浙江省瑞安市安阳镇上望一中七年级数学 第10讲 全等三角形及其应用教学案（教师版）

用心 爱心 专心1 第第 1010 讲讲 全等三角形及其应用全等三角形及其应用 知识精读知识精读 1 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形 两个全等三角形 中 互相重合的顶点叫做对应顶点 互相重合的边叫对应边 互相重合的角叫对应角 2 全等三角形的的性质 全等三角形的对应边相等 对应角相等 3 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析 可以看出其中一个是由 另一个经过下列各种运动而形成的 翻折 如图 1 BOC EOD BOC 可以看成是由 EOD 沿直线 AO 翻折 180 得到的 旋转 如图 2 COD BOA COD 可以看成是由 BOA 绕着点 O 旋转 180 得到的 平移 如图 3 DEF ACB DEF 可以看成是由 ACB 沿 CB 方向平行移动而得到的 4 判定三角形全等的方法 1 边角边公理 角边角公理 边边边公理 斜边直角边公理 2 推论 角角边定理 5 注意问题 1 在判定两个三角形全等时 至少有一边对应相等 2 不能证明两个三角形全等的是 a 三个角对应相等 即 AAA b 有两边和其中一 角对应相等 即 SSA 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具 同时也是移动图形位置的工具 在 平面几何知识应用中 若证明线段相等或角相等 或需要移动图形或移动图形元素的位置 常常需要借助全等三角形的知识 分类解析分类解析 全等三角形知识的应用 1 证明线段 或角 相等 例 1 如图 已知 AD AE AB AC 求证 BF FC 分析 由已知条件可证出 ACD ABE 而 BF 和 FC 分别位于 DBF 和 EFC 中 因此先证明 ACD ABE 再证明 DBF ECF 既可以得到 BF FC 用心 爱心 专心2 练习 练习 1 已知 如图 CD AB于点D BE AC于点E BE CD交于点O 且AO平分 BAC 求证 OB OC 如图 2 B C 90 M 是 BC 的中点 DM 平分 ADC 求证 AM 平分 DAB 证明 证明 过 M 作 MG AD 于 G DM 平分 ADC MC DC MG AD MC MG 在角的平分线上的点到角的两边距离相等 MC MB MG MB 而 MG AD MB AB M 在 ADC 的平分线上 到一个角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 DM 平分 ADC 说明 本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件 MG MB 同时要注意不必证明三角形全等 否则就是重复判定定理的证明过程 2 证明线段相互垂直 例 2 已知 如图 A D B 三点在同一条直线上 ADC BDO 为等腰三角形 AO BC 的大小关系和位置关系分别如何 证明你的结论 C BA O E D 分析 本题没有直接给出待证的结论 而是让同学们先根据已知条件推断出结论 然 后再证明所得出的结论正确 通过观察 可以猜测 AO BC AO BC 证明 延长 AO 交 BC 于 E 在 ADO 和 CDB 中 图 3 M D C B A 用心 爱心 专心3 AD DC ADO CDB 90o OD DB ADO CDB SAS AO BC OAD BCD 全等三角形对应边 对应角相等 AOD COE 对顶角相等 COE OCE 90o AO BC 3 证明线段平行 例 3 已知 如图 DE AC BF AC 垂足分别为 E F DE BF AF CE 求证 AB CD DC BA E F 分析 要证 AB CD 需证 C A 而要证 C A 又需证 ABF CDE 由已知 BF AC DE AC 知 DEC BFA 90 且已知 DE BF AF CE 显然证明 ABF CDE 条件已具备 故可先证两个三角形全等 再证 C A 进一步证明 AB CD 4 构造全等三角形解决周长问题 例 4 已知如图4 ABC 是边长为 1 的等边三角形 BDC 是顶角 BDC 为 120 的等腰三角形 以 D 为顶点作一个 60 的角 它的两边分别交 AB 于 M 交 AC 于 N 连结 MN 求证 的周长等于 2 AMN D M C N A M B 图4 分析 分析 欲证的周长等于 2 需证明它等于等边的两边的长 只需证 AMN ABC 采用旋转构造全等的方法来解决 MNBMCN 证明 以点 D 为旋转中心 将顺时针旋转 120 点 B 落在点 C 的位置 点 M DBM 落在 M 点的位置 得 MBD NCD 90 N 图 4 M D C B A 用心 爱心 专心4 Rt MBDRt M CD DCMDBM 90 NCD 与 DCM 构成平角 且 BM CM DM DM NDM NDC CDM NDC BDM 120 60 60 在和中 MDN M DN DMDMMDNM DNDNDN 60 MDNM DN SAS MNM N M NM CCNBMCN MNBMCN 的周长 AMN AMANMNAMANBMCNABAC2 说明 通过旋转 使已知图形中的角 线段充分得到利用 促进了问题的解决 5 证明线段的倍半关系 可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等 例 5 如图 在 ABC 中 AB AC 延长 AB 到 D 使 BD AB 取 AB 的中点 E 连接 CD 和 CE 求证 CD 2CE 分析 折半法 取 CD 中点 F 连接 BF 再证 CEB CFB 这里注意利用 BF 是 ACD 中位线这个条件 证明 取 CD 中点 F 连接 BF BF AC 且 BF AC 三角形中位线定理 1 2 ACB 2 两直线平行内错角相等 又 AB AC ACB 3 等边对等角 3 2 在 CEB 与 CFB 中 BF BE 3 2 CB CB CEB CFB SAS 用心 爱心 专心5 CE CF CD 全等三角形对应边相等 1 2 即 CD 2CE 加倍法 证明 延长 CE 到 F 使 EF CE 连 BF AEBD C F 4 1 23 在 AEC 与 BEF 中 AE BE 1 2 对顶角相等 CE FE AEC BEF SAS AC BF 4 3 全等三角形对应边 对应角相等 BF AC 内错角相等两直线平行 ACB CBF 180o ABC CBD 180o 又 AB AC ACB ABC CBF CBD 等角的补角相等 在 CFB 与 CDB 中 CB CB CBF CBD BF BD CFB CDB SAS CF CD 即 CD 2CE 说明 关于折半法有时不在原线段上截取一半 而利用三角形中位线得到原线段一半 的线段 例如上面折道理题也可这样处理 取 AC 中点 F 连 BF 如图 B 为 AD 中点是利 用这个办法的重要前提 然后证 CE BF 题型展示 题型展示 例 1 如图 ABC中 C 2 B 1 2 求证 AB AC CD 用心 爱心 专心6 分析 在AB上截取AE AC 构造全等三角形 AED ACD 得DE DC 只需证 DE BE问题便可以解决 证明 在AB上截取AE AC 连结DE AE AC 1 2 AD AD AED ACD DE DC AED C AED B EDB C 2 B 2 B B EDB 即 B EDB EB ED 即ED DC AB AC DC 剖析 证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种 一种是截长法 即在 长线段上截取一段等于两条短线段的一条 再证余下的部分等于另一条短线段 如作 AE AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性 构造全等三角形 另一种方法是补短法 即延长一条短线段等于长线段 再证明延长的部分与另一条短线段相等 其目的是把 证明线段的和差转化为证明线段相等的问题 实际上仍是构造全等三角形 这种转化图形 的能力是中考命题的重点考查的内容 5 5 中考点拨 中考点拨 例 1 如图 在 ABC中 AB AC E是AB的中点 以点E为圆心 EB为半径画弧 交BC 于点D 连结ED 并延长ED到点F 使DF DE 连结FC 求证 F A 分析 证明两个角相等 常证明这两个角所在的两个三角形全等 在已知图形中 A F不在全等的两个三角形中 但由已知可证得EF AC 因此把 A通过同位角转到 BDE中的 BED 只要证 EBD FCD即可 证明 AB AC ACB B EB ED ACB EDB ED AC BED A BE EA 用心 爱心 专心7 BD CD 又DE DF BDE CDF BDE CDF BED F F A 说明 证明角 或线段 相等可以从证明角 或线段 所在的三角形全等入手 在寻 求全等条件时 要注意结合图形 挖掘图中存在的对项角 公共角 公共边 平行线的同 位角 内错角等相等的关系 例 2 如图 已知 ABC 为等边三角形 延长 BC 到 D 延长 BA 到 E 并且使 AE BD 连接 CE DE 求证 EC ED BCD E F A 分析 把已知条件标注在图上 需构造和 AEC 全等的三角形 因此过 D 点作 DF AC 交 BE 于 F 点 证明 AEC FED 即可 证明 过 D 点作 DF AC 交 BE 于 F 点 ABC 为等边三角形 BFD 为等边三角形 BF BD FD AE BD AE BF FD AE AF BF AF 即 EF AB EF AC 在 ACE 和 DFE 中 EF AC 已证 EAC EDF 两直线平行 同位角相等 AE FD 已证 AEC FED SAS EC ED 全等三角形对应边相等 实战模拟实战模拟 1 下列判断正确的是 A 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B 有两边对应相等 且有一角为 30 的两个等腰三角形全等 C 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 用心 爱心 专心8 D 有两角和一边对应相等的两个三角形全等 3 如图 已知 C 为线段 AB 上的一点 ACM 和 CBN 都是等边三角形 AN 和 CM 相交于 F 点 BM 和 CN 交于 E 点 求证 CEF 是等边三角形 A B C M N E F 1 2 5 如图 在等腰 Rt ABC中 C 90 D是斜边上AB上任一点 AE CD于 E BF CD交CD的延长线于F CH AB于H点 交AE于G 求证 BD CG 用心 爱心 专心9 试题答案试题答案 1 D 2 证明 AO平分 ODB CD AB于点D BE AC于点E BE CE交于点O OD OE ODB OEC 90 BOD COE BOD COE ASA OB OC 3 分析 由 ACM BCN 60 知 ECF 60 欲证 CEF 是等边三角形 只要证明 CEF 是 等腰三角形 先证 CAN MCB 得 1 2 再证 CFN CEB 即可推得 CEF 是等边三角形 的结论 FCN ECB 60 1 2 CN CB CFN CEB CF CE 又 ECF 60 CEF 是等边三角形 5 分析 由于BD与CG分别在两个