浅谈度量空间

1 度 量 空 间 摘要摘要 度量空间是一类特殊的拓扑空间 并且它是理解拓扑空间的一个重要过 程 因此 本文通过度量空间的基本概念 力图给出度量空间的一些重要性质 并且引入一些度量空间的其它性质 关键词关键词 度量空间 导集 闭集 正文 正文 度量空间是现代数学中一种基本的 重要的 最接近于欧几里得空间 的抽象空间 19 世纪末叶 德国数学家 G 康托尔创立了集合论 为各种抽象空 间的建立奠定了基础 20 世纪初期 法国数学家 M R 弗雷歇发现许多分析学的成 果从更抽象的观点看来 都涉及函数间的距离关系 从而抽象出度量空间的概念 1 1 度量空间的定义 度量空间是一类特殊的拓扑空间 它对于拓扑空间的理解起着非常重要的 作用 因此 研究度量空间的一些性质是必要的 为了证明这些性质 首先介绍 以下定义 定义定义 1 11 1 设是一个集合 若对于中任意两个元素都有唯一确定XXyx 的实数与之对应 而且这一对应关系满足下列条件 yxp 1 正定性 并且当且仅当 0 yxp yxp 0 yx 2 对称性 yxp yxp 3 三角不等式 则称是集合的一个度量 同 zypyxpzxp pX 时将称为度量空间或距离空间 中的元素称为点 条件 3 称为三点 pX X 不等式 定义定义 1 21 2 设是一个度量空间 对于任意给定的实数 集 pX xX0 合 记作 称为一个以为中心 以为半径的球形邻 yxpXy xBx 域 简称为的一个球形邻域 x 2 2 2 度量空间的一些例子 例 2 12 1 离散的度量空间离散的度量空间 设是任意的非空集合 对中的任意两点 令XX Xyx yx yx yxd 当 当 0 1 容易验证满足关于距离的定义中的条件 我们称为离散的度量空 yxd dX 间 由此可见 在任何非空集合上总可以定义距离 使它成为度量空间 例 2 22 2 序列空间序列空间 S S 令 S 表示实数列 或复数列 的全体 对 S 中任意两点 及 令 21n x 21n y ii ii i i yxd 12 1 1 易知满足距离条件 yxd 的充要条件为 2 1 0 0 yxdyxdyx 下验证满足距离条件 yxd 对任意都成立 2 2 d zydzxyxd z 为此我们首先证明对任意两个复数和 成立不等式ab 111b b a a ba ba 事实上 考察上的函数 0 t t tf 1 由于在上 所以在上单调增加 由不等式 0 0 1 1 2 t tf tf 0 我们得到baba 3 b b a a ba b ba a ba ba ba ba 1111 11 令 则 代入上面不等式 21n z iiii ba ii ba 得 ii ii ii ii ii ii 111 由此立即可知满足距离条件 2 2 即 S 按或一度量空间 yxd yxd 例例 2 32 3 有界函数空间有界函数空间 AB 设是一给定的集合 令表示上的有界实值 或复值 函数全体 A ABA 对中任意两点 定义 AByx tytxyxd At sup 下面验证满足条件 2 1 和 2 2 显然是非负的 又等价 yxd yxd 0 yxd 于对一切 成立 所以 即满足 2 1 此外 对At tytx yx yxd 所有的成立At tytztztxtytztztxtytx AtAt supsup 所以 tytztztxtytx AtAtAt supsupsup 即满足条件 2 2 特别地 当时 记为 yxd baA AB baB 例例 2 42 4 可测函数空间可测函数空间 XM 设为上的实值 或复值 的可测函数全体 m 为 XMXLebesgue 测度 若 对任意两个可测函数 及 由于Lebesgue Xm tf tg 1 1 tgtf tgtf 所以这是上的可积函数 令X 4 X dt tgtf tgtf gfd 1 如果把中的两个几乎处处相等的函数视为中的同一个元 那么利 XM XM 用不等式 111b b a a ba ba 及积分性质很容易验证是距离 gfd 因此按上述距离成为度量间 XM gfd 例例 2 52 5 空间空间 baC 令表示闭区间上的实值 或复值 连续函数全体 对中 baC ba baC 任意两点定义 yx max tytxyxd bta 容易验证它满足距离条件 2 1 和 2 2 例例 2 62 6 2 l 记 设定义 1 22 k kk xxxl 22 lyylxx kk 2 1 1 2 k kk xyyxd 则是的距离 距离条件 2 1 是容易得出的 现检验条件 2 2 d 2 l 对任何正整数 n 和 都中的元素 由 n n xxx 1 n n yyy 1 R 不等式Cauchy n k k n k k n k kk yxyx 1 2 1 2 2 1 再令右端 即得 n 1 2 1 2 2 1k k k k n k kk yxyx 5 再令左端的 即得 n 1 2 1 2 2 1k k k k k kk yxyx 由此可得 1 2 11 2 1 2 k k k kk k k k kk yyxxyx 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 k k k k k k k k yyxx 2 2 1 1 2 2 1 1 2 k k k k yx 令取以 代入上式 即可 kkk kkkkkk yx 得的三点不等式 ddd 由上述例子可见 度量空间除了有限维的欧几里德空间 之外 还包括 n R 其他的空间 3 3 度量空间的一些简单性质度量空间的一些简单性质 定理定理 3 13 1 设是一个度量空间 则拓扑空间是一个离散空间当且 pX X 仅当 p 是一个离散的度量 证证 充分性 若是一个离散的度量 则对于任意的 存在实数p xX 使得对于任意的 有 于是的球形邻域0 x yXxy x yxp x 所以 为开集 由的任意性以及开集的性质 故为离散空 xxB x xxX 间 必要性 若为离散空间 则对于任意的 单点集为开集 于是存X xX x 6 在的球形邻域 令 则对于任意的并且 有x xxB 2 x Xy xy 所以 为离散的度量 yxp x p 定理定理 3 23 2 度量空间的每一个子集的导集都是闭集 证证 设为一个度量空间 是的任意一个子集 欲证的导集 XAXA 为闭集 只需证 Ad AdAdd 如果 显然 Add AdAdd 如果 由于 所以对于任意 有 Add AdAAdd x Add x 或 A x Ad 若 则对于的任意一个球形邻域 有 xAx xB xB xAd 于是 对于任意的 y xB xAd 则 取xy yxpyxp min 则 xByB 并且 yAyB 又由于 yAyB xAyB xAxB 所以 xAxB 因此 x Ad 7 综上 对于任意 有 所以 x Add x Ad AdAdd 定理定理 3 33 3 度量空间中的每一个单点集都是闭集 证证 为一个度量空间 对于任意 令 X xXXy xy 2 yxp 于是 并且 所以 于是 因此 单点集为0 xyB y x x x x 闭集 由的任意性 度量空间中的每一个单点集都是闭集 xX 定理定理 3 43 4 是一个度量空间 如果有一个基只含有有限个元素 则XX 必为只含有有限多个点的离散空间 X 证证 假设是无限集 由于是一个度量空间 由定理 3 1 可知 中的XXX 每一个单点集都是闭集 于是 对于任意 集合 都是开集 因此 xXX x 拓扑空间中有无穷多个不同的开集 又由已知有一个基只含有有限个元素 XX 它们中的任意多个元素之并只能组成有限个开集 所以中的开集只有有限个 X 这与上述矛盾 因此假设错误 只能是有限集 最后 由于含有有限多个点X 的度量空间都是离散的度量空间 故由定理 1 可知 是一个离散空间 X 定理定理 3 53 5 度量空间中的任何一个收敛序列都只有惟一的极限 X 证证 设是一个度量空间 是中的一个收敛序列 假若序列 X zii xX 至少有两个极限和 由于 则 设 zii xxyxy 0 yxp 0 yxp 于是对于的球形邻域 存在 使得当 时 有 x xB 1 M Z i 1 M i x xB 对于的球形邻域 存在 使得当时 有 则一y yB 2 M Z j 2 M i x yB 方面 xB yB 3 1 另一方面 令 max M 1 M 2 M 于是当时 有 iM i x xB yB 8 这与 3 1 式矛盾 所以假设错误 因此 度量空间只有一个极限 X 定理定理 3 63 6 设是一个度量空间 有一个序列在XA Xx X zii x 中并且收敛于当且当是集合的一个凝聚点 xX xxX 证证 必要性 设序列在中并且敛于 如果是的一个邻域 zii x xX xUx 则存在 使 M Z 21 MM xxU 因此 21 MM xx xAU 从而 xAU 所以是的一个凝聚点 xA 充分性 如果是的一个凝聚点 则对于任意一个球形邻域有xAx xB xB xA 于是对于任给的正实数有 0 2 i 其中 并且 i Z i xB 2 xA 所以对于每一个 任取 i Z i x i xB 2 xA 则序列 中并且收敛于 i x zi xA x 4 4 度量空间的紧致性和完备性度量空间的紧致性和完备性 9 4 14 1 度量空间的紧致性度量空间的紧致性 定义定义 4 1 14 1 1 设是度量空间中的一个非空子集 集合的直径A pX Adiam 定义为 A diam A 是有界的如果 是有界的如果 A AAyxyx sup 定义定义 4 1 24 1 2 设是一个度量空间 A 是的一个开覆盖 实数成 pX X0 为开覆盖 A 的一个数 如果对于中的任何一个子集 只要LebesgueXAdiam 则包含于开覆盖 A 的某一个元素之中 A A 数不一定存在 例如考虑实数空间的开覆盖Lebesgue Zn n n n n 1 1 1 1 则任何一个实数都不是它的数 Lebesgue 定理定理 4 1 1 4 1 1 数定理数定理 序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一Lebesgue 个数 Lebesgue 证证 设是一个序列紧致的度量空间 A 是的一个开覆盖 假若开覆盖XX A 没有数 则对于任何 实数 不是 A 的数 所以Lebesgue Zi i 1 Lebesgue 有一个子集使得并且不包含于 A 的任何元素之中 X i Ediam i Ei 1 i E 在每一个之中任意选取一个点 由于是一个序列紧致空间 所以序 i E i xX 列 有一个收敛的子序列 设这个子序列收敛于 由于 A 21 xx 10 NN xxXy 是的一个开覆盖 故存在A 使得 并且存在实数使得球形邻X AXy 0 域 由于序列 收敛于 所以存在整数使得当 AyB 10 NN xxy0 M 时 令 k 为任意一个整数 使得 则对于任何Mi 2 yBx i N k 2 M 有 k N Ez 10 yxxzyz kk NN 这证明 A k N E AyB 与的选取矛盾 k N E 定理定理 4 1 24 1 2 每一个序列紧致列紧致的度量空间都是紧致空间 证证 设是一个序列紧致的度量空间 A 是的一个开覆盖 根据XX 数定理 的开覆盖 A 有一个数 设为 LebesgueXLebesgue0 令 B 它是的开覆盖 我们先来证明 B 有一个有限覆盖 3 xBX 假设 B 没有有限覆盖 任意选取一点 对于 假定点 1 xX1 i 1 x 2 x 已经取定 由于不是的覆盖 选取 1 i x 3 3 3 121 i xBxBxB X 使得 按照归纳原则 序列 已经取定 易见对Xxi 3 1 1 j i ji xBx 1 x 2 x 于任意 有 序列 没有任何收敛的子序列 ji Zji 3 ji xx 1 x 2 x 因为任何的球形邻域中最多只能包含这个序列中的一个点 Xy 6 yB 这与是序列紧致空间相矛盾 X 现在设是开覆盖 B 的一个有限子覆盖 由 3 3 3 21 n xBxBxB 于其中每一个元素的直径都小于 所以对于每一个 1 2 n 存在A i i A 似的 于是 是 A 的一个子覆盖 3 j xB i A n AAA 21 定理定理 4 1 34 1 3 设是一个度量空间 则下列条件等价X 1 是一个紧致空间 X 2 是一个列紧空间 X 3 是一个序列紧致空间 X 11 4 是一个可数紧致空间 X 4 24 2 度量空间的完备性 定理定理 4 2 14 2 1 设是一个度量空间 则是紧致的当且仅当 X X 是一个完全有界的完备度量空间 X 证证 设度量空间是紧致的 任意给定实数 由球形邻域构成的 X0 集族是的开覆盖 它有一个有限子覆盖 设为 XxxB X 易见有限集合是的一个网 这证明 n xBxxB 21 n xxx 21 X 是完全有界的 X 为证明是完备的 设序列是中的一个序列 由于紧 X znn xXCauchy 致的度量空间是序列紧致的 所以序列有一个收敛的子序列 设这个 znn x 子序列收敛于这时序列也必收敛于 这证明中的每一个序x znn xxXCauchy 列都收敛 另一方面 设是一个完全有界的完备度量空间 为证明是紧致的 XX 只需证明它是序列紧致的 由于是一个完备度量空间 这又只要证明中的XX 每一个序列有一个子序列是序列 Cauchy 设是中的一个序列 我们按归纳方式对于每一个定义一 znn xX Zi 个序列如下 首先 令 其次对于 假定已经 znini y 1 znn x1 i i 定义 设是的一个网 因此球形邻域构成的集族 m zzz 21 X 1 2 i 覆盖 11 2 1 1 2 2 2 i m ii zBzBzB X 由于可以再从某一个 其中 中选取的一个子序列 1 2 i j zBmj 1 i 1 i 根据定义立即可见 对与每一个