专题2----分情况讨论(教师版)

1 初一数学 寒假专题 分情况讨论 （教师版） 一 、教学要求 1、巩固有理数的几种分类方法，加法及乘法法则，深入理解相反数、乘方、绝对值的概念，知道几何图形的分类及角的分类方法； 2、树立分类意识，能够从问题环境中抓住分类的对象，并能根据对象的特点找出科学合理的分类标准； 3、能够在实际背景中理解各数量关系及 变化规律，合理分情况讨论；发展应用数学知识解决问题的意识和能力，进一步加深对相关数学知识的理解；认识数学知识之间的联系。 三、重点、难点 重点： 1、巩固基本概念与法则； 2、从问题情景中抓住分类的对象并找出正 确的分类标准； 3、能够逐类讨论并概括归纳。 难点： 1、确定分 类对象及标准 2、正确、全面地讨论、归纳 四、课堂教学 （一）知识要点 1、基本概念的讨论 在本学期的学习中，我们接触了许多的新概念及概念之间的关系，如整式分为单项式与多项式、等式分为方程、恒等式与矛盾式，几何图形分为平面图形与立体图形，角按角度分为零角、锐角、直角、钝角、平角、优角、周角。以上 这些都是对一个较大的概念按一定 的标准进行分类，而我们往往通过对其中每一小类的讨论，掌握其性质，从而对大概念这一整体进行把握。我们所接触的事物往往不是单一 的，一成不变的，因此需要我们能够分清它的不同情况，逐一讨论，通过概括总结解决问题。 （ 1）有理数的分类 有理数按不同的目的标 准有不同的分类方法，我们常见的两种是： 注意：确定统一的分类标准，按照标准分类要做到既不重复又不遗漏。我们对有理数的相反数、绝对值及倒数的讨论往往建立在有理数分类的基础上。 （ 2）相反数、绝对值、倒数 （ A）相反数 数 a 的相反数表示为 a ， a 不一定是负数。对于a 的符号的确定需要分类讨论。 （ B）绝对值 数 a 的绝对值表示为 a ，对于 a 的化简要有具体分类讨论的思想， 把可能出现的情况都想到，做到解题准确。一般是对绝对值里面的式子按正数、负数、 0 进行分类，确定为哪一类，再根据其性质讨论。 如： （ C）倒数 数 a 的倒数表示为a 与001 1a 时， 110 a 10 a 时， 11a 01 a 时， 11 a 1a 时， 011 较大小 对于一些没有具体数值而比较大小的问题，需要分情况讨论其结果。如与 a 比较， 0t 时， 0t 时， 0t 时， 3、应用题 在现实生活中存在一些问题需要分不同情况讨论，总结结论。 如某出租车收费标准是 4 千米以内为 10 元，超过 4 千米不足 20 千米时，每千米 ；超过 20 千米后，每千米 。甲乘坐出租车走了 s 千米，则应付多少车费？ 其中没有给出 s 在哪一范围内。这段路有三种情况。因此，要对 s 分情况000000000 讨论。分 4s 、 204 s 和 20s 三种情况讨论。 4s 时，收费 10 元； s 在 4 20 千米时，收费（ 10 s 4）元； 20s 时，收费（ 10 16 s 20）元。 4、几何方面 在几何中分情况讨论的问题也相当 普遍，同学们往往看不到分类的必要性。 如过平面上三点，两两画一条直 线，可有几条直线。 分两种情况：三点在一条直线上，则可画一条直线；三点不在一条直线上，则可以画三条直线。 一个钝角减去一个锐角是什么角，有三种情况。 钝角，如 170 20 150 直角， 100 10 90 锐角， 120 60 60 【 典型例题 】 例 1：在直线 取点 C，已知 8 ， 2 ，求 分析： 作图是其中的关键。 C 点在直线 ，但是 C 点是否取在 A、 B 之间没有确定，要分情况讨论。 情况 1： C 点在 间，可知， 8 2 6（）。 情况 2： C 点在 外，可知 8 2 10（）。 例 2 ： 已 知 互为相反数， 互 为 倒 数 ， 2x ，求 2 0 0 52 0 0 4 的值。 分析： 2,1,0 则 2x ，分两种情况： 解： （ 1）当 2x 时，原式 0 1 2 1 （ 2）当 2x 时，原式 0 1 2 3 例 3： a 表示有理数，那么 a 一定小于 ？ 分析： a 是有理数，有三种可能：正数、 0、负数。对三种情况分别讨论。 解： 0a 时， 0a 时， 0a 时， 。 例 4：已知 4 条线段，长度分别是 5 、 6 、11 、 16 ，任取三条可组成几个三角形。 分析： 如图三角形 段 B 到 C 的连线 ， B 到 C 的折线，由两点之间线段最短可知， C。则以上四个数据中任取三个也应满足这个关系。 解： 取长度分别为 5 、 6 、 11 的线段，5 6 11 不符合规定； 取长度分别为 5 、 6 、 16 的线段， 5 6 1116 11 16 276 16 6 2211 符合规定。 则可知能组成一个三角形。 小结：（一）能够确定树立分类的意识，分类时统一分类标准； （二）按分类标准做到既不重复又不遗漏； （三）逐步讨论完全； （四）善于总结概括结论。 【 模拟试题 】（答题时间： 30 分钟） 一、填空 1、将下列各数填入相应的括号内。 ,312,51,97,76,5 正数集合 ,312,7,76 负整数集合 15 整数集合 15， 97， 0 有理数集合 312,51,97,76,5 2、已知 2003x ， 2004y ，则 的最大值为 4007 。 3、若 0a ，则 a 、 0（填 或）。 5、若 0,0 且 ，那么 或）。 A B C 3 6、若 0则 （填 或） 7、化简 11 为正奇数为正偶数8、 ，则 a 0。 9、三条直线两两相交有 1 或 3 个交点。 10、 0 倒数是 ，相反数是 绝对值是 。,1 000二、选择 （ B ） 1、两个数的积是负数，则 A. 两个数都是负数 B. 一个数是负数，一个数是正数 C. 至少有一个数是负数 D. A 或 B （ D） 2、如果有理数 的倒数的绝对值分别是 3 和 2，那么 的值是 A. 是65B. 65C. 是65D. 61或65（ C ） 3、两个数的积是零，下列判断中正确的是 A. 两个数都是零 B. 其中只有一个数是零 C. 至少有一个数是零 D. 一个数不小于零，另一个数不大于零 （ A ） 4、若 n 为正整数，那么 aa 11 的结果是 A. 0 B. C. D. 三、化简 1、 a1 2、 2 1、 解： 当 01 a 时，即 1a 时， a1 a1 当 01 a 时，即 1a 时， a1 1a 当 01 a 时， 0|1| a 2、 解： 当 0x 时， 2 2 当 0x 时， 2 0 当 0x 时， 2 2 所 以 2 000备选资料 1、加法与乘法的法则 加法法则：（ 1）同号的两个数相加，符号不变，并把两个加数的绝对值相加。（ 2）异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数和为 0。（ 3） 0 和任何一个有 理数相加，仍得这个有 理数。 乘法法则：同号两个数相乘得正，异号两个数相乘得负，并把绝对值相乘，任何有理数和 0 相乘都得 0。 加法与乘法法则都要对进行运算的两个数分类讨论，对每类的运算结果进行规定，进行计算时首先要确定进行运算的两个数属于哪一类，特别地，除法与减法可以转化为乘法和加法进行。 在 2、 3、 4、 5 这四个数中求任何两个数相乘，所得的积中最大的。 共有 2 3、 2 4、 2（ 5）、 3 4、 3（ 5）、 4（ 5）六种情况，积最大的值为正数，因此必为同号相乘，只有 2（ 5）、 3 4两种情 况，可知最大的积是 3 4 12。 通过分析几种情况利用法则可准确判断结果，而不出现漏掉最大值的现象。 ，则 a 与 b 比较。 a 、 b 都有三种情况：正数、 0、负数，分别讨论。 0a 时有三种可能，000此时 0a 时有三种可能，000此时 0a 时不可能，因为最小的绝对值为 0。 综合 ，当 0a 时， ；当 0a 时 。 2、 4 个nn 有两种情况， 是正奇数是正偶数如化简 1 11 1n 是正奇数 为正整数时是正偶数，特别注意当n ,4, 偶数， 12,12 奇数，如 11 2 n 另外，由于 n 为正偶数时， nn 则可知，互为相反数的偶数次幂相等，则偶数次幂为一个正数的数有两个，如252