8-3-1逻辑推理.题库教师版

题库 教师版 8 1. 掌握逻辑推理的解题思路与基本方法：列表、假设、对比分析、数论分析法等 2. 培养学生的逻辑推理能力，掌握解不同题型的突破口 3. 能够利用所学的数论等知识解复杂的逻辑推理题 逻辑推理 作为数学思维中重要的一部分，经常出现在各种数学竞赛中，除此以外，逻辑推理还经常作为专项的内容出现在各类选拔考试，甚至是面向成年人的考试当中。对于学生学习数学来 说， 逻辑推理既有趣又可以开发智力，学生自主学习研究性比较高。本讲我们主要从各个角度总结逻辑推理的解题方法。 一列表推理法 逻辑推理问题的显著特点是层次多，条件纵横交错 层剖析，一步步向结论靠近，是解决问题的关键 们也常常采用列表的方式，把错综复杂的约束条件用符号和图形表示出来，这样可以借助几何直观，把令人眼花缭乱的条件变得一目了然，答案也就容易找到了 . 二、假设推理 用假设法解逻辑推理问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设如果推出矛盾，那么假设不 成立；如果推不出矛盾，而是符合题意，那么假设成立 解题突破口：找题目所给的矛盾点进行假设 三、体育比赛中的数学 对于体育比赛形式的逻辑推理题，注意“一队的胜、负、平”必然对应着“另一队的负、胜、平”。有时综合性的逻辑推理题需要将比赛情况用点以及连接这些点的线来表示，从整体考虑，通过数量比较、整数分解等方式寻找解题的突破口。 四、计算中的逻辑推理 能够利用数论等知识通过计算解决逻辑推理题 . 模块一、列表推理法 【例 1】 刘刚、马辉、李强三个男孩各有一 个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛事先规定：兄妹二人不许搭伴第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹问：三个男孩的妹妹分别是谁？ 【解析】 因为兄妹二人不许搭伴，所以题目条件表明：刘刚与小丽、李强与小英、李强与小红都不是兄妹由例题精讲 知识点拨 教学目标 8辑推理 题库 教师版 8 第二盘看出，小红不是马辉的妹妹将这些关系画在左下表中，由左下表可得右下表 李强马辉刘刚小丽 小红小英 李强马辉刘刚小丽 小红小英 刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹 【巩固】 王文、张贝、李丽分别是跳伞、田径、游泳运动员，现在知道： 张贝从未上过天； 跳伞运动员已得过两块金牌； 李丽还未得过第一 名，她与田径运动员同年出生 贝、李丽各是什么运动员？ 【解析】 为了能清楚地找到所给条件之间的关系，我们不妨运用列表法，列出下表，在表中“”表示是，“”表示不是，在任意一行或一列中，如果一格是“”，可推出其它两格是“” 由可知张贝、李丽都不是跳伞运动员，可填出第一行，即王文是跳伞运动员；由可知，李丽也不是田径运动员，可填出第三列，即李丽是游泳运动员，则张贝是田径运动员 【巩固】 李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐和图画六门课的教学，每人教两门 现知道： 顾锋最年轻； 李波喜欢与体育老师、数学老师交谈； 体育老师和图画老师都比政治老师年龄大； 顾锋、音乐老师、语文老师经常一起去游泳； 刘英与语文老师是邻居问：各人分别教哪两门课程？ 【解析】 李波教语文、图画，顾锋教数学、政治，刘英教音乐、体育由推知顾锋教数学和政治；由推知刘英教体育；由推知李波教图画、语文 【巩固】 王平、宋丹、韩涛三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长一次数学测验，这三个人的成绩是： 韩涛比大队长的成绩好 王平和中队长的成绩不相同 中队 长比宋丹的成绩差请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？ 【解析】 根据条件和，王平和中队长的成绩不相同，中队长比宋丹的成绩差，可以断定，王平不是中队长，宋丹也不是中队长，只有韩涛当中队长了 王平和宋丹两人谁是大队长呢？由和，韩涛比大队长的成绩好，中队长比宋丹的成绩差，可以推断出按成绩高低排列的话，宋丹的成绩比中队长（韩涛）的成绩好，韩涛的成绩比大队长的成绩好这样，宋丹、韩涛就都不是大队长，那么，大队长肯定是王平 【例 2】 张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师， 已知：张明不在北京工作，席辉不在上海工作；在北京工作的不是教师；在上海工作的是工人；席辉不是农民问：这三人各住哪里？各是什么职业？ 【解析】 这道题的关系要复杂一些，要求我们通过推理，弄清人物、工作地点、职业三者之间的关系三 题库 教师版 8 者的关系需要两两构造三个表，即人物与地点，人物与职业，地点与职业三个表 我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示，由条件得到表 1 ，由条件、得到表 2 ，由条件 得到表 3 因为各表中，每行每列只能有一个“”，所以表 2 可填全为表 5 由表 5 知农民在北京工作，又知席辉不是农民，所以席辉不在北京工作，可以将表 1 可填全完为表 4 由表 4 和表 5 知得到：张明住在上海，是工人；席辉住在天津，是教师；李刚住在北京，是农民 方法二：由题目条件可知：席辉不在上海工作，而在上海工作的是工人，所以席辉不是工人，又不是农 民，那么席辉只能是教师，不在北京工作，就只能是在天津工作，那么张明在上海工作，是工人。李刚 在北京，是农民。 【巩固】 甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员已知：甲不是辽宁人，乙不是广西人；辽 宁人不是演员，广西人是教师；乙不是工人 求这三人各自的籍贯和职业 【解析】 由题意可画出下面三个表： 将表 3 补全为表 4 由表 4 知，工人是辽宁人，而乙不是工人，所以乙不是辽宁人，由此可将表 1补全为表 5 所以，甲是广西人， 职业是教师；乙是山东人，职业是演员；丙是辽宁人，职业是工人 题库 教师版 8 方法二：将能判断的条件先列入图表中，广西人是教师，但是乙不是广西人，所以乙不是教师，乙又不是工人，所以乙为演员。在对应的地方打上“”，对应的行列均打“”。但是辽宁人不是演员，所以乙不是辽宁人，乙就是山东人，所以甲是广西人，职业是教师；乙是山东人，职业是演员；丙是辽宁人，职业是工人。 【巩固】 小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道：（ 1）小明不在一小；（ 2）小芳不在二小（ 3）爱好乒乓球的 不在三小；（ 4）爱好游泳的在一小；（ 5）爱好游泳的不是小芳。问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？ 【解析】 这道题比上例复杂，因为要判断人、学校和爱好三个内容。先将题目条件中给出的关系用下面的表 1、表 2、表 3 表示： 因为各表中，每行每列只能有一个“”，所以表 3 可补全为表 4。 由表 4、表 2知道，爱好游泳的在一小，小芳不爱游泳，所以小芳不在一小。于是可将表 1补全为表 5。对照表 5和表 4，得到：小明在二小上学，爱好打乒乓球；小芳在三小上学，爱好打羽毛球；小花 在一小上学，爱好游泳。 【巩固】 小王、小张和小李一位 是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。问：谁是工人？谁是农民？谁是教师？ 【解析】 这道题目并不难，聪明的小朋友思考一下就能得到答案，但是今天我们通过这道题目一起来学习一个十分有用的方法：列表分析法。由题目条件可以知道：小李不是教师，小王不是农民，小张不是农民。由此得到左下表。表格中打“”表示肯定，打“”表示否定。 因为左上表中，任一行、任一列只能有一个“”，其余是“”，所以小李是农民， 于是得到右上表。因为农民小李比小张年龄小，又小李比教师年龄大，所以小张比教师年龄大， 即小张不是教师。因此得到左下表，从而得到右下表，即小张是工人，小李是农民，小王是教师。 例题中采用列表法，使得各种关系更明确。为了讲解清楚，例题中画了几个表，实际解题时，不用画这么多表，只在一个表中先后画出各种关系即可。需要注意的是：第一步应 题库 教师版 8 将题目条件给出的关系画在表上，然后再依次将分析推理出的关系画在表上；每行每列只能有一个“”，如果出现了一个“”，它所在的行和列的其余格中都应画“”。 【例 3】 甲、乙、丙、丁四个人的职业分别是 教师、医生、律师、警察已知：教师不知道甲的职业；医生曾给乙治过病；律师是丙的法律顾问（经常见面）；丁不是律师；乙和丙从未见过面那么甲、乙、丙、丁的职业依次是： 【解析】 律师、教师、警察由可以知道丙不是律师，但是他见过律师，再由知乙不是律师，又由可知甲是律师于是由和知丙不是教师，由和知丙不是医生，从而丙是警察再由知乙是教师，丁是医生 列表如下（列表的好处在于直观明了，不会犯错误）： 【巩固】 徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们都是象棋迷。（ 1） 电工只和车工下棋；（ 2）王、陈两位师傅经常与木工下棋；（ 3）徐师傅与电工下棋互有胜负；（ 4）陈师傅比钳工下得好。问：徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种？ 【解析】 徐是车工，王是钳工，陈是木工，赵是电工。 【巩固】 甲、乙、丙三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长一次数学测验，这三个人的成绩是：丙比大队长的成绩好甲和中队长的成绩不相同中队长比乙的成绩差请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？ 【解析】 根据条件和，甲和中队长的成绩不相同，中队长比乙的成绩差，可以断定，甲不是中队 长，乙也不是中队长，只有丙是中队长了（也可以列表确定中队长）甲和乙两人谁是大队长呢？由和，丙比大队长的成绩好，中队长比乙的成绩差，可以推断出按成绩高低排列的话，乙的成绩比中队长（丙）的成绩好，丙的成绩比大队长的成绩好这样，乙、丙就都不是大队长，那么，大队长肯定是甲 【巩固】 甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地 甲说：“我和乙都住在北京，丙住在天津” 乙说：“我和丁都住在上海，丙住在天津” 丙说：“我和甲都不住在北京，何伟住在南京” 丁说：“甲和乙都住在北京，我住在广州” 假定他们每 个人都说了两句真话，一句假话问：不在场的何伟住在哪儿？ 【解析】 因为甲、乙都说“丙住在天津，”我们可以假设这句话是假话，那么甲、乙的前两句应当都是真话，推出乙既住在北京又住在上海，矛盾所以假设不成立，即“丙住在天津”是真话因为甲的前两句话中有一句假话，而甲、丁两人的前两句话相同，所以丁的第三句话“我住在广州”是真的由此知乙的第二句话“丁住在上海”是假话，第一句“我住在上海”是真话；进而推知甲的第二句是假话，第一句“我住在北京”是真话；最后推知丙的第二句话是假话，第三句“何伟住在南京”是真话所以，何伟住在南 京 【巩固】 A ， B ， C ， D 分别是中国、日本、美国和法国人 A 和中国人是医生； B 和法国人是教师； C 和日本人职业不同； D 不会看病 A ， B ， C ， D 各是哪国人， 【解析】 有可知， A 、 B 都不是中国人和法国人，再由知， D 也不是中国人，所以， C 是中国人，由，日本人也是教师，从而推知， D 是法国人，得下表： 题库 教师版 8 最后由 C 是中国人及，推知日本人是教师，再由知 B 是日本人 . 【巩固】 根据条件判断旅游团去了 A 、 B 、 C 、 D 、 E 中的哪几个地方？ 如果去 A ，就必须去 B ； D 、 E 两地至少去一地； B 、 C 两地只能去一地； C 、 E 两地要去都去，要不去都不去； 若去 D ，则 A 、 E 两地必须去 . 【解析】 从入手，分别假设去 B 或 C ：若去 B 则不能去 C ，也不能去 E ，只能去 D .必须去 A 、E ，与不能去 E 矛盾 假设去 C ：必去 E ，需去 D ，必须去 A 、 E ，去 ，与 B 、 C 不 能同去矛盾，所以不能去 D 综上只能去 C 、 E . 【例 4】 甲、乙、丙、丁每人只会中、英、法、日四种语言中的两种，其中有一种语言只有一人会说他们在一起交谈可有趣啦： 乙不会说英语，当甲与丙交谈时，却请他当翻译； 甲会日语，丁不会日语，但他们却能相互交谈； 乙、丙、丁找不到三人都会的语言； 没有人同时会日、法两种语言请问：甲、乙、丙、丁各会哪两种语言？ 【解析】 由可 得下表，其中丙不会日语是因为甲会日语，且甲与丙交谈需要翻译由下表看出，甲会的另一种语言不是中文就是英语 丁丙乙甲日法英中先假设甲会说中文由知，丁也会中文；由知丙不会中文，再由每人会两种语言，知丙会英、法语（见左下表：由推知乙会中文和法语；再由及每人会两种语言，推知丁会英语（见右下表）结果符合题意 丁丙乙甲日法英中丁丙乙甲日法英中再假设甲会说英语由知，丁也会英语；由知丙不会英语，再由每人会两种语言，知丙会中文和法语（见左下表）；由 推知，乙会中文和日语；再由及每人会两种语言，推知丁会法语（见右下表） 右下表与“有一种语言只有一人会说”矛盾假设不成立 丁丙乙甲日法英中 丁丙乙甲日法英中所以甲会中、日语，乙会中、法语，丙会英、法语，丁会中、英语 题库 教师版 8 【巩固】 宝宝、贝贝、聪聪每人有两个外号，人们有时以 “ 数学博士 ” 、 “ 短跑健将 ” 、 “ 跳高冠军 ” 、“ 小画家 ” 、 “ 大作家 ” 和 “ 歌唱家 ” 称呼他们，此外： 数学博士夸跳高冠军跳的高 跳高冠军和大作家常与宝宝一起看电影 短跑健将请小画家画贺年卡 数学博士和小画家关系很好 贝贝向大作家借过书 聪聪下象棋常赢贝贝和小画家问：宝宝、贝贝、聪聪各有哪两个外号吗？ 【解析】 由知，宝宝不是跳高冠军和大作家；由 知 ，贝贝不是大作家；由知，贝贝、聪聪都不是小画家，可以得到下表： 因为宝宝是小画家，所以由知宝宝不是短跑健将和数学博士，推知宝宝是歌唱家，因为聪聪是大作家，所以由知聪聪不是跳高冠军，推知贝贝是跳高冠军，因为贝贝是跳高冠军，所以由知贝贝不是数学博士，将上面结论依次填入上表，得到下表： 所以，宝宝是小画家和歌唱家，贝贝是短跑健将和跳高冠军，聪聪是数学博士和大作家 【例 5】 （ 2007 年湖北省“创新杯”初赛）六年级四个班进行数学竞赛，小明猜想比赛的结果是： 3 班第一名， 2 班第二名， 1 班第三名， 4 班第四名小华猜想比赛的结果是： 2 班第一名， 4 班第二名， 3 班第三名， 1 班第四名结果只有小华猜到的 4 班为第二名是正确的那么这次竞赛的名次是 班第一名， 班第二名， 班第三名， 班第四名。 【解析】 方法一：依题意， 3 班不为第一名也不为第三名，那么 3 班为第四名同样， 2 班不为第二名也不为第一名，那么 2 班为第三名 1 班不为第三名也不为第四名，那么 1 班为第一名故第一名到第四名依次为 1 班， 4 班， 2 班， 3 班 方法二：我们可以将两人的猜测结果列成表格形式，将小明猜想结果用“”表示，小 华猜测结果用“”表示，列表如下： 由题意知只有小华猜到的 4 班为第二名正确，其他的全是错误的，所以很容易确定各班名次 （打的即为正确的名次） 方法二：题目中只有小华猜到 4班为第二名是正确的，那么其他的猜想均为错误的。在其对应的地方打“”，正确的则打“”。 题库 教师版 8 【巩固】 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛顺序在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测甲猜：乙第三，丙第五乙猜：戊第四，丁第五丙猜：甲第一，戊第四丁猜：丙第一 ，乙第二戊猜：甲第三，丁第四老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，则出赛顺序中，第一是 _；第三是 _ 【解析】 题中每个人都猜了另外两个人的出场顺序，每个人的出场顺序也都被另外两个人猜过，其中戊被乙和丙猜的都是第四，由于每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，所以戊是第四（否则戊的出赛顺序没有人猜中），以此为突破口。由于戊是第四，则在第四列其余地方均打“ ”则丁不能第四，所以丁的出赛顺序被乙猜中，为第五，则丙不能是第五，丙只能是第一，甲不能是第一，故甲是第三，乙是第二，所以答案为： 第一是丙，第三是甲 【例 6】 红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，有 A 、 B 、 C 、D 、 E 五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包 A 猜：第二包是紫的，第三包是黄的； B 猜：第二包是蓝的，第四包是红的； C 猜：第一包是红的，第五包是白的； D 猜：第三包是蓝的，第四包是白的； E 猜：第二包是黄的，第五包是紫的 猜完后，打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包，并且每包只有一人猜对请你判断他们各猜对了其中的哪一包？ 【解析】 方法一：题目要求 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五个人在猜每包珠子的颜色时每人只猜两包且每人都只猜对了一包每包只有一人猜对，所以观察五包珠子中第一包只有 C 猜，所以 C 猜对了第一包，又根据每人只猜对了一种，所以 C 猜第五包是白的，猜错了；第五包只有 C 、 E 两人猜，所以 E 猜第五包是紫的，猜对了；那么 E 猜第二包是黄的，猜错了；紫颜色的珠子，只有 A 、 E 两人猜，那么 A 猜第二包是紫的，猜错了；第二包有 A ， B ， E 三人猜，其中 A ， E 都猜错了，所以 B 猜第二包是蓝的，猜对了；那么 B 猜第四包 是红的，猜错了；所以 D 猜对的是第四包，是白的 D 猜第三包是蓝的，也猜错了；所以 A 猜对的是第三包，是黄的； 总结以上推理判断， A 猜对了第三包是黄的， B 猜对了第二包是蓝的， C 猜对了第一包是红的，D 猜对了第四包是白的， E 猜对了第五包是紫的 方法二：分析同方法一，第一包只有一人猜对，所以第一包为红色，在第一行的其余地方打上“”第四包不为红色，第四包为白色，白色不能为第五包，第五包就为紫色，同理可知其余各包颜色。 题库 教师版 8 【巩固】 五封信，信封完全相同，里面分别夹着红、蓝、黄、白、紫五种颜色的卡片现在把它们按顺序排成一行，让 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五人猜每只信封内所装卡片的颜色 A 猜：第 2 封内是紫色，第 3 封是黄色； B 猜：第 2 封内是蓝色，第 4 封是红色； C 猜：第 1 封内是红色，第 5 封是白色； D 猜：第 3 封内是蓝色，第 4 封是白色； E 猜：第 2 封内是黄色，第 5 封是紫色 然后，拆开信封一看，每人都猜对一种颜色，而且每封都有一人猜中请你根据这些条件，再猜猜，每封信中夹什么颜色的卡片？ 【解析】 把已知条件简明地记录在表格中选择其中一只信封作为“突破口”比如第 3 封， A 猜的是黄色， D 猜的却 是蓝色由已知条件，这只信封内的卡片不是蓝色，就是黄色假如第 3封是蓝色，那么逐步推理可导出矛盾：白色卡片没人猜对这说明假设不正确，第 3封内应是黄色由此推出其它各封内的颜色 【巩固】 （ 2008 年北京“数学解题能力展示”读者评选活动 ） 老师在 3 个小箱中各放一个彩色球，让小明、小强、小亮、小佳四人猜一下各个箱子中放了什么颜色的球 小明说：“ 1 号箱中放的是黄色的， 2 号箱中放的是黑色的， 3 号箱中放的是红色的” 小亮说：“ 1 号箱中放的是橙色的， 2 号箱中放的是黑色的， 3 号箱中放的是绿色的” 小强说：“ 1 号箱中放的是紫色的， 2 号箱中放的是黄色的， 3 号箱中放的是 蓝色的” 小佳说：“ 1 号箱中放的是橙色的， 2 号箱中放的是绿色的， 3 号箱中放的是紫色的” 老师说：“你们中有一个人恰好猜对了两个，其余的三人都只猜对一个” 那么 3 号箱子中放的是 _色的球 【解析】 由于猜中的总次数为 5 次，所以有一个箱子至少被 猜中了 2 次以上，从而这个箱子只能是 2 号箱，推理得出只能是小亮对了 2 次，其他人只对一次，所以 1 号箱只能是橙色的，那么 3 号箱的颜色是蓝色的 【巩固】 四张卡片上分别写着奥、林、匹、克四个字（一张上写一个字），取出三张字朝下放在桌上， A 、B 、 C 三人分别猜每张卡片上是什么字，猜的情况见下表： 结果，有一人一张也没猜中，一人猜中两张，另一人猜中三张 三张卡片上各写着什么字 【解析】 A 、 B 有两张猜的相同，必有一人全对，一人对两张，因此， C 全错，推知 B 全对 . 【例 7】 老师让小新把小胖、小贝、小丸子、小淘气、小马虎的作业本带回去，小新见到这五人后就一人给了一本，结果全发错了现在知道： 小胖拿的不是小贝的，也不是小淘气的； 小贝拿的不是小丸子的，也不是小淘气的 ； 小丸子拿的不是小贝的，也不是小马虎的； 小淘气拿的不是小丸子的，也不是小马虎的； 小马虎拿的不是小淘气的，也不是小胖的另外，没有两人相互拿错 (例如小胖拿小贝的，小贝拿小胖的 ) 问：小丸子拿的是谁的本？小丸子的本被谁拿走了？ 【解析】 根据“全发错了”及条件，可以得到 下表： 由表 1看出，小淘气的本被小丸子拿了此时，再继续推理分析不大好下手，我们可用假设法 题库 教师版 0 8 由上表知，小胖拿的本不是小丸子的就是小马虎的先假设小胖拿了小丸子的本于是得到下表， 表中小贝拿小马虎的本，小马虎拿小贝的本两人相互拿错，不合题意 再假设小胖拿小马虎的本于是又可得表，经检验，下表符合题意 所以小丸子拿了小淘气的本，小丸子的本被小马虎拿去了 模块二、假设推理 【例 8】 甲、乙、丙三人，一个总说谎，一个从不说谎，一个有时说谎有一次谈到他们的职业甲说：“ 我是油漆匠，乙是钢琴师，丙是建筑 师 ” 乙说： “ 我是医生，丙是警察，你如果问甲，甲会说他是油漆匠 ” 丙说： “ 乙是钢琴师，甲是建筑师，我是警察 ” 你知道谁总说谎吗？ 【解析】 甲 如果甲从不说谎，那么乙的最后一句、丙的第一句都对，没有总说谎的人，矛盾；同理，如果丙从不说谎，也将推出矛盾 【巩固】 在神话王国内，居民不是骑士就是骗子，骑士不说谎，骗子永远说谎，有一天国王遇到该国的居民小白、小黑、小蓝，小白说：“小蓝是骑士，小黑是骗子”，小蓝说：“小白和我不同，一个是骑士，一个是骗子”国王很快判断出谁是骑士，谁是骗子你能判断出吗？ 【解析】 假设小白是骑士（说实话） ，则小蓝是骑士，小黑是骗子；又因为小蓝是骑士，那么小白、小蓝不同，一个是骑士，一个是骗子，与小白、小蓝均为骑士矛盾假设小白是骗子（说假话），那么小蓝是骗子，小黑是骑士，又因为小蓝是骗子，所以小白、小蓝不同是假话因此，小白、小蓝是骗子，小黑是骑士 . 【巩固】 一个骗子和一个老实人一路同行，骗子总是讲假话，老实人总是讲真话请提一个尽量简单的问题，使两人的回答相同这个问题可以是 . 【解析】 这个问题可以是： 你是老实人吗 ?如果问的问题是客观的，也就是说对于这两个人来说真正的答案是一样的话， 那么他们的回答肯定不一样所以要问一个与他们自身相关的问题，例如你是老实人吗 ?或者问你是骗子吗 ?这样他们的回答才会一样 【巩固】 甲说：“乙和丙都说谎。”乙说：“甲和丙都说谎。”丙说：“甲和乙都说谎。”根据三人所说，你判断一下，下面的结论哪一个正确：（ 1）三人都说谎；（ 2）三人都不说谎；（ 3）三人中只有一人说谎；（ 4）三人中只有一人不说谎。 【解析】 （ 4）正确 。 【例 9】 某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别 。甲判断：不是铁，也不是铜。乙判断：不是铁，而是锡。丙判断：不是锡，而是铁。经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个 人说对了一半，而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？ 【解析】 丙全说对了，甲说对了一半，乙全说错了。先假设甲全对，推出矛盾后，再设乙全对，又推出矛盾，则说明丙全对，甲说对了一半，乙全说错了。 【巩固】 三只小猴子聪聪、淘淘、皮皮见到一个水果，他们分别判断这是什么水果：聪聪判断：不是苹果，也不是梨淘淘判断：不是苹果，而是桃子皮皮判断：不是桃子，而是苹果老猴子告 题库 教师版 1 8 诉他们：有一只小猴子的判断完全正确，有一只小猴子说对了一半，而另一只小猴子完全说错了你知道三只小猴中谁是对的，谁是错的，谁是只 对一半的吗？ 【解析】 先设聪聪全对，不是苹果，也不是梨只能是桃子，那么淘淘两句也都说对了，推出矛盾；再设淘淘全对，不是苹果，而是桃子，推出这个水果是桃子，那么聪聪说的也都对了，又推出矛盾；则说明皮皮全对，那么这种水果是苹果，聪聪说对了一半，淘淘全说错了 【例 10】 （ 2007 年太原福布斯迎奥运数学展示活动） 4 名运动员参加一项比赛，赛前，甲说：“我肯定是最后一名”乙说：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名”丙说：“我绝对不 会得最后一名”丁说：“我肯定得第一名”赛后，发现他们 4 人的预测中只有一人是错误的请问谁的预测是错误的？ 【解析】 假设甲的预测是错的，那么其他三人的预测都是对的，那么甲不是最后一名，乙和丙也不是最后一名，丁是第一名，这样的话没有人是最后一名，矛盾所以甲的预测是对的，甲是最后一名，那么丙的预测也是对的如果乙的预测是错的，那么乙是第一名，而丁的预测是对的，丁也是第一名，矛盾所以乙的预测是对的，丁的预测是错的 【巩固】 甲、乙、丙、丁在比较他们的身高，甲说：“我最高 ”乙说：“我不最矮”丙说：“我没甲高，但还有人比我矮”丁说：“我最矮”实际测量的结果表明，只有一人说错了请将他们按身高次序从高到矮排列出来 【解析】 丁不可能说错，否则就没有人最矮了由此知乙没有说错若甲也没有说错，则没有人说错，矛盾所以只有甲一人说错所以丁是最矮的，甲不是最高的，丙没甲高，但还有人比他矮，那么只能是甲第二高，丙第三高，乙最高所以他们的身高次序为乙、甲、丙、丁 【巩固】 （ 2009 年第七届希望杯一试试题）百米决赛前，小芳对参赛的五名选手的名次 作了预测，比赛的结果同她预测的名次全不相同由下图知小芳预测为第一名的选手的实际名次是第 名 【解析】 假设小芳预测第一名、第二名、第三名、第四名、第五名对应的人分别是甲、乙、丙、丁、戊，由小芳说的话知第四名丁就是实际名次的第一名 , 预测的第二名乙就是实际名次的第三名 , 预测的第三名丙就是实际名次的第二名 ,因此实际的第一名、第二名、第三名的人分别是丁、丙、乙，又知道比赛的结果同她预测的名次全不相同 ,所以小芳预测的第五名戊只能是实际的第四名了，这样实际名次的第五名只能是小芳预测的第一名甲了 .（如下表所 述） 【例 11】 （ 2007 年台湾第一届小学数学世界邀请赛）在期末考试前，学生 W 、 X 、 Y 、 Z 分别预测他们的成绩是 A 、 B 、 C 或 D ，评分标准是 A 比 B 好， B 比 C 好， C 比 D 好 W 说：“我们的成绩都将不相同若 我的成绩得 A ，则 Y 将得 D ” X 说：“若 Y 的成绩得 C ，则 W 将得 D W 的成绩将比 Z 好” Y 说：“若 X 的成绩不是得到 A ，则 W 将得 C 若我的成绩得到 B ，则 Z 的成绩将不是 D ” Z 说：“若 Y 的成绩得到 A ，则我将得到 B 若 X 的成绩不是得到 B ，则我也将不会得到 B ” 当期末考试的成绩公布，每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测请问这四位学生的成绩分别是什么？ 题库 教师版 2 8 【解析】 由于每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测，所以 X 说：“ W 的成绩将比 Z 好”是正确的，这样 W 将不可能得 D ， Z 不可能得 A 这样 Y 不可能得 C （否则 W 得 D ） 如果 W 得 A ，那么 Y 将 得 D 由于 X 的成绩不是得到 A ，那么 W 将得 C ，这与 W 得 A 矛盾所以 W 不得 A 如果 Y 得 A ，那么 Z 将得到 B 但这样 W 的成绩将不可能比 Z 好，矛盾所以 Y 不得 A 由于 W 、 Y 、 Z 均不得 A ，那么只有 X 得 A 如果 Y 得 B ，那么 Z 的成绩将不是 D 这样 Z 的成绩将是 C ， W 的成绩将是 D ，矛盾所以Y 不得 B 由于 Y 不得 A 、 B 、 C ，所以 Y 得 D 由于 W 的成绩比 Z 好，所以剩下的 B 和 C 只能是 W 得 B ， Z 得 C 所以 W 、 X 、 Y 、 Z 的成绩分别 是 B 、 A 、 D 、 C 【巩固】 一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问四人分别供述如下： 甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中” 乙说：“我没有作案，是丙偷的” 丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯” 丁说：“乙说的是事实” 经过 充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话 同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？ 【解析】 如果甲说的是假话，那么剩下三人中有一人说的也是假话，另外两人说的是真话可是乙和丁两人的观点一致，所以在剩下的三人中只能是丙说了假话，乙和丁说的都是真话即“丙是盗窃犯”这样一来，甲说的也是对的，不是假话这样，前后就产生了矛盾所以甲说的不可能是假话，只能是真话同理，剩下的三人中只能是丙说真话乙和丁说的是假话，即丙不是罪犯，乙是罪犯又由甲所述为真话，即甲不是罪犯再由丙所述为 真话，即丁是罪犯所以乙和丁是盗窃犯 【巩固】 四个小朋友宝宝、星星、强强和乐乐在院子里踢足球，一阵响声，惊动了正在读书的陆老师，陆老师跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打破了。陆老师问：“是谁打破了玻璃？” 宝宝说：“是星星无意打破的。” 星星说：“是乐乐打破的。” 乐乐说：“星星说谎。” 强强说：“反正不是我打破的。” 如果只有一个孩子说了实话，那么这个孩子是谁？是谁打破了玻璃？ 【解析】 因为星星和乐乐说的正好相反，所以必是一对一错，我们可以逐一假设检验。 假设星星说得对，即玻璃窗是乐乐打破的，那么强强也说对 了，这与“只有一个孩子说了实话”矛盾，所以星星说错了。 假设乐乐说对了，按题意其他孩子就都说错了。由强强说错了，推知玻璃是强强打破的。宝宝、星星确实都说错了。符合题意。 所以是强强打破了玻璃。 【巩固】 （ 2007 年春武汉明心奥数挑战赛） 5 名谋杀案的嫌疑人，在犯罪现场被警察询问，其中有一名是凶手下面 5 个人的供述中，只有 3 句是对的： A 说： D 是杀人犯； B 说：我是无辜的； C 说： E 不是杀人犯； D 说： A 在说谎； E 说： B 说的是实话 在这 5 个人中， 是凶手 题库 教师版 3 8 【解析】 B 与 E 判断相同，要么都对，要么都错 假设 B 与 E 都错，即凶手是 B ，那么 A 也错，就出现了 3 句错的，与“有 3 句是对的”矛盾所以 B 与 E 都是对的 余下的 3 人中还有 1 人判断是对的，由于 A 与 D 互相矛盾，所以这两个人中必有一个是对的，一个是错的，由于只有 3 句是对的，那么 C 必定是错的，所以 E 是凶手 【巩固】 (2008 年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛个人赛 )三位女孩 A 、 B 、 C 进行百米赛跑，裁判 D 、 E 、 F 在赛前猜测她们之间的名次。 D 说：“我猜 A 是第一名。” E 说：“我猜 C 不会是最后一名。” F 说：“我猜 B 不会是第一名。”成绩揭晓后已知恰只有一位裁判的猜测是正确的，请问哪位女孩得第一名？ 【解析】 假设 A 是第一名，那么 D 猜测正确， F 猜测正确，出现矛盾。假设 B 是第一名，那么 D 与 F 猜测错误，而当 C 为第二名时， E 猜测正确。假设 C 为第一名，那么 E 、 F 猜测正确，出现矛盾，所以第一名是 B 。 【巩固】 小强、小明、小勇三人参加数学竞赛，他们分别来自甲、乙、丙三个学校，并分别获得一、二、三等奖已知： 小强不是甲校选手； 小明不是乙校选手； 甲校的选手不是一等奖； 乙校的选手得二等奖； 小明不是三等奖 根据上述情况，可判断出小勇是 校的选手，他得的是 等奖 【解析】 甲校；三等奖 由、小明得的不是二等奖，由 知小明得的不是三等奖，所以小明得的是 、知小明是丙校的，由知小强是乙校的，所以小勇是甲校的，他得的是三等奖 【巩固】 甲， 乙，丙，丁四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别回答如下甲：“丙、丁两人中有人做了好事” 乙：“丙做了好事，我没做” 丙：“甲、丁中只有一人做了好事” 丁：“乙说的是事实”最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是事实，另两人说的与事 实有出入到底是谁做了好事？ 【解析】 我们用假设法来解决题目说四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入注意，此处的“与事实有出入”表示不完全与事实相符，比如，当乙、丙都做了好事，或乙、丙都没做好事，或乙做了好事而丙没做好事时 ，乙说的话都与事实有出入 因为乙与丁说的是一样的，所以只有两种可能，要么乙与丁正确，甲与丙错；要么乙与丁错，甲与丙正确 假设乙与丁说的话正确这时丙做了好事，甲说丙、丁两人中有人做了好事，甲说的话也正确，这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾所以假设错误 假设甲与丙说的话正确那么做好事的是甲与丙，或乙与丁，或丙与丁若做好事的是甲与丙，或丙与丁，则乙说的话也正确，与题意不符；若做好事的是乙与丁，则乙说的话与事实不符，符合题意综上所述，做好事的是乙与丁 【例 12】 甲、乙、丙 、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。甲说：“丙第 1 名，我第 3 名。”乙说：“我第 1 名，丁第 4 名。”丙说：“丁第 2 名，我第 3 名。”成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，你能说 出他们的名次吗？ 【解析】 我们以“他们每人只说对了一半”作为前提，进行逻辑推理。 假设甲说的第一句话“丙第 1 名”是对的，第二句话“我第 3 名”是错的。由此推知乙说的“我第 1 名”是错的，“丁第 4 名”是对的；丙说的“丁第 2 名”是错的，“丙第 3 名”是对的。这与假设“丙第 1 名是对的”矛盾，所以假设不成立。 再假设甲的第二句话“我第 3 名”是对的，那么丙说的第二句“我第 3 名”是错的，从而丙说的第一句话“丁第 2 名”是对的；由此推出乙说的“丁第 4 名” 是错的，“我第 1 名”是对的。至此可以排出名次顺序：乙第 1 名、丁第 2 名、甲第 3 名、丙第 4 名。 题库 教师版 4 8 【巩固】 编号分别为 1， 2， 3， 4 的四位同学参加了学校的 110 米栏比赛，获得了全校的前四名， 1 号同学说： “ 3号比我先到达终点 .” 得第三名的同学说： “ 1号不是第四名 .” 而 另一位同学说： “ 我们的号码与我们所得的名次都不相同 .” 聪明的同学们，你们能说出这四位同学各自所得到的名次吗？ 【解析】 从得第三名同学的话中可以推知： 1 号不是第三名，也不是第四名；而 1 号同学又说“ 3 号比我先到终点”，这说明 1 号同学不是第一名，这样我们可以得知 1 号同学是第二名，于是 3 号同学是第一名， 而另一位同学说：“我们的号码与我们所得的名次都不相同 .”，这样 4号不是第四名，只能是第三名，所以获得第四名的同学是 2号 . 【巩固】 在一次数学竞赛中， A ， B ， C ， D ， E 五位同学分别得了前五名（没有并列同一名次的），关于各人的名次大家作出了下面的猜测： A 说：“第二名是 D ，第三名是 B ” B 说：“第二名是 C ，第四名是 E ” C 说：“第一名是 E ，第五名是 A ” D 说：“第三名是 C ，第四名是 A ” 第二名是 B ，第五名是 D ”结果每人都只猜对了一半，他们的名次如何？ 【解析】 假设 A 猜的第一句是真的，那么 B 猜的第二句是真的，即第四名是 E ，那么 C 猜的“ E 是第一名”是错的， A 是第五名，那么 D 猜的 C 是第三名是对的，那么 B 就是第一名，从而 E 说的全是错的，所以假设不成立所以 A 猜 的第二句是真的，即 B 是第三名，那么 D 猜的第一句是错的，从而 以 C 猜的第二句是错的， E 是第一名，从而 B 猜的 C 是第二名是对的， E 猜的第五名是 D 正确，所以，第一名是 E ，第二名是 C ，第三名是 B ，第四名是 A ，第五名是 D 【例 13】 传说有个说谎国，这个国家的男人在星期四、五、六、日说真话，在星期一、二 、三说假话；女人在星期一、二、三、日说真话，在星期四、五、六说假话有一天，一个人到说谎国去旅游，他在那里认识了一男一女男人说： “ 昨天我说的是假话 ” ，女人说： “ 昨天也是我说假话的日子 ” 这下，那个外来的游人可发愁了，到底今天星期几呢？请同学们根据他们说的话，判断一下今天是星期几呢？ 【解析】 假设男人今天说的是真话，那么今天是星期四、五、六、日其中的一天，而且今天的前一天男人说的是假话，所以，根据男人的话，确定今天是星期四，所以女人说的话是假话，昨天也就是星期三女人说的是真话，符合题意，所以，今天是星期四 . 【巩固】 从 A， B， C， D， E， F 六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。根据挑选规则，参展产品满足下列要求：（ 1） A， B 两种产品中至少选一种；（ 2） A， D 两种产品不能同时入选；（ 3） A， E， 4） B， C 两种产品都入选或都不能入选；（ 5） C， D 两种产品中选一种；（ 6）若 D 种产品不入选，则 E 种也不能入选。 问：哪几种产品被选中参展？ 【解析】 用假设法。从条件（ 1）开始，有三种情况： 假设选 选，由（ 2）知 由（ 5）知 由（ 4）推知 C， 前面假设不选 设不成立。 假 设选 ，由（ 3）知选 E， F，由（ 6）知 由（ 5）知 C 不入选，再由（ 4）推知 B， C 都不入选，与假设选 设不成立。 假设 A， B 都入选，由（ 2）知 D 不入选，由（ 6）知 E 也不入选，再由（ 3）知 F 入选，由（ 4）知 C 入选。符合题意。因此， A， B， C， F 选中参展。 【例 14】 三年级一班新转来三名学生，班主任问他们三人的年龄刘强说： “ 我 12 岁，比陈红小 2 岁，比李丽大 1 岁 ” 陈红说： “ 我不是年龄最小的，李丽和我差 3 岁，李丽是 15 岁 ” 李丽说：“ 我比刘强年岁小，刘强 13 岁，陈红比刘强大 3 岁 ” 这三位学生在他们 每人说的三句话中，都有一句是错的请你帮助班主任分析出他们三人各是多少岁？ 【解析