湖北省2011年高考数学 21题的一个证明及探究 理

1 20112011 年高考湖北理科数学年高考湖北理科数学 2121 题的一个证法及探究题的一个证法及探究 2011 年高考湖北理科 21 题 求函数 的最大值 1ln xxxf 设 都是正实数 ii ba ni 2 1 1 若 求证 nnn bbbbababa 212211 1 21 21 n b n bb aaa 2 若 求证 1 21 n bbb n b n bb bbb n 21 21 1 22 2 2 1n bbb 此题从学生熟悉的用导数求最值问题出发 入手容易 也符合考生对压轴题的惯性期 待 第 小题第 1 问用第 小题证明 也比较容易联想转化 但已经有了坡度 第 小题第 2 问又用第 小题第 1 问的结论证明 从问题建构上看 证明 策略应在情理之中 但联想转化的难度加大 问题的坡度更大 是区分考生的点睛之 笔 题目整体上环环相扣 层层递进 在达到整个试卷的高潮后收笔 令人流连忘返 回 味无穷 再看第 小题的结构 让人想到柯西不等式或排序不等式 笔者以为它又隐含高 中数学新课改的导向 只是柯西不等式和排序不等式都不能直接实现超越式向代数式的过 渡 所以难以另起炉灶证明题中的不等式 可以说此题设计实在是精妙之至 第 小题的结构也容易想到琴生 Jensen 不等式 下面笔者先照录琴生 Jensen 不等式 再给出用琴生 Jensen 不等式对第 小题的一个证明 琴生 Jensen 不等式 若函数 是区间上的上凸函数 0 xfI i b 且 则 ni 2 1 1 21 n bbb Ixi ni 2 1 2211nn xfbxfbxfb 2211nnx bxbxbf 第 小题的证明 1 欲证 只需证 1 21 21 n b n bb aaa 0lnlnln 2211 nn ababab 设 s 0 0 n bbb 21 s b c i i ni 2 1 1 21 n ccc 又由已知 1 2211 nnc acaca 因为函数 在 内是上凸函数 所以由琴生不等式得xln 0 2 lnlnlnln 2211 nn acacac 2211nnc acaca 01ln 两边乘以 s 即得 0lnlnln 2211 nn ababab 所以 1 21 21 n b n bb aaa 2 分两步证明 欲证 只需证 n b n bb bbb n 21 21 1 n bbb n b n bb 1 1 1 21 21 只需证 n b b b b b b n n ln 1 ln 1 ln 1 ln 2 2 1 1 因为函数 在 内是 上 凸函数 所以由琴生不等式得xln 0 111 ln 1 ln 1 ln 1 ln 2 2 1 1 2 2 1 1 n n n n b b b b b b b b b b b b nln 所以 n b n bb bbb n 21 21 1 欲证 只需证 n b n bb bbb 21 21 22 2 2 1n bbb nn bbbbbblnlnln 2211 ln 22 2 2 1n bbb 因为函数 在 内是 上 凸函数 所以由琴生不等式立得xln 0 上式成立 所以 n b n bb bbb 21 21 22 2 2 1n bbb 故原不等式成立 下面是琴生不等式的的一个推论 设 都是正实数 且 ii ba ni 2 1 则 1 21 n bbb n b n bb aaa 21 21nnb ababa 2211 用这个推论证第 小题就更直接了 就此搁笔 仍有不甘 整个考题设计从函数开始 受此函数图像的启发 我们作了如下1ln xxxf 的推广 求函数 的最大值 k x k xxf k 11 ln Nk 设 都是正实数 ii ba ni 2 1 Nk 3 1 若 求证 n k nn kk bbbababab 212211 1 21 21 n b n bb aaa 2 若 求证 1 21 n bbb n b n bb bbb n 21 21 1 k k n kk bbb 1 11 2 1 1 解 的定义域是 xf 0 x f 1 1 k x xx xk 1 0 1 f 时 0 时 0 有最大值 0 10 x x f 1 x x f xf 1 f 证明 1 欲证 只需证 1 21 21 n b n bb aaa 0lnlnln 2211 nn ababab 由 知 由条件得 所以 xln k x k k 11 i aln k a k k i 11 ii ab ln 相加得 i k ii b k ab k 11 ni 2 1 nn ababablnlnln 2211 0 k 1 212211n k nn kk bbbababab 所以 成立 1 21 21 n b n bb aaa 2 设 则 k i i nb a 1 1 ni 2 1 n k nn kk bbbababab 212211 11 由 1 的结论得 1 1 1 1 1 b k nb 2 1 1 2 b k nb n b k n nb 1 1 即 1 1 1 1 b nb 2 1 2 b nb n b n nb 1 k 1 1 1 1 1 b nb 2 1 2 b nb n b n nb 1 1 nn b n bbbbb bbbn 2121 21 1 因为 1 21 n bbb 4 所以 n b n bb bbb n 21 21 1 再设 则同样有 11 2 1 1 k n kk bbbs k k i i s b a 1 ni 2 1 由 1 得 n k nn kk bbbababab 212211 11 1 i b k k s b 1 1 2 1 2b k k s b n b k k n s b 1 所以 n b n bb bbb 21 21 k s 1 k k n kk bbb 1 11 2 1 1 故原不等式成立 当时 即得原考题 1 k 由函数 在 内是下凸的 当 时 用琴