特殊平行四边形提高训练

第 1 页 共 31 页 特殊平行四边形提高训练特殊平行四边形提高训练 一 选择题 共一 选择题 共 16 小题 小题 1 2016 灵璧县一模 如图所示 矩形 ABCD 中 AE 平分 BAD 交 BC 于 E CAE 15 则下面的结论 ODC 是等边三角形 BC 2AB AOE 135 S AOE S COE 其中正确结论有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 2016 鄂州一模 如图 在矩形 AOBC 中 点 A 的坐标 2 1 点 C 的纵坐标是 4 则 B C 两点的坐标分别是 A 4 B 3 4 C 3 4 D 4 3 2016 石峰区模拟 矩形 ABCD 中 AB 2 AD 1 点 M 在边 CD 上 若 AM 平分 DMB 则 DM 的长是 A B C D 4 2016 姜堰区校级模拟 矩形 ABCD 中 AB 4 BC 8 矩形 CEFG 上的点 G 在 CD 边 EF a CE 2a 连接 BD BF DF 则 BDF 的面积是 第 2 页 共 31 页 A 32B 16C 8D 16 a2 5 2016 灯塔市二模 如图 在矩形 ABCD 中 AB 3 DC 2 O 是 AD 的中点 连接 OB OC 点 E 在线段 BC 上 点 E 不与点 B C 重合 过点 E 作 EM OB 于 M EN OC 于 N 则 EM EN 的值为 A 6B 1 5C D 6 2016 肥城市二模 已知一个菱形的周长是 20cm 两条对角线的比是 4 3 则这个菱 形的面积是 A 12cm2B 96cm2C 48cm2D 24cm2 7 2015 丹东 过矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 作 EF AC 交 BC 边于点 E 交 AD 边于点 F 分别连接 AE CF 若 AB DCF 30 则 EF 的长为 A 2B 3C D 8 2016 天津一模 如图 菱形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O AC 8 BD 6 过点 O 作 OH AB 垂足为 H 则点 O 到边 AB 的距离 OH 等于 A 2B C D 第 3 页 共 31 页 9 2016 和县一模 如图 菱形 ABCD 中 点 O 对角线 AC 的三等分点 连接 OB OD 且 OB OC OD 已知 AC 3 那么菱形的边长为 A B 2C D 10 2016 丹东模拟 如图 在菱形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O 点 E 为 BC 的中点 则下列等式中一定成立的是 A AB BEB AC 2AB C AB 2OE D AC 2OE 11 2015 西城区二模 如图 将正方形 OABC 放在平面直角坐标系 xOy 中 O 是原点 若点 A 的坐标为 1 则点 C 的坐标为 A 1 B 1 C 1 D 1 12 2015 桐庐县模拟 如图 在正方形 ABCD 中 对角线 AC 6 点 P 是对角线 AC 上 的一点 过点 P 作 PF AD PE CD 则 PF PE 的值为 A 3B 3C 2D 6 13 2015 本溪二模 如图 在矩形 ABCD 中 AD 2AB E F 分别是 AD BC 的中点 连接 AF 与 BE CE 与 DF 分别交于点 M N 两点 则四边形 EMFN 是 第 4 页 共 31 页 A 正方形B 菱形 C 矩形 D 无法确定 14 2015 春 石林县期末 如图 在正方形 ABCD 的外侧 作等边三角形 ADE 连接 CE 与对角线 BD 交于 F 则 BFC 为 A 75 B 70 C 65 D 60 15 2015 铁力市二模 如图 点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点 PE BC 于点 E PF CD 于点 F 连接 EF 给出下列五个结论 AP EF AP EF PFE BAP PD EC PB2 PD2 2PA2 正确的有 个 A 5B 4C 3D 2 16 2015 陕西模拟 如图 E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点 且 BE BC P 为 CE 上任意一点 PQ BC 于点 Q PR BE 于点 R 则 PQ PR 的值是 A B C D 二 解答题 共二 解答题 共 11 小题 小题 17 2016 咸阳模拟 如图 矩形 ABCD E F 在 AB CD 上 且 EF AD M 为 EF 的 中点 连接 AM DM 求证 AM DM 18 2016 市南区一模 已知 如图 在矩形 ABCD 中 点 E 在边 AD 上 点 F 在边 BC 上 且 AE CF 作 EG FH 分别与对角线 BD 交于点 G H 连接 EH FG 1 求证 BFH DEG 2 连接 DF 若 BF DF 则四边形 EGFH 是什么特殊四边形 证明你的结论 第 5 页 共 31 页 19 2016 春 南京校级月考 已知 如图 BE BF 分别是 ABC 与它的邻补角 ABD 的 平分线 AE BE 垂足为点 E AF BF 垂足为点 F EF 分别交边 AB AC 于点 M 和 N 求证 1 四边形 AFBE 是矩形 2 MN BC 20 2016 安徽模拟 如图 在 ABC 中 D 是 BC 边的中点 F E 分别是 AD 及其延长 线上的点 CF BE 连结 BF CE 1 求证 四边形 BFCE 是平行四边形 2 当边 AB AC 满足什么条件时 四边形 BECF 是菱形 并说明理由 21 2016 十堰模拟 已知 如图 在菱形 ABCD 中 F 为边 BC 的中点 DF 与对角线 AC 交于点 M 过 M 作 ME CD 于点 E 1 2 1 若 CE 2 求 BC 的长 2 求证 ME AM DF 第 6 页 共 31 页 22 2016 东平县一模 如图 在 ABC 中 ABC 90 BD 为 AC 的中线 过点 C 作 CE BD 于点 E 过点 A 作 BD 的平行线 交 CE 的延长线于点 F 在 AF 的延长线上截取 FG BD 连接 BG DF 1 求证 BD DF 2 求证 四边形 BDFG 为菱形 3 若 AG 13 CF 6 求四边形 BDFG 的周长 23 2016 南岗区模拟 如图 在正方形 ABCD 中 点 E 在对角线 AC 上 点 F 在边 BC 上 连接 BE DF DF 交对角线 AC 于点 G 且 DE DG 1 求证 AE CG 2 试判断 BE 和 DF 的位置关系 并说明理由 24 2016 景德镇校级二模 如图 在四边形 ABCD 中 AB BC 对角线 BD 平分 ABC P 是 BD 上一点 过点 P 作 PM AD PN CD 垂足分别为 M N 1 求证 点 A 与 C 关于直线 BD 对称 2 若 ADC 90 求证四边形 MPND 为正方形 第 7 页 共 31 页 25 2015 滕州市模拟 已知 如图 正方形 ABCD 中 点 E 在 BC 的延长线上 AE 分 别交 DC BD 于 F G 点 H 为 EF 的中点 求证 1 DAG DCG 2 GC CH 26 2016 春 丹阳市校级月考 如图 已知正方形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O E 是 AC 上的一点 过点 A 作 AG BE 垂足为 G AG 交 BD 于点 F 1 试说明 OE OF 2 当 AE AB 时 过点 E 作 EH BE 交 AD 边于 H 找出与 AHE 全等的一个三角形加 以证明 3 在 2 的条件下若该正方形边长为 1 求 AH 的长 27 2015 荆州 如图 1 在正方形 ABCD 中 P 是对角线 BD 上的一点 点 E 在 AD 的 延长线上 且 PA PE PE 交 CD 于 F 1 证明 PC PE 2 求 CPE 的度数 3 如图 2 把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD 其他条件不变 当 ABC 120 时 连接 CE 试探究线段 AP 与线段 CE 的数量关系 并说明理由 第 8 页 共 31 页 特殊平行四边形提高训练特殊平行四边形提高训练 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 16 小题 小题 1 2016 灵璧县一模 如图所示 矩形 ABCD 中 AE 平分 BAD 交 BC 于 E CAE 15 则下面的结论 ODC 是等边三角形 BC 2AB AOE 135 S AOE S COE 其中正确结论有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 分析 根据矩形性质求出 OD OC 根据角求出 DOC 60 即可得出三角形 DOC 是等边 三角形 求出 AC 2AB 即可判断 求出 BOE 75 AOB 60 相加即可求出 AOE 根据等底等高的三角形面积相等得出 S AOE SCOE 解答 解 四边形 ABCD 是矩形 BAD 90 OA OC OD OB AC BD OA OD OC OB AE 平分 BAD DAE 45 CAE 15 DAC 30 OA OD ODA DAC 30 DOC 60 OD OC ODC 是等边三角形 正确 四边形 ABCD 是矩形 AD BC ABC 90 DAC ACB 30 AC 2AB AC BC 2AB BC 错误 AD BC DBC ADB 30 AE 平分 DAB DAB 90 DAE BAE 45 AD BC DAE AEB 第 9 页 共 31 页 AEB BAE AB BE 四边形 ABCD 是矩形 DOC 60 DC AB DOC 是等边三角形 DC OD BE BO BOE BEO 180 OBE 75 AOB DOC 60 AOE 60 75 135 正确 OA OC 根据等底等高的三角形面积相等得出 S AOE SCOE 正确 故选 C 2 2016 鄂州一模 如图 在矩形 AOBC 中 点 A 的坐标 2 1 点 C 的纵坐标是 4 则 B C 两点的坐标分别是 A 4 B 3 4 C 3 4 D 4 分析 如过点 A B 作 x 轴的垂线垂足分别为 F M 过点 C 作 y 轴的垂线交 FA 根据 AOF CAE AOF BCN ACE BOM 解决问题 解答 解 如图过点 A B 作 x 轴的垂线垂足分别为 F M 过点 C 作 y 轴的垂线交 FA 点 A 坐标 2 1 点 C 纵坐标为 4 AF 1 FO 2 AE 3 EAC OAF 90 OAF AOF 90 EAC AOF E AFO 90 第 10 页 共 31 页 AEC OFA EC 点 C 坐标 4 AOF BCN AEC BMO CN 2 BN 1 BM MN BN 3 BM AE 3 OM EC 点 B 坐标 3 故选 C 3 2016 石峰区模拟 矩形 ABCD 中 AB 2 AD 1 点 M 在边 CD 上 若 AM 平分 DMB 则 DM 的长是 A B C D 分析 由矩形的性质得出 CD AB 2 AB CD BC AD 1 C 90 由平行线的性质得 出 BAM AMD 再由角平分线证出 BAM AMB 得出 MB AB 2 由勾股定理求出 CM 即可得出 DM 的长 解答 解 四边形 ABCD 是矩形 CD AB 2 AB CD BC AD 1 C 90 BAM AMD AM 平分 DMB AMD AMB BAM AMB BMB AB 2 CM DM CD CM 2 故选 D 第 11 页 共 31 页 4 2016 姜堰区校级模拟 矩形 ABCD 中 AB 4 BC 8 矩形 CEFG 上的点 G 在 CD 边 EF a CE 2a 连接 BD BF DF 则 BDF 的面积是 A 32B 16C 8D 16 a2 分析 根据两个矩形面积之和加上三角形 DGF 面积 减去 ABD 面积与 BEF 面积 求 出 BDF 面积即可 解答 解 根据题意得 BDF 的面积 8 4 2a a 2a 4 a 8 4 a 2a 8 32 2a2 4a a2 16 a2 4a 16 故选 B 5 2016 灯塔市二模 如图 在矩形 ABCD 中 AB 3 DC 2 O 是 AD 的中点 连接 OB OC 点 E 在线段 BC 上 点 E 不与点 B C 重合 过点 E 作 EM OB 于 M EN OC 于 N 则 EM EN 的值为 A 6B 1 5C D 分析 连接 OE 由矩形的性质得出 CD AB 3 AD BC 2 A D 90 由勾股定理 得出 OB OC 由 OBE 的面积 OCE 的面积 OBC 的面积 即可得出结果 解答 解 连接 OE 如图所示 四边形 ABCD 是矩形 CD AB 3 AD BC 2 A D 90 O 是 AD 的中点 AO DO 1 OB OC OBE 的面积 OCE 的面积 OBC 的面积 OB EM OC EN BC AB EM EN 2 3 第 12 页 共 31 页 解得 EM EN 故选 D 6 2016 肥城市二模 已知一个菱形的周长是 20cm 两条对角线的比是 4 3 则这个菱 形的面积是 A 12cm2B 96cm2C 48cm2D 24cm2 分析 先求出菱形的边长 然后设菱形的两对角线分别为 8x 6x 根据菱形的对角线垂 直平分求出两对角线的一半 再利用勾股定理列式求出 x 从而得到对角线的长 然后根 据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解 解答 解 菱形的周长是 20cm 边长为 20 4 5cm 两条对角线的比是 4 3 设菱形的两对角线分别为 8x 6x 根据菱形的性质可知 菱形的对角线互相垂直平分 则对角线的一半分别为 4x 3x 根据勾股定理得 4x 2 3x 2 52 解得 x 1 所以 两对角线分别为 8cm 6cm 所以 这个菱形的面积 8 6 24cm2 故选 D 7 2015 丹东 过矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 作 EF AC 交 BC 边于点 E 交 AD 边于点 F 分别连接 AE CF 若 AB DCF 30 则 EF 的长为 A 2B 3C D 分析 求出 ACB DAC 然后利用 角角边 证明 AOF 和 COE 全等 根据全等三角 形对应边相等可得 OE OF 再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形 AECF 第 13 页 共 31 页 是菱形 再求出 ECF 60 然后判断出 CEF 是等边三角形 根据等边三角形的三条边都 相等可得 EF CF 根据矩形的对边相等可得 CD AB 然后求出 CF 从而得解 解答 解 矩形对边 AD BC ACB DAC O 是 AC 的中点 AO CO 在 AOF 和 COE 中 AOF COE ASA OE OF 又 EF AC 四边形 AECF 是菱形 DCF 30 ECF 90 30 60 CEF 是等边三角形 EF CF AB CD AB DCF 30 CF 2 EF 2 故选 A 8 2016 天津一模 如图 菱形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O AC 8 BD 6 过点 O 作 OH AB 垂足为 H 则点 O 到边 AB 的距离 OH 等于 A 2B C D 分析 因为菱形的对角线互相垂直平分 菱形的四边相等 根据面积相等 可求出 OH 的长 解答 解 四边形 ABCD 是菱形 AC 8 BD 6 BO 3 AO 4 AO BO AB 5 OH AB 第 14 页 共 31 页 AO BO AB OH OH 故选 D 9 2016 和县一模 如图 菱形 ABCD 中 点 O 对角线 AC 的三等分点 连接 OB OD 且 OB OC OD 已知 AC 3 那么菱形的边长为 A B 2C D 分析 由菱形的性质得出 AB BC 得出 BAC ACB 由已知条件得出 OB OC AC 1 由等腰三角形的性质得出 BOC ABC 得出对应边成比例 即可求出菱形的边长 解答 解 四边形 ABCD 是菱形 AB BC BAC ACB 点 O 对角线 AC 的三 等分点 OB OC AC 1 BAC ACB OBC BOC ABC 所以 即 BA2 3 BA 故选 A 10 2016 丹东模拟 如图 在菱形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O 点 E 为 BC 的中点 则下列等式中一定成立的是 A AB BEB AC 2AB C AB 2OE D AC 2OE 分析 由菱形的性质以及三角形中位线定理逐项分析即可 解答 解 点 E 为 BC 的中点 CE BE BC AB BC 第 15 页 共 31 页 AB 2BE 故选项 A 错误 在菱形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O AO CO AC OE 是 ABC 的中位线 OE AB 故选项 C 正确 AC AB BC AC 2AB 2OE 故选项 B D 错误 故选 C 11 2015 西城区二模 如图 将正方形 OABC 放在平面直角坐标系 xOy 中 O 是原点 若点 A 的坐标为 1 则点 C 的坐标为 A 1 B 1 C 1 D 1 分析 作 AD 轴于 D 作 CE x 轴于 E 则 ADO OEC 90 得出 1 2 90 由正 方形的性质得出 OC AO 1 3 90 证出 3 2 由 AAS 证明 OCE AOD OE AD CE OD 1 即可得出结果 解答 解 作 AD 轴于 D 作 CE x 轴于 E 如图所示 则 ADO OEC 90 1 2 90 点 A 的坐标为 1 OD 1 AD 四边形 OABC 是正方形 AOC 90 OC AO 1 3 90 3 2 在 OCE 和 AOD 中 OCE AOD AAS OE AD CE OD 1 点 C 的坐标为 1 故选 C 第 16 页 共 31 页 12 2015 桐庐县模拟 如图 在正方形 ABCD 中 对角线 AC 6 点 P 是对角线 AC 上 的一点 过点 P 作 PF AD PE CD 则 PF PE 的值为 A 3B 3C 2D 6 分析 由正方形的性质得出 PAF PCE 45 证出 APF 和 CPE 是等腰直角三角形 得出 PF AP PE PC 即可得出结论 解答 解 四边形 ABCD 是正方形 BAD BCD 90 PAF PCE 45 PF AD PE CD APF 和 CPE 是等腰直角三角形 PF AP PE PC PF PE AP PC AC 3 故选 A 13 2015 本溪二模 如图 在矩形 ABCD 中 AD 2AB E F 分别是 AD BC 的中点 连接 AF 与 BE CE 与 DF 分别交于点 M N 两点 则四边形 EMFN 是 A 正方形B 菱形 C 矩形 D 无法确定 分析 利用矩形的性质与判定方法得出四边形 EMFN 是矩形 进而利用等腰直角三角形 的性质得出 AM ME BM MF AM 则 ME MF 进而求出即可 解答 解 四边形 ABCD 为矩形 AD BC AD BC EAB ABF BCD CDA 90 又 E F 分别为 AD BC 中点 AD 2AB AE BF ED CF AE BF DE CF AB DC 第 17 页 共 31 页 ABE AEB DEC DCE DFC 45 BEN 90 又 DEBF AEFC 四边形 EMFN 是矩形 AM BE BM AF AM ME BM MF AM ME MF 四边形 EMFN 是正方形 故选 A 14 2015 春 石林县期末 如图 在正方形 ABCD 的外侧 作等边三角形 ADE 连接 CE 与对角线 BD 交于 F 则 BFC 为 A 75 B 70 C 65 D 60 分析 由于四边形 ABCD 是正方形 ADE 是正三角形 由此可以得到 CD DE 接着 利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解 解答 解 四边形 ABCD 是正方形 ADC 90 AD DC 又 ADE 是正三角形 CD DE ADE 60 CDE 是等腰三角形 CDE 90 60 150 ECD DEC 15 BDC 45 CFD 180 15 45 120 BFC 60 故选 D 15 2015 铁力市二模 如图 点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点 PE BC 于点 E PF CD 于点 F 连接 EF 给出下列五个结论 AP EF AP EF PFE BAP PD EC PB2 PD2 2PA2 正确的有 个 第 18 页 共 31 页 A 5B 4C 3D 2 分析 根据正方形的性质与正方形关于对角线对称可得所给选项的正误 解答 解 正确 连接 PC 可得 PC EF PC PA AP EF 正确 延长 AP 交 EF 于点 N 则 EPN BAP PCE PFE 可得 AP EF 正确 PFE PCE BAP 错误 PD PF CE 正确 PB2 PD2 2PA2 故选 B 16 2015 陕西模拟 如图 E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点 且 BE BC P 为 CE 上任意一点 PQ BC 于点 Q PR BE 于点 R 则 PQ PR 的值是 A B C D 分析 连接 BP 利用面积法求解 PQ PR 的值等于 C 点到 BE 的距离 即正方形对角 线的一半 解答 解 连接 BP 过 C 作 CM BD S BCE S BPE S BPC BC PQ BE PR BC PQ PR BE CM BC BE 第 19 页 共 31 页 PQ PR CM BE BC 1 且正方形对角线 BD BC 又 BC CD CM BD M 为 BD 中点 又 BDC 为直角三角形 CM BD 即 PQ PR 值是 故选 D 二 解答题 共二 解答题 共 11 小题 小题 17 2016 咸阳模拟 如图 矩形 ABCD E F 在 AB CD 上 且 EF AD M 为 EF 的 中点 连接 AM DM 求证 AM DM 分析 由矩形的性质得出 AE DF BAD 90 再由 EF AD 证出四边形 AEFD 是矩形 得出 AE DF AEM DFM 90 由 SAS 证明 AEM DFM 得出对应边相等即可 解答 证明 四边形 ABCD 是矩形 AE DF BAD 90 EF AD 四边形 AEFD 是矩形 AE DF AEM DFM 90 M 为 EF 的中点 EM FM 在 AEM 和 DFM 中 AEM DFM SAS AM DM 18 2016 市南区一模 已知 如图 在矩形 ABCD 中 点 E 在边 AD 上 点 F 在边 BC 上 且 AE CF 作 EG FH 分别与对角线 BD 交于点 G H 连接 EH FG 1 求证 BFH DEG 2 连接 DF 若 BF DF 则四边形 EGFH 是什么特殊四边形 证明你的结论 第 20 页 共 31 页 分析 1 由平行四边形的性质得出 AD BC AD BC OB OD 由平行线的性质得出 FBH EDG OHF OGE 得出 BHF DGE 求出 BF DE 由 AAS 即可得出结论 2 先证明四边形 EGFH 是平行四边形 再由等腰三角形的性质得出 EF GH 即可得出 四边形 EGFH 是菱形 解答 1 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC AD BC OB OD FBH EDG AE CF BF DE EG FH OHF OGE BHF DGE 在 BFH 和 DEG 中 BFH DEG AAS 2 解 四边形 EGFH 是菱形 理由如下 连接 DF 如图所示 由 1 得 BFH DEG FH EG 又 EG FH 四边形 EGFH 是平行四边形 BF DF OB OD EF BD EF GH 四边形 EGFH 是菱形 19 2016 春 南京校级月考 已知 如图 BE BF 分别是 ABC 与它的邻补角 ABD 的 平分线 AE BE 垂足为点 E AF BF 垂足为点 F EF 分别交边 AB AC 于点 M 和 N 求证 1 四边形 AFBE 是矩形 第 21 页 共 31 页 2 MN BC 分析 1 由 BE BE 是角平分线可得 EBF 是 90 进而由条件中的两个垂直可得两个 直角 可得四边形 AEBF 是矩形 2 由矩形的 F 质可得 2 5 进而利用角平分线的性质可得 1 5 可得 ME BC 进而 可得 N 为 AC 中点 根据三角形中位线性质求出即可 解答 证明 1 BE BF 分别是 ABC 中 B 及它的外角的平分线 1 2 3 4 1 2 3 4 180 2 3 90 AE BE E 为垂足 AF BF F 为垂足 AFB AEB 90 四边形 AEBF 为矩形 2 四边形 AEBF 为矩形 BM MA ME 2 5 2 1 1 5 ME BC M 是 AB 的中点 N 为 AC 的中点 MN BC 第 22 页 共 31 页 20 2016 安徽模拟 如图 在 ABC 中 D 是 BC 边的中点 F E 分别是 AD 及其延长 线上的点 CF BE 连结 BF CE 1 求证 四边形 BFCE 是平行四边形 2 当边 AB AC 满足什么条件时 四边形 BECF 是菱形 并说明理由 分析 1 由已知各件 据 AAS 很容易证得 BDE CDF 2 连接 BF CE 由 AB AC D 是 BC 边的中点 可知 AD BC 易证得 BFD CFD 可得 BF CF 又因为 1 中 BDE CDF 得 ED FD 所以 EF BC 互相垂直平分 根据菱形的性质 可得四边形 BECF 是菱形 解答 1 证明 在 ABC 中 D 是 BC 边的中点 BD CD CF BE CFD BED 在 CFD 和 BED 中 CFD BED AAS CF BE 四边形 BFCE 是平行四边形 2 解 当 AB AC 时 四边形 BECF 是菱形 理由如下 AB AC D 是 BC 边的中点 AD BC EF BC 四边形 BECF 是菱形 21 2016 十堰模拟 已知 如图 在菱形 ABCD 中 F 为边 BC 的中点 DF 与对角线 AC 交于点 M 过 M 作 ME CD 于点 E 1 2 1 若 CE 2 求 BC 的长 2 求证 ME AM DF 第 23 页 共 31 页 分析 1 根据菱形的性质可得 CB CD AB CD 然后再证明 2 ACD 根据等角对 等边可得 MC MD 根据等腰三角形三线合一的性质可得 CD 2CE 4 进而可得 BC 4 2 延长 DF BA 交于 G 首先证明 CEM CFM 可得 ME MF 然后再证明 CDF BGF 可得 DF GF 然后证明 1 G 根据等角对等边可得 GM CM 利用线段的和差关 系可得结论 解答 1 解 四边形 ABCD 是菱形 CB CD AB CD 1 ACD 1 2 2 ACD MC MD ME CD CD 2CE 4 BC CD 4 2 证明 如图 延长 DF BA 交于 G 四边形 ABCD 是菱形 BCA DCA BC 2CF CD 2CE CE CF 在 CEM 和 CFM 中 CEM CFM SAS ME MF AB CD 2 G GBF BCD F 为边 BC 的中点 CF BF 在 CDF 和 BGF 中 CDF BGF AAS DF GF 1 2 G 2 1 G AM GM MF GF DF ME 第 24 页 共 31 页 即 ME AM DF 22 2016 东平县一模 如图 在 ABC 中 ABC 90 BD 为 AC 的中线 过点 C 作 CE BD 于点 E 过点 A 作 BD 的平行线 交 CE 的延长线于点 F 在 AF 的延长线上截取 FG BD 连接 BG DF 1 求证 BD DF 2 求证 四边形 BDFG 为菱形 3 若 AG 13 CF 6 求四边形 BDFG 的周长 分析 1 先可判断四边形 BGFD 是平行四边形 再由直角三角形斜边中线等于斜边一 半 可得 BD FD 2 由邻边相等可判断四边形 BGFD 是菱形 3 设 GF x 则 AF 13 x AC 2x 在 Rt ACF 中利用勾股定理可求出 x 的值 解答 1 证明 ABC 90 BD 为 AC 的中线 BD AC AG BD BD FG 四边形 BGFD 是平行四边形 CF BD CF AG 又 点 D 是 AC 中点 DF AC BD DF 2 证明 BD DF 四边形 BGFD 是菱形 3 解 设 GF x 则 AF 13 x AC 2x 在 Rt ACF 中 CFA 90 第 25 页 共 31 页 AF2 CF2 AC2 即 13 x 2 62 2x 2 解得 x 5 四边形 BDFG 的周长 4GF 20 23 2016 南岗区模拟 如图 在正方形 ABCD 中 点 E 在对角线 AC 上 点 F 在边 BC 上 连接 BE DF DF 交对角线 AC 于点 G 且 DE DG 1 求证 AE CG 2 试判断 BE 和 DF 的位置关系 并说明理由 分析 1 先证 AED CGD 再证明 ADE CDG 根据全等三角形的对应边相等即 可得出结论 2 先证明 AEB CGD 得出对应角相等 AEB CGD 得出 AEB EGF 即可证 出平行线 解答 解 1 证明 在正方形 ABCD 中 AD CD DAE DCG DE DG DEG DGE AED CGD 在 AED 和 CGD 中 AED CGD AAS AE CG 2 解法一 BE DF 理由如下 在正方形 ABCD 中 AB CD BAE DCG 在 AEB 和 CGD 中 AEB CGD SAS AEB CGD CGD EGF AEB EGF BE DF 第 26 页 共 31 页 解法二 BE DF 理由如下 在正方形 ABCD 中 AD FC CG AE AG CE 又 在正方形 ABCD 中 AD CB 又 GCF ECB CGF CEB CGF CEB BE DF 24 2016 景德镇校级二模 如图 在四边形 ABCD 中 AB BC 对角线 BD 平分 ABC P 是 BD 上一点 过点 P 作 PM AD PN CD 垂足分别为 M N 1 求证 点 A 与 C 关于直线 BD 对称 2 若 ADC 90 求证四边形 MPND 为正方形 分析 1 首先根据角平分线的定义求出 ABD CBD 然后在 ABD 和 CBD 中 根 据 SAS 证明两个三角形全等 进而得到 ADB CDB AD CD 根据等腰三角形的性质 可得 BD 垂直平分 AC 进而可得点 A 与 C 关于直线 BD 对称 2 首先证明四边形 PMDN 是矩形 再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得 PM PN 进而可得四边形 MPND 为正方形 解答 证明 1 连接 AC BD 平分 ABC ABD CBD 在 ABD 和 CBD 中 ABD CBD SAS ADB CDB DA DC BD 垂直平分 AC 点 A 与 C 关于直线 BD 对称 第 27 页 共 31 页 2 PM AD PN CD PMD PND 90 ADC 90 四边形 PMDN 是矩形 ADB CDB BD 平分 ADC PM AD PN CD PM PN 四边形 MPND 为正方形 25 2015 滕州市模拟 已知 如图 正方形 ABCD 中 点 E 在 BC 的延长线上 AE 分 别交 DC BD 于 F G 点 H 为 EF 的中点 求证 1 DAG DCG 2 GC CH 分析 1 要证明 DAG DCG 需把两角放到两三角形中 证明两三角形 ADG 与 CDG 全等得到 全等的方法是 由 ABCD 为正方形 得到 AD 与 DC 相等 ADB 与 CDB 相等 再加上公共边 DG 利用 SAS 得到全等 利用全等三角形的对应角相等得证 2 要证明 GC 与 CH 垂直 需证 GCH 90 即 FCH DCG 90 方法是 由正方形 的对边 AD 与 BE 平行 根据两直线平行 内错角相等得到 DAF 与 E 相等 由 1 得 到的 DAG 与 DCG 相等 等量代换得到 E 与 DCG 相等 再由 CH 为直角三角形 ECF 斜边上的中线 得到 CH 与 HE 相等都等于斜边 EF 的一半 根据 等边对等角 得到 E 与 HCE 相等 又 FCH DCG 等于 90 等量代换得到 FCH DCG 90 即 GCH 90 得证 解答 证明 1 ABCD 为正方形 AD DC ADC 90 ADB CDB 45 又 DG DG ADG CDG DAG DCG 第 28 页 共 31 页 2