一元二次方程应用讲义

个性化辅导讲义个性化辅导讲义 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 1 学生 学生 丁丁訸訸恺恺 科目 科目 数学数学 第第 阶段第阶段第 次课次课 教师 教师 谭前富谭前富 课课 题题 一元二次方程的应用一元二次方程的应用 教学目标教学目标 1 学会将实际问题转化为数学问题来解决学会将实际问题转化为数学问题来解决 2 运用设未知数 列方程的方法解决有关实际问题运用设未知数 列方程的方法解决有关实际问题 3 解决生活中的增长率 利润 面积及其他方面的问题解决生活中的增长率 利润 面积及其他方面的问题 重点 难点重点 难点 重点 列方程解应用题重点 列方程解应用题 难点 会用含未知数的代数式恰当的表示增长率问题 利润 面积等 难点 会用含未知数的代数式恰当的表示增长率问题 利润 面积等 教学内容教学内容 1 1 知识要点知识要点 列一元儿次方程解应用题在初中阶段主要有三类问题 1 变化率问题 2 市场营销中单价 销量 销售额以及利润之间的相互关系问题 3 根据图形中的线段长度 面积之间的相互关系建立方程的问题 重要提示 重要提示 1 增长率问题 若原数为 a 增长率为 x 则连续增长 n 次后为 a n x 1 2 利润问题 1 毛利润 售出价 进货价 2 纯利润 售出价 进货价 其他费用 3 利润率 x100 成本 利润 3 储蓄问题 1 利息 本金 X 年 月 利率 X 年 月 数 2 本息和 1 年 月 利率 X 年 月 数 X 本金 不计利息税 3 利息税 利息 X 税率 二 列方程解应用题的基本步骤 二 列方程解应用题的基本步骤 审 审题 找 找出题中的量 分清有哪些已知量 未知量 哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量 关系 相等关系 设 设元 包括设直接未知数或间接未知数 表 用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量 列 根据等量关系列方程 解 解方程 检验 注意根的准确性及是否符合实际意义 个性化辅导讲义个性化辅导讲义 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 10 三 例题指导三 例题指导 一 增长率问题一 增长率问题 例 1 恒利商厦九月份的销售额为 200 万元 十月份的销售额下降了 20 商厦从十一月份起 加强管理 改善经营 使销售额稳步上升 十二月份的销售额达到了 193 6 万元 求这两个月的平 均增长率 解 设这两个月的平均增长率是x 则根据题意 得 200 1 20 1 x 2 193 6 即 1 x 2 1 21 解这个方程 得x1 0 1 x2 2 1 舍去 答 这两个月的平均增长率是 10 说明 这是一道正增长率问题 对于正的增长率问题 在弄清楚增长的次数和问题中每一个数 据的意义 即可利用公式m 1 x 2 n求解 其中m n 对于负的增长率问题 若经过两次相等下降 后 则有公式m 1 x 2 n即可求解 其中m n 二 商品定价二 商品定价 例 2 益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品 该商品可以自行定价 若每件商品售价 a元 则可卖出 350 10a 件 但物价局限定每件商品的利润不得超过 20 商店计划要盈利 400 元 需要进货多少件 每件商品应定价多少 解 根据题意 得 a 21 350 10a 400 整理 得a2 56a 775 0 解这个方程 得a1 25 a2 31 因为 21 1 20 25 2 所以a2 31 不合题意 舍去 所以 350 10a 350 10 25 100 件 答 需要进货 100 件 每件商品应定价 25 元 说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题 也是各种考试的热点 三 储蓄问题三 储蓄问题 例 3 王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入 少儿银行 到期后将本金和 利息取出 并将其中的 500 元捐给 希望工程 剩余的又全部按一年定期存入 这时存款的年利 率已下调到第一次存款时年利率的 90 这样到期后 可得本金和利息共 530 元 求第一次存款时 的年利率 假设不计利息税 解 设第一次存款时的年利率为x 则根据题意 得 1000 1 x 500 1 0 9x 530 整理 得 90 x2 145x 3 0 解这个方程 得x1 0 0204 2 04 x2 1 63 由于存款利率不能为负数 所以将 x2 1 63 舍去 个性化辅导讲义个性化辅导讲义 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 1 答 第一次存款的年利率约是 2 04 说明 这里是按教育储蓄求解的 应注意不计利息税 四 面积计算四 面积计算 例 4 将一块长 18 米 宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园 阴影部分 所占的面积为原来荒 地面积的三分之二 精确到 0 1m 1 设计方案 1 如图 2 花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路 2 设计方案 2 如图 3 花园中每个角的扇形都相同 以上两种方案是否都能符合条件 若能 请计算出图 2 中的小路的宽和图 3 中扇形的半径 若 不能符合条件 请说明理由 解 都能 1 设小路宽为x 则 18x 16x x2 18 15 即x2 34x 180 0 2 3 解这个方程 得x 即x 6 6 34436 2 2 设扇形半径为r 则 3 14r2 18 15 即r2 57 32 所以r 7 6 2 3 说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积 面积公式 其原则是形变积不变 或形变 积也变 但重量不变 等等 五 动态几何问题五 动态几何问题 例 5 如图 4 所示 在 ABC中 C 90 AC 6cm BC 8cm 点P从点A出发沿边AC向 点C以 1cm s 的速度移动 点Q从C点出发沿CB边向点B以 2cm s 的速度移动 1 如果P Q同时出发 几秒钟后 可使 PCQ的面积为 8 平方厘米 2 点P Q在移动过程中 是否存在某一时刻 使得 PCQ的面积等于 ABC的面积的一半 若存在 求出运动的时间 若不存在 说明理由 解 因为 C 90 所以 AB 10 cm 22 ACBC 22 68 1 设xs 后 可使 PCQ的面积为 8cm2 所以 AP xcm PC 6 x cm CQ 2xcm 则根据题意 得 6 x 2x 8 整理 得x2 6x 8 0 解这个方程 得x1 2 x2 4 1 2 图 2 Q P C B A 图 4 图 3 个性化辅导讲义个性化辅导讲义 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 1 所以P Q同时出发 2s 或 4s 后可使 PCQ的面积为 8cm2 2 设点P出发x秒后 PCQ的面积等于 ABC面积的一半 则根据题意 得 6 x 2x 6 8 整理 得x2 6x 12 0 1 2 1 2 1 2 由于此方程没有实数根 所以不存在使 PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻 说明 本题虽然是一道动态型应用题 但它又要运用到行程的知识 求解时必须依据路程 速 度 时间 六 梯子问题六 梯子问题 例 6 一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上 梯子的底端距墙角 6m 1 若梯子的顶端下滑 1m 求梯子的底端水平滑动多少米 2 若梯子的底端水平向外滑动 1m 梯子的顶端滑动多少米 3 如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离 那么滑动的距离是多少米 解 依题意 梯子的顶端距墙角 8 m 22 106 1 若梯子顶端下滑 1m 则顶端距地面 7m 设梯子底端滑动xm 则根据勾股定理 列方程 72 6 x 2 102 整理 得x2 12x 15 0 解这个方程 得x1 1 14 x2 13 14 舍去 所以梯子顶端下滑 1m 底端水平滑动约 1 14m 2 当梯子底端水平向外滑动 1m 时 设梯子顶端向下滑动xm 则根据勾股定理 列方程 8 x 2 6 1 2 100 整理 得x2 16x 13 0 解这个方程 得x1 0 86 x2 15 14 舍去 所以若梯子底端水平向外滑动 1m 则顶端下滑约 0 86m 3 设梯子顶端向下滑动xm 时 底端向外也滑动xm 则根据勾股定理 列方程 8 x 2 6 x 2 102 整理 得 2x2 4x 0 解这个方程 得x1 0 舍去 x2 2 所以梯子顶端向下滑动 2m 时 底端向外也滑动 2m 说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动 梯子始终与墙上 地面构成直角三角形 四 同步训练四 同步训练 一 与增长率有关的应用题 个性化辅导讲义个性化辅导讲义 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 1 变化前数量 1x n 变化后数量 1 某房屋开发公司经过几年的不懈努力 开发建设住宅面积由 2000 年 4 万平方米 到 2002 年的 7 万平方米 设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为 x 则可列方程为 2 某地区开展 科技下乡 活动三年来 接受科技培训的人员累计达 95 万人次 其中第一年培训 了 20 万人次 求每年接受科技培训的人次的平均增长率 3 某户种植花生 原来种植的花生亩产量为 200 千克 出油率为 50 现在种植新品种花生后 每亩收获的花生可加工成花生油 132 千克 其中亩产量的增长率是花生出油率的增长率的 2 倍 求 新品种花生亩产量的增长率 4 宏欣机械厂生产某种型号的鼓风机 一月至六月份的产量如下 月 份一二三四五六 产量 台 505148505249 1 求上半年鼓风机月产量和平均数 中位数 众数 2 由于改进了生产技术 计划八月份生产鼓风机 72 台 与上半年月产量平均数相比 七 八月 鼓风机生产量平均每月的增长率是多少 5 云南省 2006 年至 2007 年茶叶种植面积与产茶面积情况如表所示 表格中的 分别为 2006 年和 2007 年全省茶叶种植面积 年 份种植面积 万亩 产茶面积 万亩 2006 年 2007 年 合 计 1 请求出表格中 的值 2 在 2006 年全省种植的产茶面积中 若平均每亩产茶 52 千克 为使我省 2008 年全省茶叶种植 个性化辅导讲义个性化辅导讲义 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 1 产茶总产量达到 22 万吨 求 2006 年至 2008 年全省年产茶总产量的平均增长率 精确到 0 01 说明 茶叶种植面积产茶面积未产茶面积 二 与商店商品涨降价有关的应用题 一件商品的利润 销售量 总利润 售价 进价 利润 单价 销售量 销售额 1 莲花商场将进价为 40 元的商品按 50 元的价格出售时 能卖出 500 个 已知该商品每涨价 1 元 其销售量就要减少 10 个 为了赚取 8000 元的利润 售价应定为多少元 这时应进货为多少个 2 某商场将进货为 30 元的台灯以 40 元的价格售出 平均每月能售出 600 个 调查表明 这种台 灯的售价每上涨 1 元 其销售量将减少 10 个 为了实现平均每月 10000 元的销售利润 这种台灯 的售价应定为多少 这时应进台灯多少个 3 每件商品的成本是 120 元 在试销阶段发现每件售价 元 与产品的日销售量 件 始终存在 下表中的数量关系 但每天的盈利 元 却不一样 为找到每件产品的最佳定价 商场经理请一位 营销策划员通过计算 在不改变每件售价 元 与日销售量 件 之间的数量关系的情况下 每件 定价为 x 元时 每日盈利可以达到最佳值 1600 元 请你做营销策划员 x 的值应为多少 每件售价 130150165 每日销售量 705035 4 某商场礼品柜台春节期间购入大量贺年卡 一种贺年卡平均每天可售出 500 张 每张盈利 0 3 元 为了尽快减少库存 商场决定采取适当的降价措施 调查发现 如果这种贺年卡的售价每降低 0 1 元 那么商场平均每天可多售出 100 张 商场要想平均每天盈利 120 元 每张贺年卡应降价多 个性化辅导讲义个性化辅导讲义 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 1 少元 5 商场销售一批名牌衬衫 平均每天可售出 20 件 每件盈利 40 元 为了扩大销售 增加盈利尽 快减少库存 商店采取适当降价 经调查发现 如果这种衬衫每件降价 1 元 商场平均每天可多售 出 2 件 若商场要想平均每天盈利 1200 元 那么每件衬衫应降价多少元 三 与几何有关的应用题 1 一个直角三角形的三边长是连续整数 求这三条边长 2 从前有一天 一个醉汉拿着竹竿进屋 横拿竖拿都进不去 横着比门框宽 4 尺 竖着比门框高 2 尺 另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿 这个醉汉一试 不多不少刚好进去了 你知道 竹竿有多长吗 请根据这一问题列出方程 3 在一个长为 550 米 宽为 30 米的矩形空地上 建造一花园 要求花园的面积占整块面积的 75 等宽且互相垂直的两条路的面积占 25 求路的宽度 四 与几何动点有关的应用题 1 如图 RT ABC 中 AC 6cm BC 8cm 点 P 从 A 点出发 沿 AC 方向以 1cm s 的速度向 C 点运动 点 Q 从 C 点出发沿 CB 方向以 2cm s 的速度向 B 运动 则出发多少 S 后 PCQ 的面积等于 8cm2 2 已知 如图所示 在 中 点 P ABC cm7cm 5 90 BCABB 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm s 的速度移动 点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向 个性化辅导讲义个性化辅导讲义 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 1 点 C 以 2cm s 的速度移动 1 如果 P Q 分别从 A B 同时出发 那么几秒后 PBQ 的面积等于 4cm2 2 如果 P Q 分别从 A B 同时出发 那么几秒后 PQ 的长度等于 5cm 3 如图 在 Rt ABC 中 AB BC 12cm 点 D 从点 A 开始沿边 AB 以 2cm s 的速度向点 B 移动 移动过程中始终保持 DE BC DF AC 问点 D 出发几秒后四边形 DFCE 的面积为 20cm2 4 如图 在矩形 ABCD 中 AB 6 cm BC 12 cm 点 P 从点 A 沿边 AB 向点 B 以 1cm s 的速度移动 同时 点 Q 从点 B 沿边 BC 向点 C 以 2cm s 的速度移动 问 1 几秒后 PBQ 的面积等于 8 cm2 2 几秒后 PQ DQ 3 PDQ 的面积能为 8cm2吗 为什么 5 如图 矩形 ABCD 中 AB 6cm BC 3cm 动点 P Q 分别从点 A D 出发 点 P 以 2cm s 的速度沿 AB 方向向点 B 移动 一直到达 B 为止 点 Q 以 1cm s 的速度沿 DA 方向向点 A 移动 如果 P Q 同 时出发 用 t s 表示移动的时间 0 t 3 那么 当 t 为何值 时 QAP 的面积等于 2cm2 6 如图 a b 所示 在 ABC 中 B 90 AB 6cm BC 8cm 点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm s 的 速度运动 点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm s 的速度运 动 1 如果 P Q 分别从 A B 同时出发 经过几秒钟 使 S PBQ 8cm2 P Q C BA D 个性化辅导讲义个性化辅导讲义 杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司 1 2 如果 P Q 分别从 A B 同时出发 并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进 Q 到 C 后又继续 在 CA 边上前进 经过几秒钟 使 PCQ 的面积等于 12 6cm2 友情提示 过点 Q 作 DQ CB 垂足 为 D 则 DQCQ ABAC 五 与银行利息有关的应用题 1 李先生将 1 万元人民币按一年定期存入银行 到期后将本金和利息又全部按一年定期存入银行 若存款的年利率不变 到期后得本金和利息一共 1 04