高中数学 报刊专题研究精选 闭区间上二次函数的最值素材

用心 爱心 专心1 闭区间上二次函数的最值闭区间上二次函数的最值 二次函数是最简单的非线性函数之一 自身性质活跃 同时经常作为其他函数的载体 二次函数在某一区间上的最值问题 是初中二次函数内容的继续和发展 随着区间的确定 或变化 以及在系数中增添参变数 使其又成为高考数学中的热点 一 定二次函数在定区间上的最值 二次函数是给定的 给出的定义域区间也是固定的 我们称这种情况是 定二次函数 在定区间上的最值 例 1 函数在区间上的最大值是 最小值是yxx 2 42 03 解 函数是定义在区间上的二次函数 其对yxxx 22 4222 03 称轴方程是 顶点坐标为 2 2 且其图象开口向下 显然其顶点横坐标在x 2 0 3 上 如图 1 所示 函数的最大值为 最小值为 f 22 f 02 图 1 例 2 已知 求函数的最值 23 2 xx f xxx 2 1 解 由已知 可得 即函数是定义在区间上的二次23 2 xx 0 3 2 xf x 0 3 2 函数 将二次函数配方得 其对称轴方程 顶点坐标f xx 1 2 3 4 2 x 1 2 且图象开口向上 显然其顶点横坐标不在区间内 如图 2 所示 函 1 2 3 4 0 3 2 数的最小值为 最大值为 f x f 01 f 3 2 19 4 图 2 解后反思 已知二次函数 不妨设 它的图象是顶点为f xaxbxc 2 a 0 用心 爱心 专心2 对称轴为 开口向上的抛物线 由数形结合可得在 b a acb a2 4 4 2 x b a 2 上的最大值或最小值 mn f x 1 当时 的最小值是的最大值 b a mn 2 f x f b a acb a f x 2 4 4 2 是中的较大者 f mf n 2 当时 b a mn 2 若 由在上是增函数 b a m 2 f x mn 则的最小值是 最大值是f x f m f n 若 由在上是减函数n b a 2 f x mn 则的最大值是 最小值是f x f m f n 二 动二次函数在定区间上的最值 二次函数随着参数 a 的变化而变化 即其图象是运动的 但定义域区间是固定的 我 们称这种情况是 动二次函数在定区间上的最值 例 3 已知 且 求函数的最值 x21 a 20f xxax 2 3 解 由已知有 于是函数是定义在区间上的二次函 112xa f x 11 数 将配方得 f x f xx aa 2 3 4 2 2 二次函数的对称轴方程是f x x a 2 顶点坐标为 图象开口向上 aa 2 3 4 2 由可得 显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上 a 2x a 2 1 11 函数的最小值是 最大值是 fa 14fa 14 图 3 例 4 已知二次函数在区间上的最大值为 5 求实数f xaxaxa 22 41 41 用心 爱心 专心3 a 的值 解 将二次函数配方得 其对称轴方程为 顶f xa xaa 241 22 x 2 点坐标为 图象开口方向由 a 决定 很明显 其顶点横坐标在区间 241 2 aa 上 41 若 函数图象开口向下 如图 4 所示 当时 函数取得最大值 5a 0 x 2 即faa 2415 2 解得a 210 故aa 210210 舍去 图 4 若时 函数图象开口向上 如图 5 所示 当时 函数取得最大值 5a 0 x 1 即faa 1515 2 解得aa 16或 故aa 16 舍去 图 5 综上讨论 函数在区间上取得最大值 5 时 f x 41 aa 2101或 解后反思 例 3 中 二次函数的对称轴是随参数 a 变化的 但图象开口方向是固定的 例 4 中 二次函数的对称轴是固定的 但图象开口方向是随参数 a 变化的 三 定二次函数在动区间上的最值 二次函数是确定的 但它的定义域区间是随参数 t 而变化的 我们称这种情况是 定 函数在动区间上的最值 例 5 如果函数定义在区间上 求的最小值 f xx 11 2 tt 1f x 解 函数 其对称轴方程为 顶点坐标为 1 1 图象开f xx 11 2 x 1 口向上 用心 爱心 专心4 如图 6 所示 若顶点横坐标在区间左侧时 有 当时 函数取得 tt 11 txt 最小值 f xf tt min 11 2 图 6 如图 7 所示 若顶点横坐标在区间上时 有 即 当 tt 1tt 1101 t 时 函数取得最小值x 1 f xf min 11 图 7 如图 8 所示 若顶点横坐标在区间右侧时 有 即 当 tt 1t 11t 0 时 函数取得最小值xt 1 f xf tt min 11 2 综上讨论 f x tt t tt min 111 101 10 2 2 图 8 例 6 设函数的定义域为 对任意 求函数f xxx 2 44 tt 21 tR 的最小值的解析式 f x t 解 将二次函数配方得 f xxxx 22 4428 用心 爱心 专心5 其对称轴方程为 顶点坐标为 图象开口向上x 2 28 若顶点横坐标在区间左侧 则 即 当时 函 tt 21 22 tt 4xt 2 数取得最小值 f tttt 24888 22 若顶点横坐标在区间上 则 即 当时 tt 21 tt 22134 tx 2 函数取得最小值 f 28 若顶点横坐标在区间右侧 则 即 当时 函 tt 21 t 12t 3xt 1 数取得最小值 f tttt 13861 22 综上讨论 得 t ttt t ttt 2 2 884 8 34 613 四 动二次函数在动区间上的最值 二次函数是含参数的函数 而定义域区间也是变化的 我们称这种情况是 动二次函 数在动区间上的最值 例 7 已知 且当时 的最小值为 4 ya xa a 2 40 xa Sxy 3 22 求参数 a 的值 解 将代入 S 中 得ya xa 2 4 Sxa xa xa xa xaaa 34 2 3294 32128 2 22 2 2 则 S 是 x 的二次函数 其定义域为 对称轴方程为 顶点坐 xa xa 32 标为 图象开口向上 32128 2 aaa 若 即32 aa01 a 则当时 xa 32Saa 最小 1284 2 此时 或a 1a 1 2 若 即32 aaa 1 则当时 xa Saaaa 最小 321284 2 2 此时 或 因舍去 a 5a 1aa 11 综上讨论 参变数 a 的取值为 或 或a 1a 1 2 a 5 例 8 已知 且当时 的最小值 x yaa 1 4 0 2 22 xa 12Pxy 4 22 为 1 求参变数 a 的值 用心 爱心 专心6 解 将代入 P 中 得y x a 2 2 2 1 4 Px x a xa 4 1 4 5 4 17 5 9 5 2 2 2 2 则 P 是 x 的二次函数 其定义域为 对称轴方程为 顶点 xa 12 x 17 5 坐标为 图象开口向上 17 5 9 5 2 a 若 即 17 5 12 aa 6 5 则当时 x 17 5 Pa 最小 9 5 1 2 此时 a 2 5 若 即 17 5 12 aa 6 5 则当时 xa 12Paa 最小 5 4 12 17 5 9 5 1 2 此时 或 因舍去 a 2a 1aa 6 5 1 综上讨论