GPS定位问题数学建模

数学建模数学建模GPS定位问题定位问题 摘要摘要 本次建模中要解决根据 GPS 卫星位置来确定 GPS 信号接收机位置的问题 在本次建立的模型中主要用到的是点定位的数学模型 用码伪距进行点定位 再用 Matlab 编程解得地点位置 最后转换成其经度和纬度 对于问题一 我们采用 GPS 定位中单点定位的方法 单点定位利用一点采集的观 测数据和广播星历确定点的坐标 题目中假定了卫星所在的空间位置是准确值 因此不考虑广播星历 往往伪距方程解算的基本思路是将非线性观测方程进行 Taylor 级数展开至一阶 忽略二阶及以上的高阶项 得到线性观测方程 我们将 上面的每两个非线性观测方程相减消去二阶及以上的高阶项可得到个四元 4 2 C 一次方程 在此基础上派生出个线性方程组并用 6 4 C 2222 R i z i y i x 进行验证选择最符合的坐标 得到四个地点在地心空间直角坐标系的坐标是 2179 4373 4081 2174 3 4381 4090 2169 4410 1 4123 2159 4382 4 4142 3 再转换成经度和纬度就是 40 08 38 58167N 116 10 14 01669E 40 05 39 12131N 116 23 48 72859E 40 10 46 58408N 116 11 20 90291E 40 29 04 29791N 116 13 23 03773E 然后再在地图上标 出各个点的位置 对于问题二 由于添加了一个点 多出了一个数据 可以同样的继续采用上述 方法 只是每两个非线性观测方程相减消去二阶及以上的高阶项可得到个 5 2 C 四元一次方程 在此基础上派生出个线性方程组并用 10 4 C 进行验证选择最符合的坐标 2129 4361 4125 转换成经 2222 R i z i y i x 纬度 40 33 05 71354 N 116 01 10 64958 E 关键词关键词 点定位 码伪距 钟差 单点定位 MATALAB 编程 一 问题重述一 问题重述 全球定位系统 GPS 是美国国防部研制的导航定位授时系统 由 24 颗等 间隔分布在 6 个轨道面上20200 公里高度的卫星组成 GPS 用户从接收的 GPS 信 号可以得到足够的信息进行精密定位和定时 卫星所在的空间位置由卫星的轨 道参数确定 为简化问题 本题题目里假定它是准确值 题目中为了简化问题 假定卫星所在的空间位置是准确值 GPS 信号到达接收机的时间是由卫星上的 时钟 铯原子钟 和地面接收机上的时钟 低成本钟 决定 钟差是未知的 今给出了 4 颗卫星在地心空间直角坐标系上的 坐标 地心空间直角坐标系就是将坐标系的原点 O 与地球质心重合 Z 轴指向地球北极 X 轴指向经 度原点 E Y 轴垂直于 XOZ 平面构成右手坐标系 地球的半径 光速 以及 4 颗卫星的 GPS 信号到达 四个 GPS 接收机地点处的时间 根据 4 颗卫星在地心空间直角坐标系上的坐标 见表 A 1 以及 4 颗卫星的 GPS 信号到达四个 GPS 接收机地点处的时间见表 A 2 求得四个 GPS 接收 机地点处在地心空间直角坐标系上的坐标 然后将 坐标转换成经度与纬度 对于多于四颗卫星的问题 怎么建立一个更好的模型 才能精确的确定某 个地点的位置 并将其转化为经纬度在图中标出 对于多点定位问题 应该考 虑周全 误差值 偏差值 并使得每颗卫星都能准确的将其地位 二 问题分析二 问题分析 在问题一的求解上 已知四颗卫星的地心直角坐标系位置 并且知道每颗 卫星GPS信号到达每个地点的时间 由于卫星在发送时有时延 并且GPS接收仪 在接收的过程中也会有时延 但这题题目中假定了卫星所在的空间位置是准确 值 那我们就直接通过码伪距进行点定位 用派生出的线性方程组求解得到4个 GPS接收仪在地心空间直角坐标系上的坐标 并通过google地球在地图上标明位 置所在 对于第二问 在通常的情况下 地面的 GPS 接收机能收到 5 8 颗卫星的 信号 对于多于 4 颗卫星的情况 应该周全考虑派生出的个线性方程组 10 4 C 因此在模型一的基础上 在码伪距的测量上对其时间误差进行考虑 从而得到 并通过卫星坐标列出四个方程组成方程组 求得新加点的坐 i j Tc i k R 标 并在 google 地球上表明 特别要注意的是 在地球上 每个点的空间直角 坐标 x y z 都必须满足 R 为地球的半径 6371 公里 2222 R i z i y i x 我们将以这个式子来检验方程组解得的数据 三 模型假设三 模型假设 1 假设每一颗卫星的发送时延都是一样的 2 假设每一个 GPS 接收仪的接收时延都是一样的 3 假设每颗卫星到达每个地点的时间值天气状况一样 所得的结果都是准 确的 4 忽略 GPS 信号在传播过程中所收到的干扰 5 忽略大气层和电离层的残差对水平位置定位误差 6 假定单点定位的精度不受广播星历误差和钟信息 包括选择可用性误差 的限制 四 符号说明四 符号说明 符号说明 i k R 卫星 i 与测站 k 的码伪距观测值 接收机钟差和卫星钟差之差 c 光速 Xi Yi Zi 卫星在的地心坐标 i D 接收机和卫星之间的实际距离 i z i y i x 随机一致性指标 a 系数矩阵 b常数项矩阵 i j T 第 j 颗卫星到第 i 个地点的时间 i D 接收机和卫星之间的实际距离 R 地球半径 五五 模模型型分分析析 建建立立及及求求解解 5 1 用码伪距进行点定位 码伪距的观测方程可表示为 i j Tc i k R 为卫星 i 与测站 k 的码伪距观测值 c 为光速 为接收机钟差和卫星钟差之 i R 差 几何距离 i D 2 2 2 i zZi i yYi i xXi 并且满足 2222 R i z i y i x 根据以上可以列出地点位置关于卫星位置的关系等式 c i z i Z i y i Y i x i X 2 2 2 i j T 可列出第一个地点的 0 054354 458 299792 2 1 10100 2 1 15150 2 1 8747 zyx 0 0489226 458 299792 2 1 5228 2 1 16898 2 1 9756 zyx 0 0491307 458 299792 2 1 17494 2 1 10100 2 1 zyx 0 0489224 458 299792 2 1 14284 2 1 7142 2 1 12370 zyx 并用检验最后的结果 22 1 2 1 2 1 Rzyx 往往伪距方程解算的基本思路是将非线性观测方程进行 Taylor 级数展开至 一阶 忽略二阶及以上的高阶项 得到线性观测方程 我们将上面的每两个相减 消去二阶及以上的高阶项在此基础上派生出来的方法有解线性方程组 a 37006 3496 9744 1 0808e 009 17494 10100 14788 1 0434e 009 42234 16016 8368 1 0805e 009 5228 19512 18112 3 2355e 005 b 5 6125e 007 11415 5 4291e 007 7527 5 6109e 007 15211 1 5829e 004 3796 用 MATLAB 求解可以得到第一个地点在地心空间直角坐标系的坐标 1 1 1 zyx 大致为 2179 4373 4081 同样的方法可以得到剩下的三个地点的坐标分别是 2174 3 4381 4090 2169 4410 1 4123 2159 4382 4 4142 3 转换成经度和纬度 这四个地点就分别为 40 08 16 90161 N 116 10 14 30207 E 2 40 05 39 1213 N 116 23 48 72859 E 3 40 10 46 58408 N 116 11 20 90291 E 4 40 29 04 29791 N 116 13 23 03773 E 5 2 第二问 对于多于 4 颗卫星的情况 0 0547118 458 299792 2 5 10100 2 5 15150 2 5 8747 zyx 0 0489472 458 299792 2 5 5228 2 5 16898 2 5 9756 zyx 0 0489068 458 299792 2 5 17494 2 5 10100 2 5 zyx 0 0488635 458 299792 2 5 14284 2 5 7142 2 5 12370 zyx 0 0633407 458 299792 2 5 10100 2 5 15723 2 5 7669 zyx 用 MATLAB 求解可以得到第五个地点在地心空间直角坐标系大致为 2129 4361 4125 转换成经度和纬度 这个点就为 40 33 05 71354 N 116 01 10 64958 E 六六 模模型型评评价价 6 1缺点 1 伪距定位法是利用全球卫星定位系统进行导航定位的最基本的方法 其 基本原理是 在某一瞬间利用GPS接收机同时测定至少四颗卫星的伪距 根据 已知的卫星位置和伪距观测值 采用距离交会法求出接收机的三维坐标和时钟 改正数 伪距定位法定一次位的精度并不高 存在着误差 2 对于伪距的测量与计算中 某些时候忽略了时间的误差 造成数据的偏 差 3 对于点定位问题 往往考虑的更多的是点对点定位 却忽略了相互点