反函数性质的应用

反函数性质的应用反函数性质的应用 中江城北中学 曾必亮 只有定义域和值域一一对应的函数才有反函数 反函数是由原函数派生出来的 它的 定义域 对应法则 值域完全由原函数决定 因此利用这一关系可以将原函数的问题与反 函数的问题相互转化 使问题容易解决 现在看一下反函数性质的应用 利用反函数的定义求函数的值域利用反函数的定义求函数的值域 例例 1 求函数 y 1 21 x x 的值域 分析分析 这种函数可以利用分离常数法或反函数法求值域 下面利用反函数法来求解 解 由 y 1 21 x x 得 y 2x 1 x 1 2y 1 x y 1 x 1 21 y y x 是自变量 是存在的 2y 1 0 y 1 2 故函数 y 1 21 x x 的值域为 y y 1 2 点评点评 形如 y axb cxd 的函数都可以用反函数法求它的值域 原函数与反函数定义域 值域互换的应用原函数与反函数定义域 值域互换的应用 例例 2 已知 f x 4 x 2 1x 求 f 1 0 分析分析 要求 f 1 0 只需求 f x 0 时自变量 x 的值 解 解 令 f x 0 得 4 x 2 1x 0 2 x 2 x 2 0 2 x 2 或 2 x 0 舍 x 1 故 f 1 0 1 点评 点评 反函数的函数值都可以转化为求与之对应的原函数的自变量之值 反之也成立 原函数与反函数的图像关于直线原函数与反函数的图像关于直线 y x 对称的应用对称的应用 例例 3 求函数 y 2 1 x x x 1 的图像与其反函数图像的交点 分析 分析 可以先求反函数 再联立方程组求解 也可以利用原函数与反函数的图像关于 直线 y x 对称求解 这里用后一种方法求解 只要原函数与反函数不是同一函数 它 们的交点就在直线 y x 上 解 解 由 2 1 x y x yx 得 0 0 x y 或 1 1 x y 原函数和反函数图像的交点为 0 0 和 1 1 点评 点评 利用利用原函数与反函数的图像关于直线 y x 对称的性质 可以简化运算 提 高准确率 但要注意原函数与反函数不能是同一函数 它们的交点才在直线 y x 上 原函数与反函数的单调性相同的应用原函数与反函数的单调性相同的应用 例例 4 已知 f x 2 x 1 的反函数为 f 1 x 求 f 1 x 1 得 f 1 x 中的 x 1 又 f 1 x 0 且 f x 2 x 1 在 R 上为增函数 f 1 fx f 0 x f 0 2 故 f 1 x 0 的解集为 x 1 x 2 点评 点评 利用原函数与反函数的单调性相同的性质 可以避免求反函数这一复杂的运算 从而减少了失误 原函数与反函数的还原性即原函数与反函数的还原性即 1 ff x x 及及 1 ffx x 的应用的应用 例例 5 函数 f x axb xc a b c 是常数 的反函数是 1 fx 31 2 x x 求 a b c 的值 分析分析 本题可以利用 1 ffx x 将反函数的条件转化为原函数的关系来应用 利 用恒等找到关于 a b c 的方程组 即可求解 解解 1 fx 31 2 x x 1 ffx 31 2 x f x 31 2 31 2 x ab x x c x A 3 2 3 12 ab xab cxc x 3a b x a 2b c 3 2 x 2c 1 x 30 321 20 c abc ab 2 1