第2章《圆锥曲线与方程-2 (3)

第第2章章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 2 5 导学案导学案 教学过程教学过程 一 问题情境 我们知道 平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l F不在l上 的距离的比等于1的 动点P的轨迹是抛物线 当这个比值是一个不等于1的常数时 动点P的轨迹又是什么曲线呢 二 数学建构 问题1 试探讨这个常数分别是 和2时 动点P的轨迹 方案1 利用尺规作出几个特殊的点 从而猜想轨迹 方案2 利用几何画板制作课件演示 可以得到 当常数是 时 动点P的轨迹是椭圆 当常数是2时 动点P的轨迹是双曲线 1 问题2 由上面问题的解决 同学可以猜想得出什么样的结论 解 平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l F不在l上 的距离的比等于e的动点P的 轨迹是圆锥曲线 当0 e1时 它表示双曲线 当e 1时 它表示抛物线 问题3 以上的结论是否正确呢 如何证明 解 当e 1时 结论在抛物线标准方程的推导中已经得到证明 那么其他两种情况如 何通过方程来证明呢 思考片刻继续引导 关键在于如何建立坐标系才能使得轨迹的方程 为标准方程 思考片刻继续引导 请同学们阅读教材第55页的思考后回答下面问题 问题4 当0 e0 所以 可令b2 a2 c2 这样方程 可化为 1 a b 0 这就证明了 当0 ec 0 时 这个点的轨迹是椭圆 方程为 1 a b 0 b2 a2 c2 这个常数就是椭圆的离心 率 类似地 我们可以得到 当点P到定点F c 0 的距离和它到定直线l x 的距离的比是常 数 c a 0 时 这个点的轨迹是双曲线 方程为 1 a 0 b 0 其中b2 c2 a2 这个常 数就是双曲线的离心率 这样 圆锥曲线可以统一定义为平面内到一个定点F和到一条定直线l F不在l上 的距离 的比等于常数e的点的轨迹 当0 e1时 它表示双曲线 当e 1时 它表示抛物线 其中e是圆锥曲线的离心率 定点F是圆锥曲线的焦点 定直线l是圆锥曲线的准线 由前面的研究可知 点F c 0 直线l x 分别为椭圆 1 a b 0 的焦点 准线 点F c 0 直线l x 分别为双曲线 1 a 0 b 0 的焦点 准线 根据图形的对称性可知 椭圆和双曲线都有两条准线 中心在坐标原点 焦点在x轴上 的椭圆 1 a b 0 或双曲线 1 a 0 b 0 与焦点F1 c 0 F2 c 0 对应的准线 方程分别为x x 三 数学运用 例1 求下列曲线的焦点坐标 准线方程 1 25x2 16y2 400 2 x2 8y2 32 3 y2 16x 2 见学生用书P37 处理建议 引导学生将曲线方程转化为标准形式 再让学生根据定义求解 规范板书 解 1 由25x2 16y2 400 得 1 因此此椭圆的焦点在y轴上 且a 5 b 4 所以c 3 故曲线25x2 16y2 400的焦点坐标为 0 3 准线方程为y 2 由x2 8y2 32 得 1 因此此双曲线的焦点在x轴上 且a 4 b 2 所以c 6 故曲线x2 8y2 32的焦点坐标为 6 0 准线方程为x 3 由y2 16x 得p 8 故曲线y2 16x的焦点坐标为 4 0 准线方程为x 4 题后反思 要求圆锥曲线的准线方程 焦点坐标 必须先将曲线方程化为标准形式 变式 已知椭圆 1的一条准线方程为y 求实数m的值 规范板书 解 由题意可知 a2 m m 9 b2 9 所以c 由一条准线方程为y 可知 解得m 25或m 例2 已知椭圆 1上一点P到右准线的距离是2b 求点P到椭圆左焦点的距 离 3 见学生用书P38 处理建议 引导学生根据圆锥曲线的统一定义 将点到准线的距离转化为其到相应 焦点的距离 规范板书 解法一 由题意知 该椭圆的左 右焦点分别是 b 0 b 0 离 心率为 设该椭圆的左 右焦点分别为F1 F2 则由圆锥曲线的统一定义可知 所以PF2 3b 由椭圆的定义可知 PF1 4b 3b b 即该点到椭圆左焦点的距离为b 解法二 由题意知 该椭圆的左 右焦点分别是 b 0 b 0 离心率为 设 该椭圆的左 右焦点分别为F1 F2 因为椭圆两准线间的距离为b 所以P到左准线的距离 为b 则由圆锥曲线的统一定义可知 所以PF1 b 即该点到椭圆左焦点的距离 为b 题后反思 椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线 在解题过程中要注意对应 即左焦点对应左准线 右焦点对应右准线 或上焦点对应上准线 下焦点对应下准线 例3 已知椭圆C 1 a b 0 的离心率为 过右焦点F且斜率为k k 0 的直 线与C相交于A B两点 若 3 求斜率k的值 规范板书 解 设直线l为椭圆的右准线 e为离心率 如图 分别过A B作AA1 BB1 垂直于l A1 B1为垂足 过B作BE AA1于E 由圆锥曲线的共同性质得AA1 BB1 由 3 得AA1 所以cos BAE 所以sin BAA1 所以tan BAA1 即k 例3 例4 若椭圆 1内有一点P 1 1 F为其右焦点 椭圆上有一点M使MP 2 MF最小 则点M的坐标为 提示 因为椭圆的离心率为 则2MF就等于点M到右准线的距离d 所以MP 2MF M P d 由点到直线的最短距离是垂线段得可以得到M 题后反思 先用圆锥曲线的统一定义将MP 2MF的最小值转化为MP d d为点M到右 准线的距离 的最小值 再根据 点到直线的距离中垂线段最短 将问题解决 这是处理圆锥曲 线中与曲线上的动点到焦点 或准线 的距离有关的最值问题的常用方法 四 课堂练习 1 若抛物线的顶点在原点 准线与椭圆 1的准线重合 则此抛物线的方程为y2 16x 提示 由题意知椭圆的准线方程为x 4 所以 4 即p 8 2 已知椭圆 1上一点P到左焦点的距离为12 则点P到右准线的距离为 10 提示 由题意知点P到左准线的距离为 15 两准线间的距离为2 25 故点P到右 准线的距离为10 3 已知F1 F2分别为双曲线C 1 a b 0 的左 右焦点 曲线C的两条准线分别与x 轴交于点A B 若A B为线段F1F2的三等分点 则此双曲线C的离心率为 提示 由题意得 3 即e2 3 4 已知P为椭圆C 1上一点 且P到曲线C的右焦点F的距离为3 求点P的坐标 解法一 椭圆C 1的右焦点为F 2 0 设P x y 则由题意可知 解得即点P的坐标为 2 3 解法二 椭圆C 1的右准线的方程为x 8 离心率e 因为P到曲线C的右焦