第24章圆全章教案

第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 1 教学教学时间时间课题课题24 1 1 圆课课型型新授课 知知 识识 和和 能能 力力 探索圆的两种定义 理解并掌握弧 弦 优弧 劣弧 半圆等基本概念 能够从图形 中识别 过过 程程 和和 方方 法法 体会圆的不同定义方法 感受圆和实际生活的联系 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力 教教 学学 目目 标标 情情 感感 态态 度度 价价值观值观 在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性 教学重点教学重点 圆的两种定义的探索 能够解释一些生活问题 教学教学难难点点圆的运动式定义方法 教学准教学准备备教教师师多媒体课件学生学生 五个一 课课 堂堂 教教 学学 程程 序序 设设 计计设计设计意意图图 一 创设问题情境 激发学生兴趣 引出本节内容 活动活动 1 如图 1 观察下列图形 从中找出共同特点 图 1 学生活动设计 学生观察图形 发现图中都有圆 然后回答问题 此时学生可以再举出一些生活中 类似的图形 教师活动设计 让学生观察图形 感受圆和实际生活的密切联系 同时激发学生的学习渴望以及探 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 2 究热情 二 问题引申 探究圆的定义 培养学生的探究精神 活动活动 2 如图 2 观察下列画圆的过程 你能由此说出圆的形成过程吗 课件 画圆 图 2 学生活动设计 学生小组合作 分组讨论 通过动画演示 发现在一个平面内一条线段 OA 绕它的 一个端点 O 旋转一周 另一个端点形成的图形就是圆 教师活动设计 在学生归纳的基础上 引导学生对圆的一些基本概念作一界定 圆 在一个平面内 一条线段 OA 绕它的一个端点 O 旋转一周 另一个端点 A 所形 成的图形叫作圆 圆心 固定的端点叫作圆心 半径 线段 OA 的长度叫作这个圆的半径 圆的表示方法 以点 O 为圆心的圆 记作 O 读作 圆 O 同时从圆的定义中归纳 1 圆上各点到定点 圆心 的距离都等于定长 半径 圆上各点到定点 圆心 的距离都等于定长 半径 2 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 于是得到圆的第二定义 所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆 所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆 活动活动 3 讨论圆中相关元素的定义 如图 3 你能说出弦 直径 弧 半圆的定义吗 图 3 学生活动设计 学生小组讨论 讨论结束后派一名代表发言进行交流 在交流中逐步完善自己的结 果 教师活动设计 在学生交流的基础上得出上述概念的严格定义 对于学生的不准确的叙述 可以让 学生讨论解决 弦 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦 直径 直径 经过圆心的弦叫作直径 弧 弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧 简称弧 弧的表示方法 弧的表示方法 以 A B 为端点的弧记作 A AB 读作 圆弧 AB 或 弧 AB 半圆 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧 每一条弧都叫作半圆 优弧 优弧 大于半圆的弧叫作优弧 用三个字母表示 如图 3 中的 A ABC 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 3 劣弧劣弧 小于半圆的弧叫作劣弧 如图 3 中的 A BC 活动活动 4 讨论 车轮为什么做成圆形 如果做成正方形会有什么结果 课件 车轮 课件 方形车轮 学生活动设计 学生首先根据对圆的概念的理解独立思考 然后进行分组讨论 最后进行交流 教师活动设计 引导学生进行如下分析 如图 4 把车轮做成圆形 车轮上各点到车轮中心 圆心 的距离都等于车轮的半径 当车轮在平面上滚动时 车轮中心与平面的距离保持不 变 因此当车辆在平坦的路上行驶时 坐车的人会感觉到非常平稳 如果做成其他 图形 比如正方形 正方形的中心 对角线的交点 距离地面的距离随着正方形的 滚动而改变 因此中心到地面的距离就不是保持不变 因此不稳定 图 4 三 应用提高 培养学生的应用意识和创新能力 活动活动 5 如何在操场上画一个半径是 5 m 的圆 说出你的理由 师生活动设计 教师鼓励学生独立思考 让学生表述自己的方法 根据圆的定义可以知道 圆是一 条线段绕一个端点旋转一周 另一个端点形成的图形 所以可以用一条长 5m 的绳 子 将绳子的一端 A 固定 然后拉紧绳子的另一端 B 并绕 A 在地上转一圈 B 所 经过的路径就是所要的圆 活动活动 6 从树木的年轮 可以很清楚地看出树生长的年龄 如果 一棵 20 年树龄的红杉树的树干直径是 23 cm 这棵红杉树平均 每年半径增加多少 图 5 师生活动设计 首先求出半径 然后除以 20 即可 解答 树干的半径是 23 2 11 5 cm 平均每年半径增加 11 5 20 0 575 cm 小结 圆的两种定义以及相关概念 必做必做 请做一个正方形的车轮 体会在车轮滚动的过程中车身的情 况 作作业业 设计设计选选做做 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 4 教教 学学 反反 思思 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 5 教学教学时间时间课题课题24 1 2 垂直于弦的直径课课型型新授课 知知 识识 和和 能能 力力 探索圆的对称性 进而得到垂直于弦的直径所具有的性质 能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题 过过 程程 和和 方方 法法 在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力 使学生感受圆的对称性 体会圆的一 些性质 经历探索圆的对称性及相关性质的过程 进一步体会和理解研究几何图形的各种方法 培养学生独立探索 相互合作交流的精 神 教教 学学 目目 标标 情情 感感 态态 度度 价价值观值观 使学生领会数学的严谨性和探索精神 培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主 动精神 教学重点教学重点 垂直于弦的直径所具有的性质以及证明 教学教学难难点点利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题 教学准教学准备备教教师师多媒体课件学生学生 五个一 课课 堂堂 教教 学学 程程 序序 设设 计计设计设计意意图图 一 创设问题情境 激发学生兴趣 引出本节内容 活动活动 1 用纸剪一个圆 沿着圆的任意一条直径对折 重复做几次 你发现了 什么 由此你能得到什么结论 课件 探究圆的性质 学生活动设计 学生动手操作 观察操作结果 可以发现沿着圆的任意一条直径对折 直径两 旁的部分能够完全重合 由此可以发现 圆是轴对称图形 任何一条直径所在圆是轴对称图形 任何一条直径所在 直线都是它的对称轴直线都是它的对称轴 教师活动设计 在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性 二 问题引申 探究垂直于弦的直径的性质 培养学生的探究精神 活动活动 2 按下面的步骤做一做 第一步 在一张纸上任意画一个 O 沿圆周将圆剪下 把这个圆对折 使圆 的两半部分重合 第二步 得到一条折痕 CD 第三步 在 O 上任取一点 A 过点 A 作 CD 折痕的垂线 得到新的折痕 其 中点 M 是两条折痕的交点 即垂足 第四步 将纸打开 新的折痕与圆交于另一点 B 如图 1 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 6 图 1 图 2 在上述的操作过程中 你发现了哪些相等的线段和相等的弧 为什么 课件 课件 探究垂径定理探究垂径定理 学生活动设计 如图 2 所示 连接 OA OB 得到等腰 OAB 即 OA OB 因 CD AB 故 OAM 与 OBM 都是直角三角形 又 OM 为公共 边 所以两个直角三角形全等 则 AM BM 又 O 关于直径 CD 对称 所以 A 点和 B 点关于 CD 对称 当圆沿着直径 CD 对折时 点 A 与点 B 重合 A AC与ABC重合 因此 AM BM A AC ABC 同理得到A A ADBD 教师活动设计 在学生操作 分析 归纳的基础上 引导学生归纳垂直于弦的直径的性质 1 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 2 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 活动活动 3 如图 3 A AB所在圆的圆心是点 O 过 O 作 OC AB 于点 D 若 CD 4 m 弦 AB 16 m 求此圆的半径 图 3 学生活动设计 学生观察图形 利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件 发现若 OC AB 则有 AD BD 且 ADO 是直角三角形 在直角三角形中可以利用勾股定理构 造方程 教师活动设计 在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳 弦长 半径 拱形高 弦心距 圆心到弦的距离 四个量中 只需要知道两个量 其余两个量就可以求出 来 解答 设圆的半径为 R 由条件得到 OD R 4 AD 8 在 Rt ADO 中 222 AOODAD 即 222 4 8RR 解得 R 10 m 答 此圆的半径是 10 m 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 7 活动活动 4 如图 4 已知 A AB 请你利用尺规作图的方法作出AAB的中点 说出 你的作法 B A 图 4 师生活动设计 根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点 但是利用垂径定理只需要 作出弧所对的弦的垂直平分线 垂直平分线与弧的交点就是弧的中点 解答 1 连接 AB 2 作 AB 的中垂线 交 A AB于点 C 点 C 就是所求的点 三 拓展创新 培养学生思维的灵活性以及创新意识 三 拓展创新 培养学生思维的灵活性以及创新意识 活动 5 解决下列问题 1 如图 5 某条河上有一座圆弧形拱桥 ACB 桥下面水面宽度 AB 为 7 2 米 桥的最高处点 C 离水面的高度 2 4 米 现在有一艘宽 3 米 船舱顶部为方形 并高出水面 2 米的货船要经过这里 问 这艘船是否能够通过这座拱桥 说明 理由 A B C M E O A B G H F D C 图 5 图 6 学生活动 学生根据实际问题 首先分析题意 然后采取一定的策略来说明能 否通过这座拱桥 这时要采取一定的比较量 才能说明能否通过 比如 计算 一下在上述条件下 在宽度为 3 米的情况下的高度与 2 米作比较 若大于 2 米 说明不能经过 否则就可以经过这座拱桥 解答 如图 6 连接 AO GO CO 由于弧的最高点 C 是弧 AB 的中点 所 以得到 OC AB OC GF 根据勾股定理容易计算 OE 1 5 米 OM 3 6 米 所以 ME 2 1 米 因此可以通过这座拱桥 2 银川市某居民区一处圆形下水管道破裂 修理人员准备更换一段新管 道 如图 7 所示 污水水面宽度为 60 cm 水面至管道顶部距离为 10 cm 问 修理人员应准备内径多大的管道 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 8 图 7 图 8 师生活动设计 师生活动设计 让学生在探究过程中 进一步把实际问题转化为数学问题 掌 握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图 进而发展学生的思维 解答 如图 8 所示 连接 OA 过 O 作 OE AB 垂足为 E 交圆于 F 则 AE 2 1 AB 30 cm 令 O 的半径为 R 则 OA R OE OF EF R 10 在 Rt AEO 中 OA2 AE2 OE2 即 R2 302 R 10 2 解得 R 50 cm 修理人员应准备内径为 100 cm 的管道 小结 垂直于弦的直径的性质 圆对称性 必做必做 习题 24 1 第 1 题 第 8 题 第 9 题 作作业业 设计设计选选做做 教教 学学 反反 思思 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 9 教学教学时间时间课题课题24 1 3 弧 弦 圆心角弧 弦 圆心角课课型型新授课 知知 识识 和和 能能 力力 通过探索理解并掌握 1 圆的旋转不变性 2 圆心角 弧 弦之间相等关系定理 过过 程程 和和 方方 法法 1 通过观察 比较 操作 推理 归纳等活动 发展空间观念 推理能力以及概括 问题的能力 2 利用圆的旋转不变性 研究圆心角 弧 弦之间相等关系定理 学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中 学会运用分类讨论的数学思想 转化的 数学思想解决问题 教教 学学 目目 标标 情情 感感 态态 度度 价价值观值观 培养学生积极探索数学问题的态度及方法 教学重点教学重点 探索圆心角 弧 弦之间关系定理并利用其解决相关问题 教学教学难难点点圆心角 弧 弦之间关系定理中的 在同圆或等圆 条件的理解及定理的证明 教学准教学准备备教教师师多媒体课件学生学生 五个一 课课 堂堂 教教 学学 程程 序序 设设 计计设计设计意意图图 一 一 创设问题情境 激发学生兴趣 引出本节内容 活动活动 1 1 1 1 按下面的步骤做一做 1 在两张透明纸上 作两个半径相等的 O 和 O 沿圆周分别将两圆剪下 2 在 O 和 O 上分别作相等的圆心角 AOB 和 A O B 如图 1 所示 圆心 固定 注意 在画 AOB 与 A O B 时 要使 OB 相对于 OA 的方向与 O B 相对于 O A 的 方向一致 否则当 OA 与 OA 重合时 OB 与 O B 不能重合 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 10 图 1 3 将其中的一个圆旋转一个角度 使得 OA 与 O A 重合 通过上面的做一做 你能发现哪些等量关系 同学们互相交流一下 说一说你 的理由 课件 探究三量关系课件 探究三量关系 师生活动设计 教师叙述步骤 同学们一起动手操作 由已知条件可知 AOB A O B 由 两圆的半径相等 可以得到 OAB OBA O A B O B A 由 AOB A O B 可得到 AB A B 由旋转法可知 AA ABA B 在学生分析完毕后 教师指出在上述做一做的过程中发现 固定圆心 将其中 一个圆旋转一个角度 使半径 OA 与 O A 重合时 由于 AOB A O B 这样便 得到半径 OB 与 O B 重合 因为点 A 和点 A 重合 点 B 和点 B 重合 所以和 A AB 重合 弦 AB 与弦 A B 重合 即 AB A B A A B AA ABA B 进一步引导学生语言归纳圆心角 弧 弦之间相等关系定理 在同圆和等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦也相等 在同圆和等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦也相等 2 2 根据对上述定理的理解 你能证明下列命题是正确的吗 1 在同圆或等圆中 如果两条弧相等 那么它们所对的圆心角相等 所对 的弦相等 2 在同圆或等圆中 如果两条弦相等 那么它们所对的圆心角相等 所对 的优 劣 弧相等 师生活动设计 本问题由学生在思考的基础上讨论解决 可以证明上述命题是真命题 二 主体活动 巩固新知 进一步理解三量关系定理 活动活动 2 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 11 1 如图 2 在 O 中 ACB 60 求证 AA ABAC AOB AOC BOC O A B C 图 2 学生活动设计 学生独立思考 根据对三量定理的理解加以分析 由 得到 AA ABAC ABC 是等腰三角形 由 ACB 60 得到 ABC 是等边三角形 ABAC AB AC BC 所以得到 AOB AOC BOC 教师活动设计 这个问题是对三量关系定理的简单应用 因此应当让学生独立解决 在必要时 教师可以进行适当的启发和提醒 最后学生交流自己的做法 证明 AA ABAC AB AC ABC 是等腰三角形 又 ACB 60 ABC 是等边三角形 AB BC CA AOB AOC BOC 2 如图 3 AB 是 O 的直径 BC CD DA 是 O 的弦 且 BC CD DA 求 BOD 的度数 图 3 学生活动设计 学生分析 由 BC CD DA 可以得到这三条弦所对的圆心角相等 所以考虑 连接 OC 得到 AOD DOC BOC 而 AB 是直径 于是得到 BOD 180 120 2 3 教师活动设计 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 12 此问题的解决方式和活动 3 类似 不过要注意学生对辅助线 OC 的理解 添加 辅助线 OC 的原因 三 拓展创新 应用提高 培养学生的应用意识和创新能力 活动活动 3 定理 在同圆和等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦也相 等 中 可否把条件 在同圆或等圆中 去掉 为什么 师生活动设计 小组讨论 可以在教师的引导下 举出反例说明条件 在同圆或等圆中 不能 去掉 比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的 这个条件的图 如图 4 所示 虽然 AOB A O B 但 AB A B 弧 AB 弧 A B 图 4 教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题 1 在同圆或等圆中 如果两 条弧相等 那么它们所对的圆心角相等 所对的弦相等 2 在同圆或等圆 中 如果两条弦相等 那么它们所对的圆心角相等 所对的优 劣 弧相等中 的条件 在同圆和等圆中 是否能够去掉 小结 弦 圆心角 弧三量关系 必做必做 习题 24 1 第 2 3 题 第 10 题 作作业业 设计设计选选做做P88 11 12 教教 学学 反反 思思 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 13 教学教学时间时间课题课题24 1 4 圆周角圆周角课课型型新授课 知知 识识 和和 能能 力力 1 了解圆周角与圆心角的关系 2 探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征 3 能运用圆周角的性质解决问题 过过 程程 和和 方方 法法 1 通过观察 比较 分析圆周角与圆心角的关系 发展学生合情推理能力和演绎推理 能力 2 通过观察图形 提高学生的识图能力 3 通过引导学生添加合理的辅助线 培养学生的创造力 4 学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中 学会运用分类讨论的数学思想 转化 的数学思想解决问题 教教 学学 目目 标标 情情 感感 态态 度度 价价值观值观 引导学生对图形的观察发现 激发学生的好奇心和求知欲 并在运用数学知识解答问 题的活动中获取成功的体验 建立学习的自信心 教学重点教学重点 探索圆周角与圆心角的关系 发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征 教学教学难难点点发现并论证圆周角定理 教学准教学准备备教教师师多媒体课件学生学生 五个一 问题与情境师生行为设计意图 活动 1 演示课件或图片 教师演示课件或图片 展示 一个圆柱形的海洋馆 教师解释 在这个海洋馆里 人们可以通过其中的圆弧形玻璃 窗观看窗内的海洋动物 A AB 教师出示海洋馆的横截面示 意图 提出问题 教师结合示意图 给出圆周 角的定义 利用几何画板演示 让学生辨析圆周角 并引导学生 将问题 1 问题 2 中的实际问题 从生活中的实际问题入手 使学生认识到数学总是与现实问 题密不可分 人们的需要产生了 数学 将实际问题数学化 让学生 从一些简单的实例中 不断体会 从现实世界中寻找数学模型 建 立数学关系的方法 引导学生对图形的观察 发 现 激发学生的好奇心和求知欲 并在运用数学知识解答问题的活 动中获取成功的体验 建立学习 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 14 问题 1 如图 同学甲站在圆心 O 的 位置 同学乙站在正对着玻璃窗 的靠墙的位置 C 他们的视角 和 有什么关系 AOB ACB 问题 2 如果同学丙 丁分别站在其 他靠墙的位置 D 和 E 他们的视 角 和 和同学ADB AEB 乙的视角相同吗 转化成数学问题 即研究同弧 所对的圆心角 A ABAOB 与圆周角 同弧所对ACB 的圆周角 ACB ADB 等 之间的大小关系 教AEB 师引导学生进行探究 教师关注 1 问题的提出是否引起了 学生的兴趣 2 学生是否理解了示意图 3 学生是否理解了圆周角 的定义 4 学生是否清楚了要研究 的数学问题 的自信心 活动 2 问题 1 同弧 弧 AB 所对的圆心 角 AOB 与圆周角 ACB 的大 小关系是怎样的 问题 2 同弧 弧 AB 所对的圆周 角 ACB 与圆周角 ADB 的大 小关系是怎样的 教师提出问题 引导学生 利用度量工具 量角器或几何画 板 动手实验 进行度量 发现 结论 在活动中 教师应关注 1 学生是否积极参与活动 2 学生是否度量准确 观 察 发现的结论是否正确 活动 2 的设计是为 引导学生 发现 让学生亲自动手 利用度 量工具 如半圆仪 几何画板 进行实验 探究 得出结论 激 发学生的求知欲望 调动学生学 习的积极性 教师利用几何画板 从动态的角度进行演示 目的是 用运动变化的观点来研究问题 从运动变化的过程中寻找不变的 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 15 O B A C B O A C D E 由学生总结发现的规律 同 弧所对的圆周角的度数没有变化 并且它的度数恰好等于这条弧所 对的圆心角的度数的一半 教师利用几何画板课件 圆 周角定理 从动态的角度进行 演示 验证学生的发现 教师可 从以下几个方面演示 让学生观 察圆周角的度数是否发生改变 同弧所对的圆周角与圆心角的关 系有无变化 1 拖动圆周角的顶点使其 在圆周上运动 2 改变圆心角的度数 3 改变圆的半径大小 关系 活动 3 问题 1 在圆上任取一个圆周角 观 察圆心与圆周角的位置关系有几 种情况 课件 折痕与圆周角课件 折痕与圆周角 的关系的关系 问题 2 当圆心在圆周角的一边上时 教师引导学生 采取小组合 作的学习方式 前后四人一组 分组讨论 教师关注 1 学生是否会与人合作 并能与他人交流思维的过程和结 果 2 学生能否发现圆心与圆 周角的三种位置关系 教师巡视 请学生回答问 题 回答不全面时 请其他同学 数学教学是在教师的引导下 进行的再创造 再发现的教 学 通过数学活动 教给学生一 种科学研究的方法 学会发现问 题 提出问题 分析问题 并能 解决问题 活动 3 的安排是让学 生对所发现的结论进行证明 培 养学生严谨的治学态度 问题 1 的设计是让学生通过 合作探索 学会运用分类讨论的 数学思想研究问题 培养学生思 维的深刻性 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 16 如何证明活动 2 中所发现的结论 问题 3 另外两种情况如何证明 可 否转化成第一种情况呢 给予补充 教师演示圆心与圆周角的三种位 置关系 教师引导学生从特殊情况入 手证明所发现的结论 学生写出已知 求证 完成 证明 教师关注 1 学生能否用准确的数学 符号语言表述已知和求证 并准 确地画出图形来 2 学生能否证明出结论 学生采取小组合作的学习方 式进行探索发现 教师观察指导 小组活动 启发并引导学生 通 过添加辅助线 将问题进行转 化 教师关注 1 学生是否会想到添加辅 助线 将另外两种情况进行转化 2 学生添加辅助线的合理 性 3 学生是否会利用问题 2 的结论进行证明 教师讲评学生的证明 板书 圆周角定理 问题 2 3 的提出是让学生学 会一种分析问题 解决问题的方 式方法 从特殊到一般 学会运 用化归思想将问题转化 并启发 培养学生创造性的解决问题 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 17 活动 4 问题 1 半圆 或直径 所对的圆周 角是多少度 课件 圆周角定 理推论 A O B C1 C2 C3 问题 2 90 的圆周角所对的弦是什 么 问题 3 在半径不等的圆中 相等的 两个圆周角所对的弧相等吗 ABC 30 A B C 30 学生独立思考 回答问题 教师讲评 问题 1 提出后 教师关注 学生是否能由半圆 或直径 所对的圆心角的度数得出圆周角 的度数 问题 2 提出后 教师关注 学生是否能由 90 的圆周角 推出同弧所对的圆心角度数是 180 从而得出所对的弦是直 径 问题 3 提出后 教师关注 学生能否得出正确的结论 并能说明理由 教师提醒学生 在使用圆周角定 理时一定要注意定理的条件 问题 4 提出后 教师关注 活动 4 的设计是圆周角定理 的应用 通过 4 个问题层层深入 考察学生对定理的理解和应用 问题 1 2 是定理的推论 也 是定理在特殊条件下得出的结 论 问题 3 的设计目的是通过举 反例 让学生明确定理使用的条 件 问题 4 是定理的引申 将本 节课的内容与所学过的知识紧密 结合起来 使学生很好地进行知 识的迁移 问题 5 6 是定理的应 用 即时反馈有助于记忆 让学 生在练习中加深对本节知识的理 解 教师通过学生练习 及时发 现问题 评价教学效果 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 18 C A B B A C 问题 4 在同圆或等圆中 如果两个 圆周角相等 它们所对的弧一定 相等吗 为什么 问题 5 如图 点 ABC 在同一个圆上 四边形D 的对角线把 4 个内角分ABCD 成 8 个角 这些角中哪些是相等 的角 问题 6 如图 O 的直径 AB 为 10 cm 弦 AC 为 6 cm ACB 的平分线交 O 于 D 求 BC AD BD 的长 学生能否利用定理得出与圆 周角对同弧的圆心角相等 再由 圆心角相等得到它们所对的弧相 等 问题 5 提出后 教师关注 学生是否准确找出同弧所对 的圆周角 问题 6 提出后 教师关注 1 学生是否能由已知条件 得出直角三角形 ABC ABD 2 学生能否将要求的线段 放到三角形里求解 3 学生能否利用问题 4 的 结论得出弧 AD 与弧 BD 相等 进而 推出 AD BD D B O A C 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 19 活动 5 问题 通过本节课的学习你有哪些 收获 教师带领学生从知识 方法 数学思想等方面小结本节课所学 内容 教师关注不同层次的学生对 所学内容的理解和掌握 教师布置作业 通过小结 使学生归纳 梳 理总结本节的知识 技能 方法 将本课所学的知识与以前所学的 知识进行紧密联系 有利于培养 学生数学思想 数学方法 数学 能力和对数学的积极情感 增加阅读作业的目的是让学 生养成看书的习惯 并通过看书 加深对所学内容的理解 课后巩固作业是对课堂所学 知识的检验 让学生巩固 提高 发展 必做必做 教科书 P87 4 5 6作作业业 设计设计选选做做教科书 P89 13 14 15 教教 学学 反反 思思 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 20 教学教学时间时间课题课题24 2 2 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系课课型型新授课 知知 识识 和和 能能 力力 1 探索并了解直线和圆的位置关系 2 根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系 3 能够利用公共点个数和数量关系来判断直线和圆的位置关系 过过 程程 和和 方方 法法 1 学生经历操作 观察 发现 总结出直线和圆的位置关系的过程 培养学生观察 比较 概括的逻辑思维能力 2 学生经历探索直线和圆的位置关系中圆心到直线的距离与圆的半径的数量关系的过 程 培养学生运用数学语言表述问题的能力 3 从运动的观点和量变到质变的观点来理解直线和圆的三种位置关系 培养学生运动 变化的辩证唯物主义观点 教教 学学 目目 标标 情情 感感 态态 度度 价价值观值观 学生经过观察 实验 发现 确认等数学活动 在探索直线和圆位置关系的过程中 体会运动变化的观点 量变到质变的辩证唯物主义观点 感受数学中的美感 教学重点教学重点 探索并了解直线和圆的位置关系 教学教学难难点点掌握识别直线和圆的位置关系的方法 教学准教学准备备教教师师多媒体课件学生学生 五个一 问题与情境师生行为设计意图 活动活动 1 1 1 大漠孤烟直 长河落 日圆 是唐朝诗人王维的诗句 它描述了黄昏日落时分塞外特有 的景象 如果我们把太阳看成一 个圆 地平线看成一条直线 那 你能根据直线和圆的公共点个数 想象一下 直线和圆有几种位置 关系吗 2 观察用钢锯切割钢管的 过程 抽象成几何图形间的位置 关系 学生观察一轮红日从海 平面升起的过程和用钢锯切 割钢管的过程 教师提出问 题 让学生结合学过的知识 把它们抽象成几何图形 再 表示出来 在本次活动中 教师应重点关 注 1 学生能否准确地观察出圆相 对于直线运动的过程中 有几种位 活动 1 的设计中让学生 用运动的观点观察直线和圆 的位置关系 有利于学生把 实际的问题抽象成数学模型 也便于学生观察直线和圆公 共点个数的变化 同时让学 生感受到实际生活中存在的 直线和圆的三种位置关系 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 21 置关系 2 学生能否根据直线和圆的公 共点个数 画出三种不同的位置关 系 活动活动 2 请同学在纸上画一条直线 把硬币的边缘看作圆 在纸上移 动硬币 你能发现直线和圆的公 共点个数的变化情况吗 公共点 个数最少时有几个 最多时有几 个 学生动手操作 观察 发现 归纳出直线和圆的公共点个数的变 化情况 教师演示直线和圆动态的变化 过程 帮助学生用语言描述直线和 圆的三种位置关系 明确概念 本次活动 教师应重点关注学 生能否根据操作 观察直线和圆的 位置关系 作出相应的图形来 通过设置数学实验让学 生进行独立的探究学习 促 使学生主动参与数学知识的 再发现 培养学生动手 实践能力 观察 分析 比 较 抽象 概括的思维能 力 活动活动 3 问题 1 能否根据基本概念来判 断直线与圆的位置关系 2 是否还有其他的方法来 判断直线与圆的位置关系 教师提出问题 学生思考作答 学生掌握识别直线与圆的位置 关系的方法 即直线和圆公共点的 个数 圆心到直线的距离和圆半径 的数量关系 都可以用来揭示直线 和圆的位置关系 教师与学生共同总结直线和圆 相离 相交 相切的关系中 公共 点的个数 公共点的名称 直线名 称 圆心到直线距离与半径间的数 量关系 活动 3 的设计是从数量 关系的角度来探讨直线和圆 的位置关系 是让学生学会 运用数形结合的数学思想解 题 活动活动 4 1 应用 师生共同完成例题和练习的求例题和练习的安排是为 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 22 例 已知 如图所示 AOB 30 P 为 OB 上一点 且 OP 5 cm 以 P 为圆心 以 R 为半径的圆与直线 OA 有怎样 的位置关系 为什么 R 2 cm R 2 5 cm R 4 cm 2 练习 解 本次活动 教师应重点关注 1 学生能否利用直线和圆公共 点的个数判断直线和圆的位置关系 2 学生能否利用圆心到直线的 距离和半径间的数量关系判断直线 和圆的位置关系 了让学生掌握识别直线和圆 的位置关系的方法 培养学 生正确应用所学知识的应用 能力 渗透分类讨论 数形 结合等数学思想 活动活动 5 小结 这节课我们主要研究了直线 和圆的三种位置关系和识别直线 和圆的位置关系的方法 你有哪 些收获 学生自己总结 教师应重点关注 1 学生对直线和圆的位置关系 的性质和判定总结是否全面 2 是否有学生能从这节课的学 习中 体会到分类讨论的数学思想 和数形结合的数学思想在研究问题 中的重要性 总结回顾学习内容 帮 助学生学会归纳 反思 必做必做 教科书 P101 1 5作作业业 设计设计选选做做教科书 P102 10 14 教教 学学 反反 思思 B A O P 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 23 教学教学时间时间课题课题24 2 3 圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系课课型型新授课 知知 识识 和和 能能 力力 1 探索并了解圆和圆的位置关系 2 探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系 3 能够利用圆和圆的位置关系和数量关系解题 过过 程程 和和 方方 法法 1 学生经历操作 探究 归纳 总结圆和圆的位置关系的过程 培养学生观察 比 较 概括的逻辑思维能力 2 学生经历探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系的过程 培 养学生运用数学语言表述问题的能力 教教 学学 目目 标标 情情 感感 态态 度度 价价值观值观 学生经过操作 实验 发现 确认等数学活动 从探索两圆位置关系的过程中 体会 运动变化的观点 量变到质变的辩证唯物主义观点 感受数学中的美感 教学重点教学重点 探索并了解圆和圆的位置关系 教学教学难难点点探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径的数量关系 教学准教学准备备教教师师多媒体课件学生学生 五个一 课课 堂堂 教教 学学 程程 序序 设设 计计设计设计意意图图 问题与情境师生行为设计意图 活动活动 1 1 问题 1 点和圆有几种位置关系 如何识别 2 直线和圆有几种位置关系 如何识别 3 两个圆的位置关系又如何 呢 教师演示课件 提出问 题 学生观察 思考 回答问题 在本次活动中 教师应重点关 注 1 学生能否准确描述点和圆 直线和圆的位置关系 2 学生能否用点和圆心的距离 与半径的数量关系判别点和圆的位 置关系 能否用圆心到直线的距离 通过回忆已学过的 知识 引导学生用类比 的思想来学习新的知识 激发学生的求知欲 望 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 24 与半径的数量关系判别直线和圆的 位置关系 活动活动 2 观察两个半径不同的 O1 O2 固定其中一个而移 动另一个的过程中 会出现的几种 不同位置关系 1 根据观察 请你摆出 O1 和 O2的几种不同的位置关系 2 你能否根据两圆公共点的 个数类比直线和圆的位置关系定义 给出两圆位置关系的定义 利用几何画板画出两个半径不 同的圆 固定其中一个而移动另一 个 让学生观察 发现 并动手摆 出两圆的不同位置关系图形 请一名学生展示他发现的两圆 不同位置关系的图形 对于问题 1 教师应重点关注 1 学生能否根据操作 观察两 圆的位置关系 摆出相应的图形来 2 学生能否全部发现两圆的几 种位置关系 师生共同讨论出两圆的几种位 置关系定义 对于问题 2 教师应重点关注 学生能否用规范清晰的数学语言说 通过设置数学实验 让学生进行独立的探究 学习 促使学生主动参 与数学知识的 再发现 培养学生动手实践能力 观察 分析 比较 抽 象 概括的思维能力 问题 2 的提出是为 了让学生学会用类比的 方法研究两圆的位置关 系 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 25 出两圆的位置关系 活动活动 3 探究 1 请你根据圆和圆的位置关 系 猜测出两圆的圆心距与两圆半 径之间的数量关系 利用刻度尺进 行测量 验证你的猜想 教师提出问题 让学生根据自 己所画出的两圆的位置关系图形进 一步观察 思考 猜想 测量 发 表见解 活动 3 的设计是从 数量关系的角度来探讨 两圆的位置关系 让学 生学会运用数形结合的 数学思想解题 2 圆是轴对称图形 两个圆 是否也组成轴对称图形呢 如果能 组成轴对图形 那么对称轴是什么 教师利用课件演示两圆位置关系 的变化情况 观察随着两圆位置关 系的变化 两圆圆心距与两圆半径 之和或之差之间的数量关系 教师总结活动 3 讨论出的结 论 说明此结论既可作为两圆 位置关系的判定又可作为两圆 位置关系的性质 在本次活动中 教师应重点关注 学生对两圆相交时的情况讨论是否 深入 不仅要讨论半径和 同时要 考察两圆的半径差 研究两个圆所组成 的图形的对称性是为研 究相交两圆公共弦的性 质和相切两圆的切点位 置作铺垫 通过这一活动 培养 学生学会探究的方法 形成良好的科学研究的 习惯 培养学生思维的 深刻性和严谨性 活动活动 4 问题 1 1 教科书图 24 2 16 O 的 半径 5 cm 点 P 是 O 外一点 OP 8 cm 以 P 为圆心作一个圆与 O 外切 这个圆的半径是多少 以 P 为圆心作一个圆与 O 内切 师生共同完成例题的求解 对于问题 1 教师应重点关 注学生能否利用两圆外切或内切时 圆心距与两圆的半径和与差的关系 来解题 例题的安排是为了 利用已讨论出来的两圆 的位置关系与圆心距和 半径之间的数量关系的 结论来解决问题 使学 生学会发现问题 分析 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 26 呢 2 O1和 O2的半径分别为 3 5 设 d O1O2 当 d 9 时 则 O1与 O2 的位置关系是 当 d 8 时 则 O1与 O2 的位置关系是 当 d 5 时 则 O1与 O2 的位置关系是 当 d 2 时 则 O1与 O2 的位置关系是 当 d 1 时 则 O1与 O2 的位置关系是 当 d 0 时 则 O1与 O2 的位置关系是 3 已知 O1和 O2的半径 分别为 4 和 5 如果 O1与 O2 外切 那么 O1 O2 4 已知两圆半径分别为 3 和 7 如果两圆相交 则圆心距 d 的 取值范围是 如果两圆外 离 则圆心距 d 的取值范围是 5 在图中有两圆的多种位置 关系 请你找出还没有的位置关系 是 对于问题 2 3 4 5 教 师应当重点关注学生能否会利用两 圆的圆心距与两圆的半径的关系 判断两圆的位置关系 问题并解决问题 培养学生正确应用所 学知识的应用能力 巩 固所学的两圆位置关系 的性质和判定 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 27 活动活动 5 小结 这节课我们主要研究了圆和圆 的位置关系 你有哪些收获 布置作业 教科书习题 14 3 第 1 4 6 题 学生自己总结 教师应重点关注 1 学生对圆和圆的位置关系的 性质和判定总结是否全面 2 是否有学生能从这节课的学 习中 体会到分类讨论和数形结合 的数学思想在研究问题中的重要 性 学生通过作业 回顾 梳理知识 反思提高 总结回顾学习内容 帮助学生学会归纳 反 思 通过课后学生独立思 考 自我评价 使学习 效果达到最佳 必做必做 教科书 P102 6 7作作业业 设计设计选选做做教科书 P103 15 17 教教 学学 反反 思思 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 28 教学时间教学时间课题课题24 3 正多边形和圆正多边形和圆课型课型新授课 知知 识识 和和 能能 力力 1 了解正多边形与圆的关系 了解正多边形的中心 半径 边心距 中心角等概 念 2 在经历探索正多边形与圆的关系过程中 学会运用圆的有关知识解决问题 并能运 用正多边形的知识解决圆的有关计算问题 过过 程程 和和 方方 法法 学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中 体会到要善于发现问题 解决问题 发展学生的观察 比较 分析 概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力 教教 学学 目目 标标 情情 感感 态态 度度 价值观价值观 学生经历观察 发现 探究等数学活动 感受到数学来源于生活 又服务于生活 体 会到事物之间是相互联系 相互作用的 教学重点教学重点探索正多边形与圆的关系 了解正多边形的有关概念 并能进行计算 教学难点教学难点探索正多边形与圆的关系 教学准备教学准备教师教师多媒体课件学生学生 五个一 教学过程设计教学过程设计 问题与情境师生行为设计意图 活动 1 观看下列美丽的图案 问题 1 这些美丽的图案 都是在日常生活中 我们经常能看到的 利用正多边形得到的 物体 你能从这些图案中找出正多边形来 吗 教师演示课件或展示图片 提出问题 1 学生观察图案 思考并指出 找到的正多边形 通过观看美丽的图 案 欣赏生活中正多边 形形状的物体 让学生 感受到数学来源于生活 并从中感受到数学美 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 29 问题 2 你知道正多边形和圆有什么关系吗 你能借助圆做出一个正多边形吗 教师关注 1 学生能否从这些图案 中找到正多边形 2 学生能否从这些图案 中发现正多边形和圆的关系 教师提出问题 2 引导学生 观察 思考 学生讨论 交流 发表各自 见解 教师关注 学生能否联想到等分圆周作 出正多边形来 问题 2 的提出是为 了创设一个问题情境 激起学生主动将所学圆 的知识与正多边形联系 起来 激发学生积极探 索 研究的热情 调动 学生学习的积极性 并 有意将注意力集中在正 多边形与圆的关系上 活动 2 问题 1 将一个圆五等分 依次连接各分点得 到一个五边形 这五边形一定是正五边形 吗 如果是请你证明这个结论 教师演示作图 把圆分成相 等的 5 段弧 依次连接各个分点 得到五边形 教师引导学生从正多边形的 定义入手 证明多边形各边都相 等 各角都相等 引导学生观察 分析 教师关注 1 学生能否看出 将圆分 成五等份 可以得到 5 段相等的 弧 这些弧所对的弦也是相等的 这些弦就是五边形的各边 进而 证明五边形的各边相等 2 学生能否观察发现圆内 在活动 1 中学生 们发现了正多边形与圆 有着密切的关系 只要 把一个圆分成相等的一 些弧 就可以做出这个 圆的内接正多边形 活动 2 的设计就 是要学生在教师的指导 下进行逻辑推理 论证 所发现的结论的正确性 从而培养学生科学严谨 的治学态度 和运用所 学知识解决问题的能 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 30 问题 2 如果将圆 n 等分 依次连接各分点得 到一个 n 边形 这 n 边形一定是正 n 边形 吗 问题 3 各边相等的圆内接多边形是正多边形 吗 各角相等的圆内接多边形呢 如果是 说明为什么 如果不是 举出反例 接五边形的各内角都是圆周角 3 学生能否发现每一个圆 周角所对弧都是三等份的弧 4 学生能否利用这些圆周 角所对的弧都相等 证明五边形 的各内角相等 从而证明圆内接 五边形是正五边形 教师带领学生完成证明过 程 教师提出问题 2 学生思考 同学间交流 回答问题 教师关注 学生是否会仿造 证明圆内接正五边形的方法证明 圆内接正 n 边形 教师根据学生的回答给以总 结 将圆 n 等分 依次连接各分 点得到一个 n 边形 这 n 边形一 定是正 n 边形 教师提出问题 3 学生讨论 思考回答 教师关注 1 学生能否利用正多边形 定义进行判断 2 学生能否由圆内接多边 形各边相等 得到弦相等及弦所 对的弧相等 进而证明圆内接多 边形的各内角相等 3 学生能否举出反例说明 各角相等的圆内接多边形不一定 力 问题 2 的设计是将 结论由特殊推广到一 般 这符合学生的认知 规律 并教给学生一种 研究问题的方法 由特 殊到一般 问题 3 的提出是为 了巩固所学知识 使学 生明确判定圆内接多边 形是正多边形 必须满 足各边都相等 且各内 角都相等 这两个条件 缺一不可 同时教给学 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 31 是正多边形 教师讲评 生学会举反例 培养学 生思维的批判性 活动 3 学生观看课件 理解概念 例题 1 有一个亭子 如图 它的地 基是半径为 4 m 的正六边形 求地基的周 长和面积 精确到 0 1 m2 教师演示课件 给出正多边 形的中心 半径 中心角 边心 距等概念 教师引导学生画出正六边形 图形 进行分析 教师关注 1 学生能否知道欲求地基 的周长和面积 需要先求正六边 形的边长和边心距 2 学生能否将正六边形的 边长 半径和边心距集中在一个 三角形中来研究 3 学生能否将正六边形的 中心与顶点连接起来 将正六边 形分割成 6 个全等的等腰三角形 去发现每个等腰三角形的顶角就 是中心角 腰是半径 底边是边 长 底边上的高是边心距 从而 可以利用勾股定理进行计算 进 而能够求得正多边形的周长和面 积 教师引导学生完成例题 1 的 解答 总结这一类问题的求解方 法 教师让学生独立完成例题 例题 1 2 是有关 正多边形计算的具体应 用 目的是让学生在了 解有关正多边形的概念 后 通过例题的练习 巩固所学到的知识 学生在教师的引导 下 将正多边形的中心 半径 中心角 边心距 等集中在一个三角形中 来研究 即将正多边形 的中心与顶点连接起来 将正多边形分割成 n 个 全等的等腰三角形 让 学生们发现每个等腰三 角形的顶角为中心角 腰为半径 底边为边长 底边上的高为边心距 可以利用勾股定理进行 计算 进而能够求得正 多边形的周长和面 第二十四章第二十四章 圆圆 教案教案 32