径等于 4 的圆组成，俯视图是直径等于 4 的圆，该几何体的体积是（ ） 第 9 页（共 24 页） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【专题】 计算题 【分析】 由三视图得此几何体的几何特征：上球、下圆柱，并得到球的半径、圆柱的底面半径和高，由体积公式计算出几何体的体积 【解答】 解：由三视图知几何体是一个简单组合体：上球、下圆柱组成， 且球的底面半径是 2，圆柱的底面半径是 2、高是 6， 所以几何体的体积 V= = ， 故选： D 【点评】 本题考查由三视图求体积，解题的关键是熟练掌握三视图的作图规则，由三视图还原出实物图的几何特征及测度 8阅读如图所示的程序框图，则输出的 S=（ ） A 45 B 35 C 21 D 15 【考点】 循环结构 第 10 页（共 24 页） 【专题】 图表型 【分析】 根据所给 s、 i 的值先执行 T=2i 1， s=sT， i=i+1，然后判断 i 与 4 的关系，满足条件算 法结束，不满足条件继续执行循环体，从而到结论 【解答】 解：因为 s=1， i=1， 执行 T=21 1=1， s=11=1， i=1+1=2； 判断 2 4，执行 T=22 1=3， s=13=3， i=2+1=3； 判断 3 4，执行 T=23 1=5， s=35=15， i=3+1=4； 此时 44，满足条件，输出 s 的值为 15 故选 D 【点评】 本题考查了循环结构中的直到型循环，直到型循环是先执行后判断，不满足条件进入循环，满足条件算法结束 9函数 的 零点所在的区间是（ ） A（ 3， 4） B（ 2， 3） C（ 1， 2） D（ 0， 1） 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 计算题 【分析】 由题意可得 f（ 2） 0， f（ 3） 0，满足 f（ 2） f（ 3） 0，由零点的存在性定理可判 【解答】 解： 函数 ， f（ 2） = = 0， f（ 3） = = 0， f（ 2） f（ 3） 0 由零点的存在性定理可知：零点所在的区间为（ 2， 3） 故选 B 【点评】 本题考查函数零点的判定，涉及对数的运算，属基础题 10已知向量 与 的夹角为 120，且 | |=2， | |=3，若 = + ，且 ，则实数 的值为（ ） A B 13 C 6 D 第 11 页（共 24 页） 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 平面向量及应用 【分析】 由 ，得 =0，用向量 表示后展开，结合已知条件可求得实数 的值 【解答】 解： = + ，且 ， =（ + ） （ ） = = =0 向量 与 的夹角为 120，且 | |=2， | |=3， 23（ 1） 4+9=0 解得： 故选： D 【点评】 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是基础题 11设点 P 是双曲线 =1（ a 0， b 0）与圆 x2+y2=a2+第一象限的交点， 别是双曲线的左、右焦点，且 |2|则双曲线的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【专题】 计算题 【分析】 由 P 是双曲线 与圆 x2+y2=a2+导出 0再由 |2|知 |4a， |2a，由此求出 c= a，从而得到双曲线的离心率 【解答】 解： P 是双曲线 与圆 x2+y2=a2+ 点 P 到原点的距离 | ， 0， |2| 第 12 页（共 24 页） | |2a， |4a， |2a， 16 c= a， 故选 A 【点评】 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用 12已知函 数 f（ x） = x（ 0， e（ e 为自然常数）时，函数 f（ x）的最小值为 3，则 ） A e B 2e D 2考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】 综合题；分类讨论；转化法；导数的概念及应用 【分析】 先求出其导函数，通过分类讨论分别求出导数为 0 的根，以及单调性和极值，再与 f（ x）的最小值是 3 相结合，即可得出结论 【解答】 解：函数的定义域为（ 0， +），函数的导数 ， 当 a0 时， f（ x） 0， f（ x）在 x（ 0， e）上单调递减 f（ e） 0，与题意不符； 当 a 0 时， f（ x） =0 的根为 当 时， ，解得 a= 当 时， f（ x） 0， f（ x）在 x（ 0， e）上单调递减 f（ e） 0，与题意不符； 综上所述 a= 故 选： B 【点评】 本题主要考查导数的应用利用函数单调性最值和导数的关系，利用分类讨论的思想进行求解是解决本题的关键 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13若函数 f（ x） =x+ ）为奇函数，则 a= 1 第 13 页（共 24 页） 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 由 f（ x）为奇函数便可得到 ，进行分子有理化和对数的运算便可得到 = ，从而便可得出 ，这便得到 a=1 【解答】 解： f（ x）为奇函数； f（ x） = f（ x）； 即 = ； ； a=1 故答案为： 1 【点评】 考查奇函数的定义，以及分子有理化和对数的运算性质 14已知实数 x， y 满足不等式组 ，则 z=x 2y 的最小值为 4 【考点】 简单线性规划 【专题】 计算题；函数思想；对应思想；数形结合法；不等式 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 第 14 页（共 24 页） 联立 ，解得 A（ 2， 3）， 化目标函数 z=x 2y 为 ， 由图可知，当直线 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最大值为 2 23= 4 故答案为： 4 【点评】 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 15若圆 C 以抛物线 x 的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为 6，则该圆的标准方程是 （ x 1） 2+3 【考点】 圆的标准方程；抛物线的简单性质 【专题】 直线与圆 【分析】 确定抛物线的准线方程 及焦点坐标，求出圆的圆心及半径，即可得到圆的标准方程 【解答】 解：抛物线 x 的焦点坐标为（ 1， 0），准线方程为 x= 1， 圆 C 截此抛物线的准线所得弦长为 6， 圆的半径为 = 圆的标准方程是（ x 1） 2+3 故答案为：（ x 1） 2+3 【点评】 本题考查圆的标准方程，考查抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题 16已知四棱锥 P 顶点都在球 O 的球面 上，底面 矩形，平面 底面 正三角形， ，则球 O 的表面积为 第 15 页（共 24 页） 【考点】 球的体积和表面积 【专题】 计算题；空间位置关系与距离 【分析】 求出 在圆的半径，利用勾股定理求出球 O 的半径 R，即可求出球 O 的表面积 【解答】 解：令 在圆的圆心为 圆 半径 r= ， 因为平面 底面 所以 ， 所以球 O 的半径 R= = ， 所以球 O 的表面积 =4 故答案为： 【点评】 本题考查球 O 的表面积，考查学生的计算能力，比较基础 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17在 ，内角 A， B， C 对应的边长分别为 a， b， c，且满足 c（ b） = （ ）求角 A； （ 2）求 最大值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【专题】 计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质；解三角形 【分析】 （ 1）由余弦定理化简已知可得 a2=c2+据余弦定理可求 = ，结合范围 A（ 0， ） ，即可解得 A 的值 （ 2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得 B+ ），结合范围 B（ 0， ），可求 B+ （ ， ），利用正弦函数的性质即可解得 最大值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1） c（ b） = 由余弦定理可得： a2+2得： a2=c2+ = ， 第 16 页（共 24 页） A（ 0， ）， A= 6 分 （ 2） A+B） = B+ ）， B（ 0， ）， B+ （ ， ）， B+ ） （ ， 1， 最大值为 12 分 【点评】 本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，考查了计算能力，属于中档题 18某市规定，高中学生在校期间须参加不少于 80 小 时的社区服务才合格某校随机抽取 20 位学生参加社区服务的数据，按时间段 75， 80）， 80， 85）， 85， 90）， 90， 95）， 95， 100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示 （ ）求抽取的 20 人中，参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数； （ ）从参加社区服务时间不少于 90 小时的学生中任意选取 2 人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【专题】 概率与统计 【分析】 （ I） 利用频率分布直方图，求出频率，进而根据频数 =频率 样本容量，得到答案； （ 计算从参加社区服务时间不少于 90 小时的学生中任意选取 2 人的情况总数，再计算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案 【解答】 解：（ ）由题意可知， 第 17 页（共 24 页） 参加社区服务在时间段 90， 95）的学生人数为 20=4（人）， 参加社区服务在时间段 95， 100的学生人数为 20=2（人） 所以参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数为 4+2=6（人） （ ） 设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件 A 由（ ）可知， 参加社区服务在时间段 90， 95）的学生有 4 人，记为 a， b， c， d； 参加社区服务在时间段 95， 100的学生有 2 人，记为 A， B 从这 6 人中任意选取 2 人有 15 种情况 事件 A 包括 7 种情况 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率 【点评】 本题考查的 知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键 19在如图所示的多面体 ， 平面 平面 D=1， ，E=2 （ ）在线段 取一点 F，作 平面 需指出 F 的位置，不需证明）； （ ）对（ ）中的点 F，求三棱锥 B 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判 定 【专题】 整体思想；转化法；空间位置关系与距离 【分析】 （ ）根据线面平行的判定定理即可确定 F 的位置 （ ）根据三棱锥的体积公式进行求解即可求三棱锥 B 体积 第 18 页（共 24 页） 【解答】 证明：（ ）取线段 中点 F，连接 平面 （ ） 0， 平面 D=D， 平面 平面 平面 面 面 平面 B 到平面 距离为 S S ， 三棱锥 B 体积 V= S 【点评】 本题主要考查线面平行的判断以及三棱锥体积的计算，根据相应的判定定理以及体积公式是解决本题的关键比较基础 20如图，已知圆 C 与 y 轴相切于点 T（ 0， 2），与 x 轴正半轴相交于两点 M， N（点 M 必在点 且 |3，已知椭圆 D： 的焦距等于 2|且过点 （ I）求圆 C 和椭圆 D 的方程； （ ）若过点 M 斜率不为零的直线 l 与椭圆 D 交于 A、 B 两点，求证：直线 直线 倾角互补 第 19 页（共 24 页） 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 【专题】 圆锥 曲线的定义、性质与方程 【分析】 （ I） 设圆的半径为 r，则圆心为（ r， 2），由 |3，利用垂径定理得即可解得 r于是得到圆的方程，可求得点 N， M 的坐标 由 得到 2c，得到 a2=b2+椭圆过点 ，代入椭圆的方程又得到关于 a， b 的一个方程，联立即可解出 a， b，进而得到椭圆的方程 （ 直线 l 的方程为 y=k（ x 4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，表示出 明其和等于 0 即可 【解答】 （ I）解： 设圆的半径为 r，则圆心为（ r， 2）， 由 |3，得 = ，解得 r= 所以 C 的方程为 令 y=0，解得 x=1 或 4 N（ 1， 0）， M（ 4， 0） 2c=2，得 c=1 椭圆过点 ， 联立 ，解得 椭圆的方程为 （ 直线 l 的方程为 y=k（ x 4）， 联立 消去 y 得到（ 3+432412=0，（ *） 设 A（ B（ 第 20 页（共 24 页） ， = = 25（ x1+8 = =0 当 或 时， ，此时方程（ *）的 =0，不 合题意，应舍去 因此直线 直线 倾角互补 【点评】 熟练掌握圆的标准方程、垂径定理、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、 直线 直线 倾角互补（斜率存在） 等是解决问题的关键 21已知函数 f（ x） =ax+aR） （ 1）若函数 f（ x）在区间 e， +）上为增函数，求 a 的取值范围； （ 2）当 a=1 且 kz 时，不等式 k（ x 1） f（ x）在 x（ 1， +）上恒成立，求 k 的最大值 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利 用导数求闭区间上函数的最值 【专题】 综合题；导数的概念及应用 【分析】 （ 1）易求 f（ x） =a+1+题意知，当 xe 时， a+1+ 恒成立，即 xe 时， a（ 1 而可得 a 的取值范围； （ 2）依题意， 对任意 x 1 恒成立，令 则 ，再令 h（ x） =x 2（ x 1），易知 h（ x）在（ 1， +）上单增，从而可 求得 g（ x） 3， 4），而 kz，从而可得 k 的最大值 【解答】 解：（ 1） f（ x） =ax+ f（ x） =a+1+函数 f（ x）在区间 e， +）上为增函数， 第 21 页（共 24 页） 当 xe 时， a+1+ 恒成立， a（ 1 1 2，即 a 的取值范围为 2， +）； （ 2）当 x 1 时， x 1 0，故不等式 k（ x 1） f（ x） k ， 即 对任 意 x 1 恒成立 令 则 ， 令 h（ x） =x 2（ x 1）， 则 在（ 1， +）上单增 h（ 3） =1 0， h（ 4） =2 0， 存在 3， 4）使 h（ =0， 即当 1 x ， h（ x） 0，即 g（ x） 0， 当 x ， h（ x） 0，即 g（ x） 0， g（ x）在（ 1， 单减，在（ +）上单增 令 h（ =2=0，即 2，= 3， 4）， k g（ x） kZ， 即 【点评】 本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值，着重考查等价转化思想与函数恒成立问题，属于难题 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图，四边形 O 的内接四边形，延长 交于点 P， = ， = （ ）求 的值； （ ）若 O 的直径，且 ，求 长 第 22 页（共 24 页） 【考点】 与圆有关的比例线段 【专题】 压轴题；选作题；推理和证明 【分析】 （ ）证明 似，即可求 的值； （ ）求出 用勾股定理求 长 【解答】 解：（ ）由 A= A，得 似， 设 PA=x， PD=y 则有 ， 所以 （ ）因为 ， = ，所以 ， 因 为 B=C， = ，所以 ， 因为 O 的直径，所