函数概念发展的四个重要时期

函数概念发展的四个重要时期 一 函数概念的萌芽时期 函数思想是随数学开始研究事物的运动变化而出现的 早期的数学是不研 究事物的运动变化的 古希腊数学家亚里斯多德曾指出 数学研究的是抽象的 概念 而抽象概念是来自事物静止不动的属性 例如数学中的数 线 形 这 些数学对象都不包括运动 运动变化是物理学研究物体的对象 等等 受其影 响 直到14世纪 数学家才开始研究物体的运动问题 到了16世纪 由于实践 的需要 自然科学转向对运动的研究 自然各种变化和各种变化着的量之间的 关系成为数学家注意的对象 伽利略是最早开展这方面研究的科学家之一 在 他的著作中多处使用比例的语言表达了量与量之间的依赖关系 例如从静止状 态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比 等等 这正是函数 概念所表达的思想意义 16世纪法国数学家笛卡尔在研究曲线问题时 注意到量的变化及量之间的 依赖关系 在数学中引时了变量思想 成为数学发展的里程碑 也为数函数的 产生准备了思想基础 但直到17世纪下半期 牛顿 莱布尼茨建立微积分时还没 有明确的函数概念 函数作为数学术语是由德国数学家莱布尼茨在1673年引进的 当时莱布尼 茨指的是曲线上的横坐标 纵坐标 切线的长度 垂结的长度等 凡与曲线上 的有关的量 称为函数 从这个定义可以看出 莱布尼茨利用了几何概念 在 几何的范围内提示了某些量之间的依存关系 总之 18世纪以前 函数的研究多从属于曲线的研究 带有 几何 烙印 的莱布尼茨的函数定义厅以说是这个时期函数思想发展的总结 二 函数概念的 解析定义 时期 18世纪微积分的发展促进了函数概念 解析定义的发展 出生于伯努利家 族的雅各 伯努利和约翰 伯努利两兄弟 在数学的许多领域有过建树 他们不 但整理加工了莱布尼茨零碎而又是梗概性的文章 而且他们对函数概念的发展 也做了创造性的工作 在研究积分计算问题上 约翰 伯努力认为 积分计算的 目的是给定变量的微分中 找出变量本身之间的关系 在对待 找出变量本身 之间的关系 的表示上 显然用莱布尼茨定义的函数表示是困难的 于是1718 年约翰 伯努利从解析的角度给出了函数的定义 变量的函数就是变量和常数以 任何方式组成的表达式 记作 X 或 其后 他对函数记号又作了改进 用 x 表示 x 的函数 记号 f x 是瑞士数学家欧拉于1734年引进的 欧拉是18世纪最伟大的数学家 他的研究涉及数学的许多领域 在欧拉时 代 主要运算关系是算术运算 三角运算 指数运算和对数运算 欧拉把由这 些运算结合起来的变量和常数而得到的式子称为解析表达式 在此基础上 欧 拉把伯努利的函数定义改进了一步 1748年欧拉在他的 无穷小分析引论 中 写到 变量的函数是一个解析表达式 它是这个变量和一些常数以任何方式组 成的 欧拉又称这种 解析函数 另外 欧拉在这部著作中还定义了多元函数 单值函数与多值函数 这对函数意义的认识起到很重要的作用 1750年左右 在研究弦振动问题时 欧拉发现所有的解析式都能用一条曲 线表示 但并不是所有的曲线都能用一条曲线来表示 又由于当时积分运算的 发展以及对椭圆积分的进一步认识 欧担意识到原的函数定义有些狭隘 于是 他相继给出了比上述定义更广泛的函数定义 若某些量以如下方式依赖于另一 些量 即当后者变化时前者也随之而变化 则称前量是后量的函数 函数概念虽经伯努利 欧拉等人的努力 其意义有了较大的扩展 但在当 时 人们对函数的认识普遍是 1 连续曲线所给的函数是连续函数 并一定能 由一个解析式来表示 2 把不连续的曲线或折线分成多条曲线或折线而建立 的函数 不是一个函数而是多个函数的集合 故绝不可能用一个解析式表示 能用一个式子表示的函数称作真函数 其余的都叫伪函数 3 基于对多项式 相等的认识 认为对区间 a b 上的一切值 恒有相同函数值的两个函数是相同 的 从而对 a b 以外的 x 的值 这两个函数的值也相待 4 只有周期性曲 线才能用周期函数 三角类 表示 对于上述认识 1807年中 法国数学家傅立叶在他的 热的分析理论 一 文中 举了如下例子来说明 由不连续的线给出的函数能用一个三角函数式来 表示 函数是不连续的 如果令 n 1 2 3 则此函数可用所得到的无穷多个子工 来表示 傅立叶还证明了这个不连续线可唯一地用 y 来表示 这说明 1 函数能否用唯一的一个式子 1 sin x 3 3sin x 5 5sin x 表示 作为区分函数的真伪的标准 显然是不合理的 2 直线 y 与式子 4 y 所表示的线 在 0 x 上是重合的 但在 x 2 1 sin x 3 3sin x 5 5sin x 上却完全不同 因而 以部分相等推知整个函数也相等的结论 显然是不成 立的 3 非周期曲线用周期函数来表示也是可以的 傅立叶的研究 对函 数的传统观念带来巨大冲击 这也是柯西等人寻求函数新定义的一个原因 1 三 函数概念的 对应定义 时期 基于他人对函数概念的认识和发展 1821年法国数学家柯西在函数的定义 中引入了 自变量 概念 他指出 依次取互不相同的值的量叫做变量 当变 量之间这样联系起来的时候 即给定了这些变量中一个的值 就可以决定所有 其他变量的值的时候 人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的 这时这 个量就取名为自变量 而由这自变量表示的其他量就叫做这个自变量的函数 按照这个定义 只要由自变量 x 的一个值就可以决定 y 的相应值 则 y 就 是 x 的函数 显然 这个函数定义比以往的要广泛得多 后来德国数学家狄利克 雷和黎曼注意到 重要的不是 自变 所引起的因变现象 应该是变量间的 对应 关系 1837年 狄利克雷给出了意义更广泛的函数定义 狄氏的函数定义 若对给定区间上 x 每个值 有唯一的一个 y 值与之对应 则称 y 是 x 的函数 狄利克雷上的述定义 成功地引进了 单值 对应这个概念 巧妙地避免 了过去函数定义中的不明确的 依赖关系 的描述 以清晰完美的方式表达了 变量间的依赖关系 被19世纪的数学家普遍接受 成为函数的近代定义的原型 按照这个定义可以清楚地解释函数 f x 为无理数当 为有理数当 x x 0 1 对于这个函数狄利克雷还巧妙地给出了它的极限形式 1杜炜 函数概念的发展历程 J 淮阳教育学院学报 2003 16 4 lim lim 2k KK xconnxF 四 函数概念的 集合定义 时期 19世纪70年代 康托的集合论诞生以前 函数的研究仅限于数的范围内 集合论的产生对函数概念的研究也突破了 数 的界限 20世纪初 美国数学 家维布伦首先使用集合给出了以下概念定义 1 变量定义 所谓变量 就是代 表事物的集合中任一事物的记号 2 常量定义 常量是变量的特殊情形 即 是上述集合中只含有一个事物时的变量 3 区域定义 变量 x 所代表的 事 物的集合 称为该变量的区域或变域 这组定义比以往使用的变量 区域的意义更一般 因为它突破了数的限制 并且这个变量定义还弥补了过去的变量包含的 变动 意思的不明确缺陷 利 用这组定义 维布伦给出了以下函数定义 若在变量 y 的集合与另一变量 x 的 集合之间 有这样的关系成立 即对 x 的每一个值 有完全确定的 y 值与之对 应 则称变量 y 是变量 x 的函数 后来数学家又注意到 对应 意义也不够明确 于是法国布尔巴基学派用 有序对 代替了 对应 提高了概念的准确性 从而也扩大函数的适用范围 布尔巴基的函数定义