北京市海淀区2016届高三期末练习(二模)数学（理）试题分析

2016 北京市海淀区高三二模理科数学试卷分析 历年高三二模的定位主要在查漏补缺和提升考生在面对接下来的高考的应试信心上，这一点我们不难从昨天西城二模试卷上看出。西城二模的导数选择了许久未考过的 渐近线问题，解析几何则选择了熟悉的向量点乘问题，难度较一模都有所下降 。除此之外 8、 14、 20 三道压轴题的考查也基本走的“善良”路线。 我们再来看看今天刚考完的海淀二模数学试卷，总体来说，难度较一模也有明显的下降，跟 2015 年高考基本持平。“求新”和“难度把控”是命题人永远无法逃避的两个词，也是命题难度之所 在。从这两点来说这次海淀二模试卷出的还是很成功的，试题主要以常规题为主，在 8、 14、 18、19、 20 几道题上都有一定量的创新，同时难度上也把控的相当不错。 这次海淀二模选择填空基础题考查的知识点跟高考基本一致，解答题中的 15、 16、 17 三道题也是如此，没有给考生设太多陷阱。在这些题上考生比较需要关注的还是自己的解题速度和准确率，为后面综合题的解答预留足够的时间。具体知识点上的问题我们这里就不再一一赘述。 回到选择填空的压轴题，选择压轴使用的直线与单位圆都是考生们常见的，但是本题角度非常巧妙，如果 同学们只是画出一个潦草的图形，很可能会做错。但是如果把题目中需要表示的量都计算出来，其实答案不难得出。世上无难事，只怕有心人啊。 再来看第 14 题，这次第 14 题依然是北京高考压轴题的常客立体几何，这次考查结合了常见的正方体的内容，题型不是很新颖，相信很多学生在平时的训练中遇到过很多相似的题。就算没有碰到过类似的，也对正方体这个立体图形非常熟悉。 这次 18 题的导数难度一般，第一问贯彻了一如既往的送分原则，第二问虽然问法比较新颖，但依然是对函数零点问题的考查，相信只要学生认真分析原函数及导函数的图像就 不难得到结论。 19 题解析几何，命题老师竟然也祭出了抛物线这种圆锥曲线。要知道，抛物线虽然同学们平时的练习少，但是计算量相比椭圆，可是大大的容易些。同学们可以小声在心里说声谢谢老师了。 海淀这次的第 20 题压轴也没有让我们失望，题目运用集合的知识来命题，也算是一种常见的考点。核心问题类似西城一模的压轴，平时在压轴题方面有所练习的同学，都可以轻松完成。 对于参加 2016 年高考的孩子们来说，高考备考现在已进入冲刺阶段，如何利用好这剩下的二十多天至关重要。我在这简单地提几个意见，希望对大家的备考有 所帮助： 1、调整好心态，不要过于紧张更不要过分放松自己，学习生活一切照常就可以； 2、保持“手感”，注意训练，训练题以北京历年的模拟题及高考真题为主，注意考试时间上的把控； 3、注意常规题型和“通法”的复习和巩固，尽量不要在北京高考鲜有考查的知识点及解题方法上花太多时间； 海淀区高三年级第二学期期末练习 （二模） 数学（理科） 试卷共 4 页 ， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分 。 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 。 | 1 , | 2 ,M x x P x x 则 ()U A. |1 2 B. | 1 C. | 2 D. | 1 2x x x或 列 ， 1 2a ，且 1( 1) a n a ，则 3a 的值为 3. 若点 (2,4)P 在直线 1,:3（ t 为参数）上，则 a 的值为 D. 1 中， 34c o s , c o s ,55则 ) A. 725925()(其中 0a )的展开式中， 2x 的系数与 3x 的系数相同，则 a 的值为 A. 2 B. 1 C. 1 ) f x x x 的零点个 数是 7. 如图，在等腰梯形 ， 8 , 4 , 4A B B C C D . 点 P 在 线段 运动，则 |B取值范围是 A.6,4 4 3 B.4 2,8 C.4 3,8 D.6,12 : 1 0l a x 与 ,直线 l 与圆 22:1O x y的交点为 , 给出下面三个结论： 11,2A O ； 1, | | | |a A B C D ； 11,2C O 则所有正确结论的序号是 A. B. C. D. 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9. 已知 2 1 i, 其中 i 为虚数单位， aR ，则 a _. 为了解全校高中同学五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100 名同学，统计他们假期参加实践活动的时间 , 绘成频率分布直方图（如图） . 则这 100 名同学中参加实践活动时间在 610 小时内的人数为 _ . 11. 如图， ,e 上的三点，点 D 是劣弧 点 B 的切线交弦 的延长线交 点 E . 若 80o ，则 _ 12. 若点 ( , )不等式组 2 0,2 0,1 所表示的平面区域内，则原点 O 到直线10ax 距离的取值范围是 _. 组 距D 3 ( , ) , ( , 1 ) , ( , 0 )6 2 4 2A B C，若这三个点中有且仅有两个点在函数 ( ) x x 的图象上，则 正数 的最小值为 _. 1 1A B C D A B C D的棱长为 1 ，点 P Q R， ， 分别是棱1 1 1 1 1A A A B A D， ，的中点，以 为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高_h . 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15. （本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) 2 s i n c o s 2f x x x . （ ）比较 ()4f， ()6 （ ）求函数 () 16.（本小题满分 13 分） 某家电专卖店试销 A、 B、 C 三种新型空 调，销售情况如下表所示： 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 A 型数量（台） 11 10 15 4数量（台） 10 12 13 4数量（台） 15 8 12 4 )求 A 型空调前三周的平均周销售量； ( )根据 C 型空调连续 3 周销售 情况，预估 C 型空 调连续 5 周的平均周销量为 10 台 . 请问：当 C 型空调周销售量的方差最小时， 求4C，5 (注：方差 2 2 2 2121 ( ) ( ) ( ) ns x x x x x L，其中 x 为1x，2x， ，平均数 ) （ ）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三 周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中 A 型空调台数 X 的分布列和数学期望 . 17.（本小题满分 14 分） 如图，等腰梯形 ， B 于 E ，B 于 F ，且 2A E B F E F， 2F和 分别沿 起，使 A 、 B 两点重合，记为点 M ，得到一 个四棱锥 M ，点G ， N ， H 分别是 ,D 中点 . （ ） 求证： 平面 （ ） 求证： N ； （ ） 求直线 平面 成的角的大小 . 18.（本小题满分 14 分） 已知函数 2( ) e ( )xf x x a x a . （ ）当 1a 时，求函数 () （ ）若关于 x 的不等式 ( ) 在 , )a 上有解，求实数 a 的取值范围； ( )若曲线 ()y f x 存在两条互相垂直的切线，求实数 a 的取值范围 .(只需直接写出结果 ) 19. （本 小题满分 13 分） 已知点 1 1 2 2( , ) , ( , ) (A x y D x 2)是曲线 2 4 ( 0 )y x y上的两点， ,x 轴上的射 影分别为点 , | | 2. （）当点 B 的坐标为 (1,0) 时，求直线 斜率； （）记 的面积为 1S ，梯形 面积为 2S ，求证：1214 . 20.（本小题满分 13 分） B | ( , , , , . . . , ) , 0 , 1 n i n x x x x x 12 ，1, 2 ， ，,其中 3n . ( , , , , . . . , )i n nX x x x x 12 , 称 X 的第 i 个坐标分 量 . 若 ，且满足如下两条性质： S 中元素个数不少于 4 个； ,X Y Z S，存在 1, 2 , ， ，使得 , 的第 m 个坐标分量都是 1； 则称 S 为n的一个好子集 . （ ）若 , , , S X Y Z W 为3的一个好子集，且 (1 , 1 , 0 ) , (1 , 0 , 1 )，写出 , （ ）若 S 为n的一个好子集，求证： S 中元素个数不超过 12n ； （ ） 若 S 为n的一个好子集且 S 中恰好有 12n 个元素时， 求证： 一定存在唯一一个 1, 2,., ，使得 S 中所有元素的第 k 个坐标分量都是 1. 海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案 数学（理科） 卷须知 : 示考生正确做到此步应得的累加分数。 一、 选择题（本大题共 8 小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D B C A C C 二、填空题（本大题共 6 小题 ,每小题 5 分， 共 30 分） 三、解答题 (本大题共 6 小题 ,共 80 分 ) 15解：（）因为 ( ) 2 s i n c o s 2f x x x 所以 ( ) 2 s i n c o s 2 24 4 4f 2 分 3( ) 2 s i n c o s 26 6 6 2f 4 分 因为 322 ,所以 ( ) ( )46 6 分 （ ）因为 2( ) 2 s i n ( 1 2 s i n )f x x x 9 分 22 s i n 2 s i n 1 2132 ( s i n )22x 令 s 1, 1 t x t ， 所以 2132 ( )22 , 11 分 因为对称轴 12t, 根据二次函数性质知，当 1t 时，函数取得最大值 3 13 分 9 1 10 58 12 1 ,1213 4 14 3216 解 : (I)A 型空调前三周的平均销售量 1 1 1 0 1 5 125x 台 2 分 （）因为 C 型空调平均周销售量为 10 台， 所以45 1 0 5 1 5 8 1 2 1 5 4 分 又 2 2 2 2 2 2451 ( 1 5 1 0 ) ( 8 1 0 ) ( 1 2 1 0 ) ( 1 0 ) ( 1 0 ) 5s c c 化简得到 2241 1 5 9 1 2 ( ) 5 2 2 5 分 因为4c N，所以当4 7c 或4 8c 时， 2s 取得最小值 所以当 4578或 4587时， 2s 取得最小值 7 分 （ ） 依题意，随机变量 X 的可能取值为 0,1,2 ， 8 分 2 0 2 5 5( 0 ) 3 0 4 0 1 2 , 1 0 2 5 2 0 1 5 1 1( 1 ) + =3 0 4 0 3 0 4 0 2 4 , 1 0 1 5 1( 2 ) 3 0 4 0 8 , 11 分 随机变量 X 的分布列为 随机变量 X 的期望 5 1 1 1 1 7( ) 0 1 21 2 2 4 8 2 4 . 13 分 X 0 1 2 p 51211241817 解 : （）证明：连结 E， . 在 中，因为 ,以 1 ， 1 分 又 1 , 所以 H P , 2 分 所以 平行四边形，所以 3 分 又 平面 平面 4 分 所以 面 5 分 （ ）证明：方法一： 在平面 ，过点 H 作 平行线 因为 ,D E E M D E E F ,E M E F EI 所以 平面 所以 平面 所以 又在 中，因为 E M M F E F，所以 F . 以 H 为原点， ,F 别为 ,建立空间直角坐标系 6 分 所以 31( 0 , 1 , 0 ) , ( 3 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 2 ) , ( , , 1 )22E M C N 7 分 所以 33( 3 , 1 , 0 ) , ( , , 1 )22E M C N u u u ur u u 8 分 所以 0N所以 N . 9 分 方法二： 取 点 K ，连接 ,K . 又 的中位线，所以 又 所以 所以 一个平面中 . 6 分 因为 是等边三角形，所以 K , 又 M ，所以 M , 7 分 且 N K F K KI ， 所以 平面 8 分 而 平面 所以 N . 9 分 （ ）因为 (0, 0, 2 )所以 0F 即 F , 又 N CI , 所以 平面 所以 是平面 法向量 . 11 分 又 31( , ,1)22设 平面 成的角为 ， 则有 31 222s i n | c o s , |222| | | |H G E E E M u u u r u u u u u r u u u u u u r u u u 13 分 所以 平面 成的角为 4. 14 分 18 解 : （ ）函数 () . 当 1a 时， ( ) e ( 2 ) ( 1 )xf x x x 2 分 当 x 变化时， ()() x ( , 2) 2 ( 2, 1) 1 ( 1+ )， () 0 0 () 极大值 极小值 Z 4 分 函数 () , 2) ， ( 1 ) ， ， 函数 () 2, 1) . 5 分 （）解：因为 ( ) 在区间 , )a 上有解， 所以 () , )a 上的最小值小于等于 因为 ( ) e ( 2 ) ( )xf x x x a , 令 ( ) 0,得122,x x a . 6 分 当 2a 时，即 2a 时， 因为 ( ) 0对 , ) 成立，所以 () , )a 上单调递增， 此时 () , )a 上的最小值为 ( ),所以 22( ) e ( ) a a a a ， 解得 112a ，所以此种情形不成立， 8 分 当 2a ，即 2a 时， 若 0a , 则 ( ) 0对 , ) 成立，所以 () , )a 上单调递增， 此时 () , )a 上的最小值为 ( ),以 22( ) e ( ) a a a a ， 解得 112a ，所以 102a. 9 分 若 0a ， 若 2a ，则 ( ) 0对 ( , )x a a成立， ( ) 0对 , ) 成立 . 则 () , )上单调递减，在 , )a 上单调递增， 此时 () , )a 上的最小值为 ( ), 所以有 22( ) e ( ) e ea a af a a a a a ，解得 20a ， 10 分 当 2a 时，注意到 , ) ,而 22( ) e ( ) e ea a af a a a a a ， 此时结论成立 . 11 分 综上， a 的取值范围是 1( , 2. 12 分 法二：因为 ( ) 在区间 , )a 上有解， 所以 () , )a 上的最小值小于等于 当 0a 时，显然 0 , )a ，而 ( 0 ) 0 e 成立， 8 分 当 0a 时 , ( ) 0对 , ) 成立，所以 () , )a 上单调递增， 此时 () , )a 上的最小值为 () 所以有 22( ) e ( ) a a a a ， 解得 112a ，所以 102a. 11 分 综上， 1( , 2a . 12 分 （ ） a 的取值范围是 2a . 14 分 19 解：（ ）因为 (1,0)B ，所以 1(1, ),入 2 4，得到 1 2y ， 1 分 又 | | 2，所以 212，所以 2 3x ， 2 分 代入 2 4，得到 1 23y ， 3 分 所以21212 3 2 312 . 5 分 （） 法一：设直线 方程为 y kx m. 则1 2 11 | ( ) | | | D O M S m x x m 7 分 由2 4y kx , 得 2 2 2( 2 4 ) 0k x k m x m , 所以2 2 212 2212 2( 2 4 ) 4 1 6 1 6 042k m k m k 9 分 又2 1 2 2 1 1 2 1 214( ) ( )2S y y x x y y k x m k x m k , 11 分 又注意到12 04，所以 0, 0， 所以12 1 2 4S m k mS y y ， 12 分 因为 1 6 1 6 0 ，所以 01,所以12144S . 13 分 法二： 设直线 方程为 y kx m. 由2 4y kx , 得 2 2 2( 2 4 ) 0k x k m x m , 所以2 2 212 2212 2( 2 4 ) 4 1 6 1 6 042k m k m k 7 分 2 2 21 2 1 2| | 1 | | 1 | | 2 1A D k x x k x x k , 8 分 点 O 到直线 距离为2|1, 所以1 1 | | | | | |2S A D d m m 9 分 又2 1 2 2 1 1 2 1 214( ) ( )2S y y x x y y k x m k x m k , 11 分 又注意到12 04，所以 0, 0， 所以12 1 2= 4S m k mS y y， 12 分 因为 1 6 1 6 0 ，所以 01,所以12144S . 13 分 法三： 直线 方程为22 , 6 分 所以点 A 到直线 距离为1 2 2 122|x y x 7 分 又 22|O D x y, 8 分 所以1 1 2 2 111| | | |22S O D d x y x y 又2 1 2 2 1 1 21 ( ) ( )2S y y x x y y ， 9 分所以 1 2 2 11 1 2 2 12 1 2 1 21 |2( ) 2 ( )x y x yS x y x yS y y y y 2212211 2 1 21 2 1 2| |442 ( ) 8 ( )y y yy y y y 10 分 因为 21122244, 所以 222 1 2 14 ( ) 8y y x x 11 分 代入得到， 221 1 2 1 2 1 2 1 222 1 2 1 2| | | |8 ( ) 8 ( )S y y y y y y y yS y y y y12212() 12 分 因为1 2 1 22y y y y, 当且仅当 12时取等号， 所以 1 1 22 1 2144S y yS y y. 13 分 20 解：（） (1 , 0