高三数学第一轮复习：数列、等差数列（理）人教版

高三数学第一轮复习 数列 等差数列高三数学第一轮复习 数列 等差数列 理 人教版 理 人教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 数列 等差数列 二 本周教学重 难点 1 理解数列的概念 了解数列通项公式的意义 了解递推公式是给出数列的一种方法 并能根据递推公式写出数列的前几项 2 理解等差数列的有关概念 掌握等差数列的通项公式和前项和公式 并能运用这些n 知识解决一些简单的实际问题 典型例题典型例题 例 1 根据下面各个数列的首项和递推关系 求其通项公式 n a 1 naaa nn 2 1 11 Nn 2 1 1 11 Nna n n aa nn 3 1 2 1 1 11 Nnaaa nn 解 解 1 naa nn 2 1 naa nn 2 1 123121 nnn aaaaaaaa 1 222121 n 1 1 1 2 nnnn 2 方法一 方法一 1 1 n n a a n n 1 2 1 a a aan 2 3 a a nn n a a n n 11 3 2 2 1 1 1 方法二 方法二 由题意知对一切自然数成立 nn naan 1 1 n 11 1 11 aanna nn n an 1 3 1 2 1 1 nn aa 2 2 1 2 1 nn aa 是首项为 公比为的等比数列 2 n a12 1 a 2 1 1 2 1 12 n n a 1 2 1 2 n n a 例 2 已知函数 2 4 1 2 x x xf 1 求的反函数 xf 1 xf 2 设 求 1 1 1 1 1n n af a a Nn n a 3 设 是否存在最小正整数 使得对任 22 2 2 1nn aaaS nnn SSb 1 m 意 有成立 若存在 求出的值 若不存在 请说明理由 Nn 25 m bn m 解 解 1 设 4 1 2 x y2 x 2 1 4 y x 即 0 1 4 2 1 x x xfy 2 2 1 1 4 1 nn aa 4 11 22 1 n n aa 是公差为 4 的等差数列 1 2 n a 1 1 a 34 1 4 11 2 1 2 nn aan 0 n a 34 1 n an 3 由 得 14 1 2 11 n aSSb nnnn 25 m bn 14 25 n m 设 14 25 n ng 在上是减函数 14 25 n ng Nn 的最大值是 ng5 1 g 存在最小正整数 使对任意有成立 5 m6 m Nn 25 m bn 例 3 已知函数 数列满足 xx xf 22 n anaf n 2 log2 1 求数列的通项公式 n a 2 求证 数列是递减数列 n a 解 解 1 xx xf 22 naf n 2 log2 看成关于的方程 n nn aa 222 22 loglog n a a n n 2 1 n a 012 2 nn naa1 2 nnan 0 n annan 1 2 2 证明 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 nn nn nn nn a a n n 又 数列是递减数列0 n a nn aa 1 n a 例 4 已知数列是等差数列 其前项和为 n an n S7 3 a24 4 S 1 求数列的通项公式 n a 2 设是正整数 且 证明qp qp 2 1 22qpqp SSS 解 解 1 设等差数列的公差是 依题意 得 n ad 24 2 34 4 72 1 1 da da 解得 数列的通项公式为 2 3 1 d a n a 12 1 1 ndnaan 2 证明 12 nan nn aan S n n 2 2 21 2 2 2 2 22 qpqpSSS qpqp 44 44 22 qqpp 2 2qp qp 0 2 22 qpqp SSS 2 1 22qpqp SSS 例 5 已知数列中 数列满足 n a 1 1 1 2 5 3 n n a aa 2Nnn n b 1 1 Nn a b n n 1 求证 数列是等差数列 n b 2 求数列中的最大项与最小项 并说明理由 n a 1 证明 证明 而 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 n n n n n a a a a b 1 1 1 1 n n a b 且 1 1 1 1 11 1 1 nn n nn aa a bb Nn 2 n 2 5 1 1 1 1 a b 是首项为 公差的等差数列 n b 2 5 1 d 2 解 解 由 1 得 则 2 7 nbn 72 2 1 1 1 nb a n n 设函数 则 72 2 1 x xf0 72 4 2 x xf 在区间和内为减函数 2 7 2 7 xf 当时 当时 3 x1 3 fxf4 x3 4 fxf 且1 lim xf x 的最小值为 最大值为 n a1 3 a3 4 a 例 6 已知等比数列的各项均为正数 公比 数列满足 n a1 q n b23 10 b 且 22 25 b 21 nn bb0lg lg lg 51321 abbabba nnnn Nn 1 求数列的通项公式 n b 2 设 求数列前项的和 nn bc n cn n S 解 解 1 由已知式得 0 lg lg lg lg lg lg 35151213 nnn baabaabaa 是公比为的等比数列 等式可化为 n aq 0lglglg 2 1 4 2 2 nnn bqbqbq 1 q0lg q 即02 12 nnn bbb nnnn bbbb 112 为常数 121 bbbb nn 即是等差数列 设公差为 则 n bd 解得 dbb dbb 2422 923 125 110 3 50 1 d b nbn353 2 设前项和为 n bn n T 当且仅当时171 n0 n b 18 2 171 17 nTT nT S n n n 18 884 2 103 2 3 171 2 103 2 3 2 2 nnn nnn 例 7 对于数列 有 且 n a n nn xaxaxaxf 2 21 4 1 a 求 2 3 1 2 bnn fn 1 的值 b 2 数列的通项公式 n a 3 使的最小的正整数的值 并说明理由 20052 n n an 解 解 1 又 4 4 1 a 2 3 1 b a 5 b 2 当时 2 n 13 2 1 5 1 3 2 53 22 n nnnn an 当时 1 n4 1 a13 nan 3 即 20052 n n a2005132 n n 200632 n n 令 时 nb n n 32 2 n32 1 1 n nn bb 当且为正整数时 为递增数列3 nn 1 nn bb n b 当且为正整数时 为递减数列3 nn 1 nn bb n b 当时 10 n2006994103210 当时 11 n20062015113211 使的最小的正整数的值为 1120052 n n an 例 8 数列中 当时 其前项和满足 n a1 1 a2 nn n S 2 1 2 nnn SaS 1 求的表达式 n S 2 设 求数列的前项和 12 n S b n n bn n T 解 解 1 当时 即2 n 2 1 1 2 nnnn SSSS nnnn SSSS 11 2 数列是公差为 2 的等差数列 其首项2 11 1 nn SS 1 n S 从而1 11 11 aS 12 1 n Sn12 1 n Sn 2 12 1 12 1 2 1 12 nnn S b n n nn bbbT 21 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 2 1 nn 12 12 1 1 2 1 n n n 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 在数列中 则等于 n a 1 1 1 2 11 naaa nn54321 aaaaa A B 1 C 0 D 21 2 设是等差数列的前项和 若 则等于 n S n an 9 5 3 5 a a 5 9 S S A 1 B C 2 D 1 2 1 3 已知数列为等差数列 且 则 1 log 2 Nnan 3 1 a5 2 a 12 1 lim aa n 等于 1 123nn aaaa A 2 B C 1 D 2 3 2 1 4 已知数列的前项和且 则等于 n an 2 RbabnanSn 100 25 S 1412 aa A 16 B 4 C 8 D 不确定 5 已知数列满足 则等于 n a0 1 a 13 3 1 n n n a a a Nn 20 a A 0 B C D 3 3 2 3 6 若是等差数列 首项 则使前项 n a0 1 a0 20062005 aa0 20062005 aan 和成立的最大自然数是 0 n Sn A 4009 B 4010 C 4011 D 4012 7 设数列 都是等差数列 且 那么由 n a n b25 1 a75 1 b100 22 ba 所组成的数列的第 37 项的值为 nn ba A 0 B 37 C 100 D 37 8 等差数列中 则此数列前 20 项和 n a24 321 aaa78 201918 aaa 等于 A 160 B 180 C 200 D 220 二 解析题 1 已知数列 其中 n a1 1 a 数列的前项和 1 3 n n a 2 1 Nnnan n bn n S 9 log 3 Nn a n n 1 求数列的通项公式 n a 2 求数列的通项公式 n b 2 设等差数列的前项和为 已知 n an n S12 3 a0 12 S0 13 S 1 求公差的取值范围 d 2 指出中哪一个值最大 并说明理由 1221 SSS 3 设是等差数列 已知 且 求等差数 n a n a n b 2 1 8 21 321 bbb 8 1 321 bbb 列的通项 n a 试题答案试题答案 一 1 A 解析 解析 由已知 1 1 1 2 1 nnnn aaaa 1 0 1 0 5432 aaaa 2 A 解析 解析 1 591 2aaa 351 2aaa 故答案选 A 1 95 59 5 9 2 5 2 9 3 5 51 91 5 9 a a aa aa S S 3 C 解析 解析 公差 112 13 log 15 log 22 d 则nnan 1 1 13 log 1 log 22 12 n n a n nn aa2 1 则 nn aaaaaa 12312 111 nn 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 故 C 正确 1 2 1 1 lim n n 4 C 解析 解析 因为是关于的二次函数形式 所以为等差数列bnanSn 2 n n a 又因为 所以100 2 25 251 25 aa S 1412251 8aaaa 5 B 解析 解析 由递推公式计算得 所以数列的周期为 3 因为0 3 3 432 aaa 所以23620 3 20 a 6 B 解析 解析 0 2005 a0 2006 a 04009 2 4009 2005 40091 4009 a aa S 0 2 4010 20062005 4010 aa S 04011 2 4011 2006 40111 4011 a aa S 故最大自然数是 4010 n 7 C 解析 解析 为等差数列 也为等差数列 设 则 n a n b nn ba nnn bac 而 故 100 111 bac100 222 bac0 12 ccd100 37 c 8 B 解析 解析 由 24 321 aaa78 201918 aaa 相加得54 183192201 aaaaaa 即54 3 201 aa 18 201 aa180 2 1820 2 20 201 20 aa S 二 1 解析 解析 1 1 loglog 133 naa nn 累加得 2 1 1 321loglog 133 nn naan 则 2 1 log3 nn an 2 1 3 nn n a 或者用累乘得 2 1 1 2 2 1 1 2 3 nn n n n n n a a a a a a a a 2 2 1 3 nn n a 2 5 9 log 2 3 Nn nna S n n n 而 当时 时也适合2 11 Sb2 n1 3 1 nnSSb nnn 数列的通项公式为 n b 3 Nnnbn 2 解析 解析 1 依题意有 0 2 1213 13 0 2 1112 12 122 113 112 13 daS daS daa 解之 得公差的取值范围为d3 7 24 d 2 由可知 因此 在中为最0 d 1312321 aaaaa 1221 SSS k S 大值的条件为且 即0 k a0 1 k a 0 2 0 3 3 3 dka dka 12 3 a 122 123 dkd dkd 0 d d k d 12 3 12 2 得3 7 24 d d 12 2 7 4 75 5 k 是正整数 即在中 最大k6 k 1221 SSS 6 S