第7讲 数字迷.教师版

2010 年 暑假 第 7 讲 教师版 1 数字迷从形式上可以分为横式数字迷与竖式数字迷，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字迷。横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字迷的一般解题技巧。主要涉及小数、分数、循环小数的数字迷问题，因此，会需要利用数论的知识解决数字迷问 。 一、数字迷加减法 (1)个位数字分析法 (2)加减法中的进位与错位 (3)奇偶性分析法 二、数字迷乘除法 数字乘法个位数字的规律 量 三 、数字谜问题解题技巧 解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异； 要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行适当的估算； 题目中涉及多个字母或汉字时，要注意利用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性； 注意结合进位及退位来考虑； 有时可运用到数论中的分解质因数等方法 【 系列一： 数字迷 】 【例 1】 在 “ 庆元旦 ” 晚会上，主持人小丽 出了这样 两 道题目： 请大家想一想，被纸片盖住的是什么数字 ? 【解析】 1、 先填个位，已知 6口的个位为 1，所以口 =5，且个位向十位进 1再填十位，由于个位向十位进 1，十位上数 7 1的个位数为 1，所以十位数应填 3，且十位向百位进 1最后填百位，由十位进 1，可知百位填 1 2、我们可以从位数入手被减数是一个三位数，减数是一个两位数，差是一个一位数，应能推出它的被减数应尽可能的小，减数应尽可能大再从个位入手，可知，被减数的个位是 2，且个例题精讲 知识点拨 教学目标 第 七 讲 ： 数字谜 2010 年 暑假 第 7 讲 教师版 1 位向十位借 1，而差的百位、十位上均无数字，说明被减数 的百位是 1，而减数十位上的数字是 9当然此题也可反着想： 6+6= 0 ，也可推出答案 【例 2】 在下面算式的空格内，各填上一个合适的数字，使算式 成立 【解析】 解题关键：在算式中，个位上已经给出了两个数字，因此选择个位上的空格做为解题突破口 （ 1）填个位 第一个加数个位上的空格填 9 （ 2）填千位 千位数字只能是百位上数字之和向前进的数，因此只能是 1 （ 3）填百位 第二个加数的百位数字最大是 9，而和是四 位数，因此算式中十位上数字之和必须向百位进 1，所以第二个加数的百位上填 9，和的百位上填 0 （ 4）填十位 由于两加数个位上数之和向十位进 1，十位上的数相加后又向百位进 1，因此第二个加数十位上的空格应填 8或 9于是此题有两个答案，即： 【例 3】 用 0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9这十个数字组成下面的加法算 式，每个数字只许用一次，现已写出 3个数字，请把这个算式补齐 【解析】 解题关键：由算式知，和的千位数字只能是百位上数字之和向前进的数，因此把确定千位数字做为突破口 （ 1） 填 千位 据上分析，千位上只能填 1 （ 2）确定百位 为了能使百位向千位进 l，所以第一个加数的百位可能是 9 或 7 (因为 8 已用过 ) 试验：若百位上填 9，则和的百位只可能是 1或 2，而 1和 2都已用过，因此百位上不能填9，只能填 7则和的百位为 0，且十位向百位进 1，这时竖式为： （ 3）确定剩下的 4个空格 现在只剩下四个数字没有用，它们是 9、 6、 5、 第二个加数的个位填 5，和的个位为 9，剩下的数字 6、 3 不能满足十位上的要求 . 若第二个加数的个位填9，和的个位为 3，剩下的数字 5、 6 正好满足十位上的要求，即 第一个加数的十位填 6，和的十位填 5此题的答案为 2010 年 暑假 第 7 讲 教师版 1 【例 4】 在下面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式 成立 【解析】 解题关键：这是一道四位数减去三位数差为两位数的减法，所以选择被减数的千位做为解题突破口又由于个位上已知两个数字，因此先从个位入手填填个位 由于个位这一列只有一个待定的数，减数的个位应为 9，且个位向十位借 1填千位 四位数减去三位数差为两位数，所以被减数的千位数字是 1，且百位向千位借 1 填百位 由于差 是两位数，所以被减数的百位数字为 0，十位也向百位借 1这样百位向千位借 1当 10，十位又向百位借 1，还剩 9， 9，因此减数的百位应填 9 填十位 由于十位向百位借 1，所以被减数的十位数字不得超过减数的十位数字，即被减数的十位数字是 0或 1，那么差的十位数字为 8或 9此题有两个答案 . 【例 5】 把数字 1 5分别填写在下面算式中的 口 里 【解析】 这 题限制了所需要填的五个数字，且个位这一列只有一个空格，因此把确定个位数字做为解题突破口 填个位 显然，差的个位上填 1 填百位 由差的十位数字 8 知，十位上数相 减时，要向被减数的百位借 1，这样百位上有 9口知，减数的百位填 3或 5，相应的差的百位上填5 或 3.3填十位 现在只剩下 2、 4 两个数，分别填在被减数和减数的十位上，正好满足题目要求 【例 6】 下面的算式里四个小纸片各盖住一个数字，问被盖住的 四个数字的和是多少 ? 【解析】 求被盖住的四个数字的和，对于这四个数具体是几并不十分重要而和 149 的个位是 9，所以个位数相加没有进位，即个位上两个数的和是 9十位上两个数的和是 14因此，被盖住的四个数字的和是 14 9=23 2010 年 暑假 第 7 讲 教师版 1 【例 7】 在下面算式 的空格内，各填入一个合适的数字，使算式 成立 【解析】 这是一道加减法混合运算的填空格题，我们把加法、减法分开考虑，使问题简化： 1加法 填十位 从算式可以看出，第二个加数与和的十位上都是 9，所以个位上数字之和一定向十位进了 1，十位数字之和也向百位进了 1，因此算式中十位上应是 9 1=19，故第一个加数的十位上填 9填个位 由于个位上 1口的和向十位进 1，所以口中只能填 9，和的个位就为 0填百位和千位 由于两位数加三位数，和是四位数，所以百位上数相加后必向千位进 1这样 第二个加数的百位应填 9，和的千位填 1，和的百位填 0. 2减法填个位 由于被减数的个位是 0，差的个位是 4，因此减数的个位应填 6.填十位、百位 由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两位数，所以减数的百位必须是 9，同时十位相减时必须向百位借 1，这样减数与差的十位也只能填 9 【例 8】 算下面竖式中的汉字各代表多少 ? 我 =( ) 爱 =( ) 数 =( ) 学 =( ) 【解析】 先看千位数，两个相同数相加，不可能是 9，那么一定是百位向千位进了 1，所以千位上是 4，由于百位向千位进了 1，因 此，爱 +爱 =10，则爱 =5，十位没有向百位进 是 5，肯定个位进上了 1，所以十位上数 =2，个位上的数，学 +学 =16，则学 =8，即： 4528+4528=9056. 我 =(4)，爱 =(5) 数 =(2)，学 =(8) 【巩固】 下面竖式中的汉字各代表多少 ? 【解析】 我 =（ 2 ） 爱 =（ 6 ） 北 =（ 3 ） 京 =（ 5 ） 【例 9】 下面的符号代表几？ 2010 年 暑假 第 7 讲 教师版 1 【解析】 =（ 8 ） 【例 10】 求当它们各代表什么数字时，能够使算式成立 ? 【解析】 被减数是一个四位数，减数是个三位数，所得的差是一个三位数，说明百位要向千位借 l，千位借走后无剩余，说明“儿” =1因为百位上减 1需要借位，所以“童”就只能取 0，而十位上“节定够减，不用向百位借位，这样从百位可得出“节” =9 的结论个位上分析可得出“乐”=8即如上式所示 【例 11】 请你猜一猜，每个算式中的汉字各表示几 ? 【解析】 首先我们可以确定百位的“数” =1，看个位，“爱” +5=2，所以“爱” =7； 再来观察上面的减法算式：“学” 47，可见“学” =8；再来观察下面的加法算 式： 17+“我” 5=112，可得“我”= 【例 12】 相同的英文字母代表相同的数字 ，你知道下面 A、 B、 【解析】 这道题的突破口是要从百位上的 B 进行思考，一个两位数加两位数，得数是一个三位数 或者 =2，那么十位 A+2+A=22，这种情况不存在 =1，十位上 A+1+A=11，如果个位向十位进一，那么 2个 A=9，也不可能，因此 2 个 A=10， A=5时，看个位 1+C+C=5， C= 【巩固】 下面竖式中的字母和符号各代表多少 ? 2010 年 暑假 第 7 讲 教师版 1 【解析】 A=（ 4 ） B=（ 5 ） =（ 2 ） =（ 9 ） C=（ 1 ） =（ 5 ） 【例 13】 请你算一算，下面竖式中每个字各代表几？ + 兵 炮 马 卒兵 炮 车 卒车 卒 马 兵 卒【解析】 兵 =( 5 ) 炮 =( 2 ) 马 =( 4 ) 车 =( 1 ) 卒 =( 0 ) 我们从个位开始观察， 卒 +卒 =卒，只有 0+0=0，所以卒 =0；再看和是一个五位数，所以车 =1；再看千位，兵 +兵 =10，所以兵 =5；然后看十位，马 +车 =兵，也就是马 +1=5，所以马 =4；最后看百位炮 +炮 =4，所以炮 =2. 【 巩巩 固固 】 在 下 边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数 _？ s t v av t s tt t v t t 【 解解 析析 】 两个四位数相加得到一个五位数，显然这个五位数的首位只能为 1，所以可以确定 1t ，那么百位不可能向千位进位，所以 11 ，十位向百位进了 1 位，所以 13v t t ，可得11 3 8s 又因为 a t t ，所以 0a ，四位数 1038。 【例 14】 下面各数字表示几？ 【解析】 从个 位看“宵” +“宵” +“宵” = 4，可见“宵” =8，向十位进 2.“元” +“元” +“元” = 9 7，可见“元” =9，向百位进 2.“度” +“度” =8，因此“度” =3，“欢” =1. 【巩固】 如图所示的算式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字求使算式成立的汉字所表示的数字 2 0 0 8学数 学爱 数 学喜 爱 数 学【解析】 将竖式化为横式就是： 1 0 0 0 2 0 0 3 0 4 喜 爱 数 学 =2008，从“ 喜 ”到“ 学 ”依次考虑，并注意到“喜”、“爱”、“数”都不能等于 0，可以得到： 1喜 ， 4爱 ， 6数 ， 7学 。 【例 15】 在下面的加法算式中，第 个加数的各位数字之和恰好是和的各位数字之和的 2 倍 则第一个 2010 年 暑假 第 7 讲 教师版 1 加数是多少 ? 【解析】 第一个加数是： 169，和是 170， 1+6+9=16， 1+7+0=8， 16是 8的 2倍 . 【例 16】 下面的算式里，每个方框代表一个数字，问：这 6个方框中 数字的总和是多少 ? 【解析】 这 6个方框中数字的总和是 47 【例 17】 在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不 同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出： = _. 【 解解 析析 】 比较竖式中百位与十位的加法，如果十位上没有进位，那么百位上两个“”相加等于一个“”，得到 “” 0 ，这与“”在首位不能为 0 矛盾，所以十位上的“ ”肯定进位，那么百位上有“ 1 10 ”，从而“” 9 ，“” 8 。再由个位的加法，推知“ 8 ”从而“ 9 8 8 25 ” 【例 18】 下面算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字 爱 好 真 知数 学 更 好数 学 真 好 玩【 解解 析析 】 题中竖式为两个四位数相加得到一个五位数，这个五位数的首位只能为 1，所以“数” 1 。再看千位，由于百位至多进 1位，而“爱” “数” 1 最大为 9 1 1 11 ，所以“学”不超过 1，而“数”为 1，所以“学”只能为 0竖式变为 1010爱 好 真 知更 好真 好 玩。 那么“真”至少为 2，所以百位不可能进位，故“爱” 10 1 9 。由于“好”和“真”不同，所以“真” “好” 1 ，十位向百 位进 1位。如果个位不向十位进位，则“真” “更” “好”10 ，得到“更” 9 ，不合题意，所以个位必定向十位进 1位，则“真” “更” 1 “好” 10 ，得到“更” 8 。现在，“真” “好” 1 ，“知” “好” 10“玩”“真”、“好”、“知”、“玩”为 2， 3， 4， 5， 6， 7 中的数。由于“玩”至少为 2，而“知” “ 好”最大为 6 7 13 ，所以“玩”为 2 或 3。若“玩”为 3，则“知”与“好”分别为 6 和 7，此时无论“好”为 6 还是 7，“真”都会与已有的数字重复，不合题意。若“玩”为 2，则“知”与“好”分别为 5 和 7，只能是“知” 7 ，“好” 5 ，“真” 6 。此时“数学真好玩”代表的数是 10652。 【例 19】 （ 2008年“迎春杯”高年级组复赛 )将数字 1至 9分别填入右边竖式的方格内使算式成 立 (每个数字恰好使用一次 )，那么加数中的四位数最 小是多少？ 【 解解 析析 】 9 个方框中的数之和为 45三个加数的个位数字之和可能是 8， 18；十位数字之 12 0 0 8 2010 年 暑假 第 7 讲 教师版 1 和可能是 9， 10， 19， 20；百位数字之和可能是 8， 9， 10，其中只有 18 19 8 45 所以三个加数的个位数字之和为 18，十位数字之和为 19，百位数字之和为 8要使加数中的四位数最小，尝试在它的百位填 1，十位填 2，此时另两个加数的百位只能填 3， 4；则四位数的加数个位可填5，另两个加数的十位可填 8， 9，个位可填 6， 7，符合条件，所以加数中的四位数最小是 1125 练习 1. 帮小红把墨迹破坏的算式写完整 . 【解析】 练习 2. 下图 是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字已知 是 3 的倍数， 是 8 的 倍数，那么 表的四位数是多少 ？ B A O D 【 解解 析析 】 首先可以确定 D 的值一定是 0 ， G 的值一定是 1 ，所以 A ，可见 偶数，只能是 122 、 144 、 166 、 188 ，由于 是 3 的倍数， 是 8 的倍数，所以 是 3 的倍数，也不是 4的倍数，可以排除 144和 188，再检验 122和 166可知只有 166 符合，此时 830，所以 值为 3810 。 练习 3. 下面方框可以填什么数？ 【解析】 这道题两个加数都不知道，只知道两个数的和，我们要知道这两个加数是多少，就要先找到解决问题的突破口 91， 两个加数十位上数字都必须是 9，而个位上两个数字的和要进位才能使十位数字的和是 9，这样个位上两个数字和应该是 +9=11， 3+8=11， 4+7=11，5+6=11，所以答案有： （答案不唯一，两个加数的顺序也可以颠倒写） 练习 4. 请你猜一猜，每个算式中的汉字各表示几 ? 课后练习 2010 年 暑假 第 7 讲