高一数学 不等式的证明精华试题 新人教A版

用心 爱心 专心 1 高二数学同步测试高二数学同步测试 不等式的证明不等式的证明 班级 班级 姓名 姓名 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 四个不相等的正数a b c d 成等差数列 则 A bc da 2 B bc da 2 C bc da 2 D bc da 2 2 综合法证明不等式中所说的 由因导果 是指寻求使不等式成立的 A 必要条件B 充分条件C 充要条件D 必要或充分条件 3 在的条件下 00 ba 2 2ba ba ab 22 22 baba ba b a a b 22 其中正确的个数是 A 0 B 1C 2D 3 4 下列函数中最小值是 2 的是 A x xy 1 B sincsc 0 2 y C x xy 2 D 1 2 2 2 x x y 5 设 4334 nmnynmmxnm 则x y的大小是 A xy B xy C xy D 与 m n 的取值有关 6 已知a b m 是正实数 则不等式 a b ma mb A 当a b时成立B 当a 0 得x 1 或 1 x 2 当x 1 或 1 x B 当 1 x 2 时 A B 当x 1 或x 2 时 A B 18 12 分 证法一 比较法 abbaRba 1 1 22 22 259 224 22 ababab 2222 911 1 4222 0 222 aaaaa 即 2 25 22 22 ba 当且仅当 2 1 ba时 取等号 证法二 分析法 2 25 8 4 2 25 22 22 22 babaBa 0 2 1 2 25 84 1 1 222 aaa ab 因为显然成立 所以原不等式成立 点评 分析法是基本的数学方法 使用时 要保证 后一步 是 前一步 的充分条件 用心 爱心 专心 7 证法三 综合法 由上分析法逆推获证 略 证法四 反证法 假设 2 25 2 2 22 ba 则 2 25 8 4 22 baba 由 a b 1 得ab 1 于是有 2 25 12 1 22 aa 所以0 2 1 2 a 这与0 2 1 2 a矛盾 所以 2 25 22 22 ba 证法五 放缩法 1ab 左边 2 22 22 222 2 ab ab 2125 4 22 ab 右边 点评 根据欲证不等式左边是平方和及 a b 1 这个特点 选用基本不等式 222 2 2 ba ba 证法六 均值换元法 1ab 所以可设ta 2 1 tb 2 1 左边 22 22 11 22 2 2 22 abtt 22 2 552525 2 2222 ttt 右边 当且仅当 t 0 时 等号成立 点评 形如 a b 1 结构式的条件 一般可以采用均值换元 证法七 利用一元二次方程根的判别式法 设 y a 2 2 b 2 2 由 a b 1 有1322 3 2 222 aaaay 所以01322 2 yaa 因为Ra 所以0 13 244 y 即 2 25 y 故 2 25 22 22 ba 19 12 分 用心 爱心 专心 8 解 1 证 325 323 111 1 1 aaaa aaa a 1 5 3 1 1 1 aa a 0 原不等式成立 2 a 1 与 a5 1 同号对任何 a 0 且 a 1 恒成立 上述不等式的条件可放宽为 0a 且1a 3 根据 1 2 的证明 可推知 若a 0 且1a m n 0 则有 11 mn mn aa aa 证 左式 右式 1 1 a a1 a 1 aa a a nmn m a 1 n m a 1 n mn a 1 a 1 nm mmnm 若 a 1 则由 m n 0 am n 0 am n 0 不等式成立 若 0 a 1 则由 m n 0 0 am n 1 0 am n 1 不等式成立 20 13 分 解 设花坛的长 宽分别为 xm ym 根据要求 矩形花坛应在喷水区域内 顶点应恰好位于 喷水区域的边界 依题意得 25 2 4 22 yx 0 0 yx 问题转化为在0 0 yx 100 4 2 2 y x 的条件下 求xyS 的最大值 法一 100 2 2 2 22 y x y x xyS 由y x 2 和100 4 2 2 y x 及0 0 yx得 25 210 yx 100 max S 法二 0 0 yx 100 4 2 2 y x 4 100 2 x xxyS 10000 200 4 1 4 100 22 2 2 x x x 当200 2 x 即210 x 100 max S 由100 4 2 2 y x 可解得 25 y 答 花坛的长为m210 宽为m25 两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心 则符合要求 用心 爱心 专心 9 21 14 分 1 解 由已知 xf的图象与x轴有两个不同的公共点 知0 xf有两个不同的实数根 1 x 2 x 又由0 cf 且 a c xx 21 知0 xf的两个根就是 a 1 和c 2 分 如果c a 1 由0 a 知0 1