中考考点分析：反比例函数与一次函数综合问题

反比例函数与一次函数交叉综合问题反比例函数与一次函数交叉综合问题 前言 初中数学所涉及的函数无非也就一次函数 反比例函数以及二次函数 二次函数基本 上只会考和一次函数的综合问题 二次函数与反比例函数基本不会涉及 所以如何掌握好 一次函数与反比例函数的综合问题就成为了又一重点 这类题目本身并不会太难 很少作 为压轴题出现 一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的 掌握 所以在中考中面对这类问题 一定要做到避免失分 例 1 2010 西城 一模 将直线 4 yx 沿 y 轴向下平移后 得到的直线与x轴交于点 9 0 4 A 与双曲线 0 k yx x 交于点B 求直线AB的解析式 若点B的纵标为m 求k的值 用含有m的式子表示 思路分析 这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见 一模 中有多套题都是这样考法 题目一般不难 设元以后计算就可以了 本题先设平移后的直 线 然后联立即可 比较简单 看看就行 解析 将直线 xy4 沿 y 轴向下平移后经过 x 轴上点 A 0 4 9 设直线 AB 的解析式为 bxy 4 则 0 4 9 4 b 解得 9 b 直线 AB 的解析式为 94 xy 8 6 4 2 2 6 4 2 64 2 O B A y x 图 3 2 设点B的坐标为 B xm 直线AB经过点B 94 B xm 4 9 m xB B点的坐标为 9 4 m m 点B在双曲线 k y x 0 x 上 4 9 m k m 4 9 2 mm k 例 2 2010 丰台 一模 如图 一次函数 1 ykxb 的图象与反比例函数 2 m y x 的图象相交于 A B 两点 1 求出这两个函数的解析式 2 结合函数的图象回答 当自变量 x 的取值范围满足什么条件时 12 yy B A O y x 2 6 4 1 3 思路分析 第一问直接看图写出 A B 点的坐标 6 2 4 3 直接代入反比例 函数中求 m 建立二元一次方程组求 k b 继而求出解析式 第二问通过图像可以直接得出 结论 本题虽然简单 但是事实上却有很多变化 比如不给图像 直接给出解析式求 12 yy 的区间 考生是否依然能反映到用图像来看区间 数形结合是初中数学当中非常重 要的一个思想 希望大家要活用这方面的意识去解题 解析 解 1 由图象知反比例函数 2 m y x 的图象经过点 B 4 3 3 4 m m 12 反比例函数解析式为 2 12 y x 由图象知一次函数 1 ykxb 的图象经过点 A 6 2 B 4 3 62 43 kb kb 解得 1 2 1 k b 一次函数解析式为 1 1 1 2 yx 2 当 0 x 4 或 x 6 时 12 yy 例 3 2010 密云 一模 已知 如图 正比例函数 yax 的图象与反比例函数 k y x 的图象交于点 3 2A 1 试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式 2 根据图象回答 在第一象限内 当x取何值时 反比例函数的值大于正比例函数 的值 3 M mn 是反比例函数图象上的一动点 其中0 3m 过点M作直线 MBx 轴 交 y 轴于点B 过点A作直线 ACy 轴交x轴于点C 交直线MB于 点D 当四边形OADM的面积为 6 时 请判断线段BM与DM的大小关系 并说明理 由 思路分析 第一问由于给出了一个定点 所以直接代点即可求出表达式 第二问则 是利用图像去分析两个函数的大小关系 考生需要对坐标系有直观的认识 第三问略有难 度 一方面需要分析给出四边形 OADM 的面积是何用意 另一方面也要去看 BM DM 和图 中图形面积有何关系 视野放开就发现四边形其实就是整个矩形减去两个三角形的剩余部分 直接求出矩形面积即可 部分同学会太在意四边形的面积如何求解而没能拉出来看 从而没有 想到思路 失分可惜 解析 解 1 将 3 2 分别代入 yax 中 k y x 得2 3a 2 3 k 2 3 a 6k 反比例函数的表达式为 6 y x 正比例函数的表达式为 2 3 ya 2 观察图象得 在第一象限内 当0 3x 时 反比例函数的值大于正比例函数的值 3 BM DM 理由 6 n m 1 3 2 m n 即 3 BMO S AC OC 1 323 2 AOC S 33612 OCDB S 很巧妙的利用了和的关系求出矩形面积 12 4 3 BO 63 2 BM BO 3 3 2 DMBMBM 例 4 2010 石景山 一模 已知 yax 与 3b y x 两个函数图象交点为 P m n 且m n m n 是关于x的一 元二次方程 2 2730kxkxk 的两个不等实根 其中k为非负整数 1 求k的值 2 求a b 的值 3 如果 0yc c 与函数 yax 和 3b y x 交于A B 两点 点A在点B的左侧 线段 3 2 AB 求c的值 思路分析 本题看似有一个一元二次方程 但是本质上依然是正反比例函数交点的 问题 第一问直接用判别式求出 k 的范围 加上非负整数这一条件得出 k 的具体取值 代 入方程即可求出 m n 继而求得解析式 注意题中已经给定 m n 否则仍然注意要分类讨 论 第三问联立方程代入以后将 A B 表示出来 然后利用 3 2 AB 构建方程即可 解析 1 2 27430kk k 49 40 k k为非负整数 0 1k 2 2730kxkxk 为一元二次方程 1k 2 把 1k 代入方程得 2 540 xx 解得 12 14xx m n 14mn 把 14mn 代入 yax 与 3b y x 可得 41ab 3 把 yc 代入 4yx 与 4 y x 可得 4 c Ac 4 Bc c 由 3 2 AB 可得 43 42 c c 解得 12 28cc 经检验 12 28cc 为方程的根 12 28cc 例 5 2010 海淀 一模 已知 如图 一次函数 3 3 yxm 与反比例函数 3 y x 的图象在第一象限的交点为 1 An 1 求m与n的值 2 设一次函数的图像与x轴交于点B 连接OA 求 BAO 的度数 2 1 2 1 3 21 2 1 y x B A O 思路分析 如果一道题单纯考正反比例函数是不会太难的 所以在中考中经常会综 合一些其他方面的知识点 比如本题求角度就牵扯到了勾股定理和特定角的三角函数方面 需要考生思维转换要迅速 第一问比较简单 不说了 第二问先求出 A B 具体点以后本题 就变化成了一道三角形内线段角的计算问题 利用勾股定理发现 OB OA 从而 BAO ABO 然后求出 BAO 即可 解 1 点 1 An 在双曲线 3 y x 上 3n 又 1 3 A 在直线 3 3 yxm 上 2 3 3 m 2 过点 A 作 AM x 轴于点 M M 2 1 2 1 3 21 2 1 y x B A O 直线 32 3 33 yx 与x轴交于点B 32 3 0 33 x 解得 2x 点B的坐标为 2 0 2OB 点A的坐标为 1 3 3 1AMOM 在 Rt AOM中 90AMO tan 3 AM AOM OM 60AOM 由勾股定理 得 2OA OAOB OBABAO 1 30 2 BAOAOM 总结 中考中有关一次函数与反比例函数的问题一般都是成对出现的 无非也就一 下这么几个考点 1 给交点求解析式 2 y 的比较 3 夹杂进其他几何问题 除了注意 计算方面的问题以外 还需要考生对数形结合 分类讨论的思想掌握熟练 例如 y 的比较 这种问题 纯用代数方式通常需要去解一个一元二次不等式 但是如果用图像去做就会比 较简单了 总体来说这类问题不难 做好细节就可以取得全分 第二部分第二部分 发散思考发散思考 思考 1 2009 北京 如图 A B 两点在函数 0 m yx x 的图象上 1 求m的值及直线 AB 的解析式 2 如果一个点的横 纵坐标均为整数 那么我们称这个点 是格点 请直接写出图中阴影部分 不包括边界 所含格点的个数 思路分析 由于已经给出了点 第一问没有难度 第二问在于要分析有哪些格点在 双曲线的边界上 哪些格点在其中 保险起见直接用 1 6 的整数挨个去试 由于数量较少 所以可以很明显看出 思考 2 2009 宣武 一模 如图 一次函数 ykxb 的图象与反比例函数 m y x 的图象交 3 1 2 ABn 于两点 直线AB分别交x轴 y 轴于D C 两点 1 求上述反比例函数和一次函数的解析式 2 求 AD CD 的值 x y A B O D C 思路分析 第一问一样是用代点以及列二元一次方程组去求解析式 第二问看到比 例关系 考生需要第一时间想到是否可以用相似三角形去分析 但是图中并未直接给出可 能的三角形 所以需要从 A 引一条垂线来构成一对相似三角形 从而求解 思考 3 2009 崇文 一模 已知 关于 x 的一元二次方程 kx2 2k 3 x k 3 0 有两个不相等实数根 k 0 I 用含 k 的式子表示方程的两实数根 II 设方程的两实数根分别是 1 x 2 x 其中 21 xx 若一次函数 y 3k 1 x b 与反比例函数 y x b 的图像都经过点 x1 kx2 求一次函数与反比例函数的解析式 思路分析 本题是一道多种函数交叉的典型例题 一方面要解方程 另一方面还要 求函数解析式 第一问求根 直接求根公式去做 第二问通过代点可以建立一个比较繁琐 的二元一次方程组 认真计算就可以 思考 4 2009 东城 一模 如图 反比例函数 8 y x 的图象过矩形 OABC 的顶点 B OA 0C 分别在 x 轴 y 轴 的正半轴上 OA 0C 2 1 1 设矩形 OABC 的对角线交于点 E 求出 E 点的坐标 2 若直线 2yxm 平分矩形 OABC 面积 求m的值 思路分析 本题看似麻烦 夹杂了一次函数与反比例函数以及图形问题 但是实际 上画出图 通过比例可以很轻易发现 B 点的横纵坐标关系 巧妙设点就可以轻松求解 第 二问更不是难题 平分面积意味着一定过 B 点 代入即可 第三部分第三部分 思考题解析思考题解析 思考 1 解析 1 由图象可知 函数 m y x 0 x 的图象经过点 16 A 可得 6m 设直线AB的解析式为 ykxb 16 A 61 B 两点在函数 ykxb 的图象上 6 61 kb kb 解得 1 7 k b 直线AB的解析式为 7yx 2 图中阴影部分 不包括边界 所含格点的个数是 3 思考 2 解析 1 把 3x 1y 代入 m y x 得 3m 反比例函数的解析式为 3 y x 把 2x yn 代入 3 y x 得 3 2 n 把 3x 1y 2x 3 2 y 分别代入 ykxb 得 31 3 2 2 kb kb 第 16 题答图 解得 1 2 1 2 k b 一次函数的解析式为 11 22 yx 2 过点A作AE x 轴于点E A点的纵坐标为 1 1AE 由一次函数的解析式为 11 22 yx 得C点的坐标为 1 0 2 1 2 OC 在Rt OCD 和Rt EAD 中 RtCODAED CDOADE RtRtOCDEAD y x 6 B A O 1 1 6 x y A B O E D C 2 ADAE CDCO 思考 3 解析 解 I kx2 2k 3 x k 3 0 是关于 x 的一元二次方程 9 3 4 32 2 kkk 由求根公式 得 k k x 2 3 23 1