第2讲几何图形的认知教师版

2010 年 暑假 第 2 讲 教师版 本讲知识点属于几何 模 块的第一讲，属于起步内容，难度并不大 要求学生认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形简拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，锻炼一定的空间想象能力 几何图形的定义： 几何图形主要分为点、线、面、体等，他们 是构成中最基本的要素 点： 用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些 点在纸上占一个位置 线段： 沿着直尺把两点用笔连起来，就能 画出一条线段 线段有两个端点 射线： 从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线 射线有一个端点，另一端延伸的很远很远，没有尽头 直线： 沿着直尺用笔可以画出直线 直线没有端点，可以向两边无限延伸 两条直线相交： 两条直线相交，只有一个交点 两条直线平行： 两条直线平行，没有交点，无论延伸多远都不相交 角： 角是由从一点引出的两条射线构成的 这点叫角的顶点，射线叫点的边 角分为锐角、直角和钝角三种 知识点拨 教学目标 第 二 讲 ： 几何图形的认知 2010 年 暑假 第 2 讲 教师版 直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角 教室里天花板上的角都是直角 锐角比直角小，钝角比直角大 三角形： 三角形有三条边，三个角，三个顶点 直角三角形： 直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角 它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边 等腰三角形： 等腰三角形也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长 (相等 )，相等的两条边叫 ” 腰 ” ，另外的一条边叫 ”底 ” 等腰直角三角形： 等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形 等边三角形： 等边三角形的三条边一样长 (相等 )，三个角也一样大 (相等 ) 四边形： 四边形有四条边，内部有四个角 长方形： 长方 形的两组对边分别平行且相等，四个角也都是直角 正方形： 正方形的四条边都相等，四个角都是直角 2010 年 暑假 第 2 讲 教师版 平行四边形： 平行四边形的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等 等腰梯形： 等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相等 平行的两边分别叫上底和下底，相等的两边叫腰 菱形： 菱形的四条边都相等，对角分别相等 圆： 圆是个很美的图形 圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫圆的半径，过圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径 直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫半圆 扇形： 长方体： 长方体有六个面，十二条棱，八个顶点 长方体的面一般是长方形，也可能有两个面是正方形 互相垂直的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高 正方体： 正方体有六个面，十二条棱，八个顶点 正方体的每个面都是同样大的正方形，所以它的十二条棱长都相等 圆柱： 圆柱的两个底面是完全相同的圆 2010 年 暑假 第 2 讲 教师版 圆锥： 圆锥的底面是圆 棱柱： 这个棱柱的上下底面是三角形 它有三条互相平行的棱，叫三棱柱 棱锥： 这个棱锥的底面是四边形 它有四条棱斜着立起来，所以叫四棱锥 三棱锥： 因为三棱锥有四个面，所以通常又 叫 ” 四面体 ” 三棱锥的每一个面都是三角形 球体，简称球： 球有球心，球心到球面上一点的连线叫球的半径 板块一、 平面几何图形的认识 【例 1】 观察这几个图形的变化规律，在横线上画出适当的图形 【解析】 几个图形的边数依次增加，因此横线上应为一个七边形 【例 2】 下图中哪些是三角形？哪些是长方形？哪些是平行四边形？哪些是菱形？ 例题精讲 2010 年 暑假 第 2 讲 教师版 【解析】 三角形有 2 个： 4 和 7；长方形有 2 个： 1 和 2(正方形也属于长方形 )；平行四边形有 4 个： 1、 2、3、 6(正方形、长方形、菱形也属于长方形 )；菱形有 2 个： 1 和 6(正方形也属于菱形 ) 【例 3】 一个等腰三角形的两条边的长度分别是 3 和 4，那么这个三角形的周长可能是多少？另 外一个等腰三角形的两条边的长度分别是 4 和 9，这个三角形的周长可能是多少？ 【解析】 第一个三角形： 如果腰为 3，则周长为 4+3+3=10；如果腰为 4，则周长为 4+4+3=11 第二个三角形： 如果腰为 4，此时 4+49，两边之和小于第三边，无法构成三角形，假设不成立，舍； 如果腰为 9，则周长为 9+9+4=22 【例 4】 数一数，图中共有多少个角？ 【解析】 锐角、直角各 4 个，共 8 个角 【例 5】 请看下图，共有多少个正方形 ？ 【解析】 假设最小的正方形边长为 1，则面积为 1 的正方形有 9 个 ；面积为 4 的正方形有 4 个；面积为 16的正方形有 1 个 因此共有 9+4+1=14 个 【例 6】 请看下图，共有多少个三角形？ 【解析】 独立的三角形有 7 个，由 4 个三角形组成的三角形有 1 个，加上最大的三角形，因此共有 7+1+1=9个三角形 2010 年 暑假 第 2 讲 教师版 【例 7】 请看下图，共有多少个圆圈？ 【解析】 此题中，各圆大小各异，不如按照从左到右的顺序来数 共有个 25 圆圈 【例 8】 长方形有四个角，剪掉一个角，还剩几个角 ？ 【解析】 共有三种情况，如下图，分别剩下 5、 4、 3 个角 【例 9】 把一个正方形分割为三种面积不 同的小正方形，并且小正方形的个数是 8 如何分？ 【解析】 如下图所示 【例 10】 如下图，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作按上述规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角问：当展开这张正方形纸片后，共有多少个小洞孔 ？ 【解析】 对已经过五次操作且剪去左下角的纸片做一次 反操作，得到的纸片有 1 个洞孔；再进行一次反操作，得到的 纸片上有 1 4=4 个洞孔按照这个方法继续做反操作，我 们发现规律：从第二次开始，每经过一次反操作，得到的纸片上的洞孔数是反操作前洞孔数的 4 倍因此，在进行了五次反操作以后， 纸片上的洞孔数应为 1 4 4 44=256(个 ) 2010 年 暑假 第 2 讲 教师版 【例 11】 图中的三个图形都是由 A、 B、 C、 D(线段或圆 )中的两个组合而成，记为 A*B、 C*D、 A*D请你画出表示 A* 【解析】 观察 上 图，第一个图形和第三个图形的共同之 处是都有一条竖向线段，而它们共有的字母是 A，因此 A 表 示竖向线段；第二个图形与第三个图形的共同之处是都有一条横向线段，它们的共同字母是 D，因此 D 表示横向线段这 样，由第一个图形可知 B 表示大圆，由第二个图形可知 C 表示小圆，从而 A*C 表示的图形应为竖向线段和小圆组合而 成，即下图 板块 二 、 立 体几何图形的认识 【例 12】 数一数下图中有多少个正方体木块 ？ 【解析】 从下到上各层分别有 3 个、 3 个、 1 个，因此共有 3+3+1=7 个方块 【例 13】 一个正方体的 8 个顶角被截去后，得到一个新的几何体 这个新的几何体有几个面？几个顶点？几条棱？ 【解析】 这个正方体的 8 个顶点被截去后，多了 8 个面，因此共有 6+8=14 个面；多了 (3 8=16 个点，因此共有 8+16=24 个点；多了 3 8 条棱，因此共有 12+3 8=36 条棱 【例 14】 用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上，每一个面只涂一种颜色如图所示，现有涂色方式完全一样的 四块小正方体拼成了一个长方体试回答：每个小正方体中，红色面的对面涂的是什么色 ？ 黄色面的对面涂的是什么色 ？ 黑色面的对面是什么色 ？ 【解析】 在能看见的 9 个面中红色出现的次数最多观察图 8 4 中最上面的一个正方体，由于红色和黑 2010 年 暑假 第 2 讲 教师版 色、黄色相邻，所以它的对面不可能是黑黄两色同理，由第二个正方体可知，红色的对面不能是白色；由第三个正方体知，红色的对面不能是蓝色所以红色的面的对面只可能是绿色同理，黄色面的对面不可能是红色、黑色或白色，又已推知不可能是绿色，所以黄色面的对面只可能是蓝色这样黑色面的对面就只可能是涂白色 的了 【例 15】 有一个 3 4 5 的长方体，先把其中相邻的两个面染红，再把它切成 60 个 1 1 1 的小正方体，请问：这些小正方体中最多有多少个是恰有一个面被染红的？ 【解析】 25 【例 16】 将 A、 B、 C、 D、 E、 F 六个字母分别写在正方体的六个面上，从下面三种不同摆法中判断这个正方体中，哪些字母分别写在相对的面上 【解析】 本题所给的是 一组立 体几何图形 但是，我们注意到：由于图 (a)、 (b)、 (c)都是同一个正方体的不同摆法 所以，图 (a)、 (b)、 (c)可以通过旋转来互相转化，这三个图形中，字母 C 所在的一面始终不改变位置 因此，这三个图形的转化只能是前后转动 把图 (a)向后翻转一次 (90 )得图 (b) 由此可知，字母 A 的对面是 D，把图 (a)向前翻转一次 (90 )得图 (c)，所以，字母 ，最后得出只有字母 C、 因此，正方体中，相对的字母分别是 A D、 B E、 C F 【例 17】 如图，一个正四面体摆在桌面上，正对称的面 红色，底面 白色，右侧面 侧面 黄色先让四面体绕底面面对你的棱向你翻转，再让它绕底面右侧棱翻转，第三次绕底面面对你的棱向你翻转，第四次绕底面左侧棱翻转，此后依次重复上述操作过程问：按规则完成第一百次操作后，面对你的面是什么颜色 ？ 【解析】 由于翻转的次数太多，我们只能先按题述的规则 顺序翻转几次，试着寻找翻转过程中的规律，再考虑多次翻转以后的结果 下图 演示了 4 次翻转的过程： 由图可见，按题述规则进行了 4 次翻转以后，原来的正四 面体 方向恰好发生了一次完全的变化：底面面对你 的 棱 成了 不与 同一平面内的侧棱 转 成了 么不难想像，再经过规则所述的 4 次翻转，正四面 体 方向将转回最初的位置这就告诉我们，这样的 翻转是每 8 次一循环的 由上述分析可见，题述的翻转以 8 次为一循环， 又因为 100 8=12 4，所以 100 次翻转操作以后，正四面 体 摆放位置将如图 8 11 的第五个图形所示，当时 面对你的面应为面 颜色为白色 课后练习 2010 年 暑假 第 2 讲 教师版 练习 1. 周长是 12，各边长都是整数的等腰三角形有几种 ？ 长方形有几种 ？ 【解析】 2 种； 3 种 练习 2. 用两个完全相同的、各边长分别为 5、 12、 13 的直角三角形纸片，可以拼成多少种不同的平行四边形？ 【解析】 3 种 练习 3. 用 12 个边长为 1 的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是多少？ 【解析】 拼成的图形长和宽最接近时，新的图形周长最短 即新图形边长为 3 和 4 时，周长最短，为 (3+4) 2=14 测试 1、 用 7 根长度都是 1 寸的火柴棍拼成了一个三角形 请问：这个三角形的三条边长分