山东省莱芜市2012届高考数学4月模拟试题 理 新人教A版

用心 爱心 专心 1 理理 科科 数数 学学 第 卷 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 已知全集 集合 则等于UR 13 Axx 2 Bx x U AB A B C D 12 xx 12 xx 12 xx 13 xx 答案 A 解析 所以 选 2 xxBCU 21 2 31 xxxxxxBCA U A 2 的值等于 20 cos 3 A B C D 1 2 3 2 1 2 3 2 答案 C 解析 选 C 2 1 3 cos 3 2 cos 3 2 6cos 3 20 cos 3 20 cos 3 设是两个命题 p q 1 0 21 1 x pqxpq x 则是 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 答案 B 解析 由 解得 由得 即 0 1 x x 01 x112 x1121 x01 x 所以是的必要不充分条件 pq 4 设 若 则下列不等式中正确的是 a b R 0ba A B C D 0ab 0ab 22 0ab 33 0ab 答案 B 解析 由得 若 有 所以 若 0 ab0 ab0 a0 ab0 ba0 a 则有 所以 综上恒有 选 B ab 0 ba0 ba 5 函数的零点所在的区间是 lne x f xx A B C D 1 0 e 1 1 e 1 ee 答案 A 解析 当时 0 1 ef01 e eef01 1 1 e e e f0 x 所以答案选 A 0 xf 6 已知向量 设 若 则实数的值是 1 2 a 0 1 b 2uakb vab u v k A B C D 7 2 1 2 4 3 8 3 答案 B 解析 因为 所以 3 2 1 0 2 1 2 v 2 1 1 0 2 1 kku u v 用心 爱心 专心 2 解得 选 B 031 2 2 k 2 1 k 7 已知函数 将的图象上各点的横坐标缩短为原来的 2 sin22cos1f xxx f x 倍 纵坐标不变 再将所得图象向右平移个单位 得到函数的图象 则函2 4 yg x 数的解析式为 yg x A B 2sing xx 2cosg xx C D 3 2sin 4 4 g xx 2cos4g xx 答案 C 解析 函数 将的图象上各点的横坐标缩 4 2sin 22cos2sin xxxxf f x 短为原来的倍 纵坐标不变 得到函数为 再将所得图象向右平移2 4 sin 2 xy 个单位得到函数 4 xxysin2 4 4 sin 2 8 定义运算 则函数的图象大致为 a ab a b b ab 1 2 x f x A B C D 答案 A 解析 由定义知 所以图象为 A 0 2 0 1 x x xf x 9 若设变量x y满足约束条件 则目标函数的最大值为 1 4 2 xy xy y 24zxy A 10 B 12 C 13 D 14 答案 C x y O 1 x y O 1 x y O 1 x y O 1 用心 爱心 专心 3 解析 10 已知函数 21 0 1 0 x x f xf xxa f xx 若方程有且只有两个不相等的实数根 则实数a的取值范围为 A 0 B 0 1 C 1 D 0 答案 C 解析 做出函数的图象如图 由图象可知当直线 xf 为时 直线与函数只要一个交点 要使直线与函数有两个交点 则需要1 xy xf 把直线向下平移 此时直线恒和函数有两个交点 所以 选 C 1 xy xf1 a 11 设m n是不同的直线 是不同的平面 有以下四个命题 1 2 m m 3 m m 4 mn m n 其中正确的是 A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 2 4 答案 B 解析 根据面面平行的性质可知 1 正确 排除 C D 根据线面垂直的性质 可知 3 正确 所以选 B 12 定义域为 a b 的函数图像的两个端点为 A B M x y 是图象上任意 yf x f x 一点 其中 已知向量 若不等式 1 xaba b 1 ONOAOB 恒成立 则称函数上 k 阶线性近似 若函数在 MNk f xa b在 1 yx x 1 2 上 k 阶线性近似 则实数 k 的取值范围为 用心 爱心 专心 4 A B C D 0 1 12 3 2 2 3 2 2 答案 D 解析 因为定义域为 所以 M 点的横坐标为 因为 2 1 2 1 2x21 x 所以 解得 所以点 M 的坐标为 A 点的221 10 2 1 2 2 坐标为 B 点的坐标为 又 所以 0 1 2 3 2 OBOAON 1 所以 N 点的坐标为 1 2 3 2 2 3 2 1 0 1 ON 所以 所 1 2 3 2 2 1 2 1 2 1 0 1 2 3 2 1 2 0 NM 以 又 2 1 2 1 2 1 NM 2 3 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 当且仅当 即 2 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 2 3 2 1 2 2 2 1 2 2 时 去等号 所以 选 D 2 2 2 22 2 2 3 k 第第 卷 共卷 共 9090 分 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示 单位 cm 则正三棱锥的体积为 此题少图 3 cm 答案 1 4 解析 14 函数 2 01 212 xx f x xx 的图像与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 答案 5 6 解析 6 5 2 1 2 3 1 2 2 1 21 0 3 2 1 1 0 2 2 0 xxxdxxdxxdxxf 15 已知F1 F2分别是双曲线的左 右焦点 P为双曲线上的一 22 22 1 0 0 xy ab ab 点 若 且的三边长成等差数列 则双曲线的离心率是 12 90FPF 12 FPF 答案 5 解析 设 则 xPF 2 1 yxyPF axy2 用心 爱心 专心 5 又为等差数列 所以 整理得 代入cyx2 ycx22 acy acx 22 42 整理得 解得 所以双曲线的离心率为 222 4cyx 065 22 cacaac5 5 a c e 16 定义在上的偶函数 1 f xf xf x 满足且在 1 0 上是增函数 给出下R 列关于 f x的判断 f x是周期函数 f x关于直线1x 对称 f x是 0 1 上是增函数 f x在 1 2 上是减函数 2 0 ff 其中正确的序号是 把你认为正确的序号都写上 答案 解析 由得 所以函数为周期为 2 的周期函数 1 xfxf 2 xfxf xf 所以 正确 且 所以 正确 因为函数为偶函数 所以图象关于 0 2 ff xf 轴对称 所以在上递减 所以 错误 同时有 y 1 0 1 xfxfxf 所以有 所以函数关于对称 所以函数在为 1 1 xfxf xf1 x xf 2 1 增函数 所以 错误 所以正确的序号为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 17 本小题满分 12 分 已知数列 n a的前n项和为 n S 1 1 a 且323 1 nn Sa n为正整数 求出数列 n a的通项公式 若对任意正整数n n Sk 恒成立 求实数k的最大值 答案 18 本小题满分 12 分 已知的三个内角所对的边分别为a b c 向量 ABC CBA mac ba 且 nac b nm 求角的大小 C 若向量 试求的取值范围 2 cos2 cos 1 0 2B Ats ts 答案 19 本小题满分 12 分 某机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床 并立即投入生产使用 计划第一年维 修 保养费用 12 万元 从第二年开始 每年所需维修 保养费用比上一年增加 4 万元 该 机床使用后 每年的总收入为 50 万元 设使用x年后数控机床的盈利额为y万元 写出y与x之间的函数关系式 从第几年开始 该机床开始盈利 盈利额为正值 答案 用心 爱心 专心 6 1 F 2 F x y A O B 20 本小题满分 12 分 已知四棱锥底面ABCD是矩形 PABCD PA 平面ABCD AD 2 AB 1 E F分别是 线段AB BC的中点 证明 PF FD 在PA上找一点G 使得EG 平面PFD 若与平面所成的角为 PBABCD45 求二面角的余弦值 APDF 答案 21 本题满分 12 分 设椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C的左 右焦点 分别为 21 FF 上顶点为A 在x轴负半轴上有一点B 满足 211 FFBF 且 2 AFAB 求椭圆C的离心率 D是过 2 FBA 三点的圆上的点 D到直线 033 yxl 的最大距离等于椭圆长轴的长 求椭圆C的方程 在 2 的条件下 过右焦点 2 F作斜率为k的直线l与椭圆C交于NM 两点 在 x轴上是否存在点 0 mP使得以PNPM 为邻边的平行四边形是菱形 如果存在 求出 m的取值范围 如果不存在 说明理由 答案 22 本小题满分 14 分 已知函数 2 ln f xxaxx a R 若函数在 1 2 上是减函数 求实数a的取值范围 f x 令是否存在实数a 当 e 是自然常数 时 函数 2 g xf xx 0 ex 的最小值是 3 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 g x 当时 证明 0 ex 22 5 e 1 ln 2 xxxx 答案 理科数学答案理科数学答案 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 ACBBA BCACC BD 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分分 13 14 15 5 16 1 4 5 6 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7474 分 分 17 解 1 323 1 nn Sa 当2 n时 323 1 nn Sa 由 得0233 1 nnn aaa 3 1 1 n n a a 2 n 又 1 1 a 323 12 aa 解得 3 1 2 a 用心 爱心 专心 7 数列 n a是首项为 1 公比为 3 1 q的等比数列 1 1 1 3 1 n n n qaa n为正整数 6 分 2 由 知 n n S 3 1 1 2 3 由题意可知 对于任意的正整数n 恒有 n k 3 1 1 2 3 数列 n 3 1 1单调递增 当1 n时 该数列中的最小项为 3 2 必有1 k 即实数k的最大值为 1 12 分 18 解 由题意得 2 分 222 0m nac baac bacbab 即 3 分 abbac 222 由余弦定理得 2 1 2 cos 222 ab cba C 5 分 3 0 CC 6 分 cos cos 1 2 cos2 cos 2 BA B Ats 2 2222 2 coscoscoscos 3 stABAA 8 分 4 1 cos 2 1 cos213 3 cos2sin21 2244 A A AA 10 分 1 sin 2 1 26 A 6 7 6 2 6 3 2 0 AA 1 sin 2 1 26 A 所以 故 12 分 2 15 24 st 25 22 st 19 解 第二年所需维修 保养费用为 12 4 万元 第x年所需维修 保养费用为 3 分124 1 x 48x 维修 保养费用成等差数列递增 依题得 用心 爱心 专心 8 x 6 分 2 1248 509824098 2 xx yxxx N 由 可知当时 开始盈利 8 分0y 解不等式 2 240980 xx 得 10 分10511051x 3 17 故从第 3 年开始盈利 12 分x N x 20 解 证明 连接AF 则AF DF 22 又AD 2 DF2 AF2 AD2 DF AF 又PA 平面ABCD DF PA 又PA AF A 4 分 DFPAF DFPF PFPAF 平 平平 平 平 平平 平 过点E作EH FD交AD于点H 则EH 平面PFD且AH AD 1 4 再过点H作HG DP交PA于点G 则HG 平面PFD且AG AP 1 4 平面EHG 平面PFD EG 平面PFD 从而满足AG AP的点G为所求 8 分 1 4 建立如图所示的空间直角坐标系 因为PA 平面ABCD 所以是与平PBA PB 面所成的角 ABCD 又有已知得 所以 所以45PBA 1PAAB 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 ABFDP 设平面的法向量为 由PFD nx y z 0 0 n PF n DF 得 令 解得 0 0 xyz xy 1z 1 2 xy 所以 1 1 1 2 2 n 又因为 ABPAD 平面 所以是平面的法向量 AB PAD 易得 1 0 0AB 用心 爱心 专心 9 所以 1 6 2 cos 611 1 44 AB n AB n ABn 由图知 所求二面角的余弦值为 12 分APDF 6 6 21 解 设B x0 0 由 2 F c 0 A 0 b 知 02 bxABbcAF c b xbcxABAF 2 0 2 02 0 由于 211 FFBF 即 1 F为 2 BF中点 故cc c b 2 2 2222 3cacb 故椭圆的离心率 2 1 e 4 分 由 1 知 2 1 a c 得ac 2 1 于是 2 F 2 1 a 0 B 0 2 3 a ABF的外接圆圆心为 2 1 a 0 半径r 2 1 FB a D到直线033 yxl的最大距离等于 所以圆心到直线的距离为 2aa 所以a a 2 3 2 1 解得a 2 c 1 b 3 所求椭圆方程为1 34 22 yx 8 分 由 2 知 0 1 2 F l 1 xky 1 34 1 22 yx xky 代入得 01248 43 2222 kxkxk 设 11 yxM 22 yxN 则 2 2 21 43 8 k k xx 2 2121 xxkyy 9 分 2211 ymxymxPNPM 2 2121 yymxx 用心 爱心 专心 10 由于菱形对角线垂直 则 PNPM0 MN 故02 2121 mx