高中数学竞赛标准讲义：第二章：二次函数与命题

用心 爱心 专心 第二章第二章 二次函数与命题二次函数与命题 一 基础知识 1 二次函数 当 a0 时 y ax2 bx c 或 f x ax2 bx c 称为关于 x 的二次函数 其对称轴为 直线 x a b 2 另外配方可得 f x a x x0 2 f x0 其中 x0 a b 2 下同 2 二次函数的性质 当 a 0 时 f x 的图象开口向上 在区间 x0 上随自变量 x 增大函 数值减小 简称递减 在 x0 上随自变量增大函数值增大 简称递增 当 a0 时 方程 f x 0 即 ax2 bx c 0 和不等式 ax2 bx c 0 及 ax2 bx c0 时 方程 有两个不等实根 设 x1 x2 x1 x2 不等式 和不等式 的解集分别是 x xx2 和 x x1 x x2 二次函数 f x 图象与 x 轴有两个不同的交点 f x 还可写成 f x a x x1 x x2 2 当 0 时 方程 有两个相等的实根 x1 x2 x0 a b 2 不等式 和不等式 的解集分别是 x x a b 2 和空集 f x 的图象与 x 轴有唯一公共点 3 当 0 时 方程 无解 不等式 和不等式 的解集分别是 R 和 f x 图象与 x 轴无公 共点 当 a0 当 x x0时 f x 取最小值 f x0 a bac 4 4 2 若 a0 当 x0 m n 时 f x 在 m n 上的最小值为 f x0 当 x0n 时 f x 在 m n 上的最小值为 f n 以上结论由二次函数图象即可得出 定义 1 能判断真假的语句叫命题 如 3 5 是命题 萝卜好大 不是命题 不含逻辑联 结词 或 且 非 的命题叫做简单命题 由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合 命题 注 1 p 或 q 复合命题只有当 p q 同为假命题时为假 否则为真命题 p 且 q 复合命 题只有当 p q 同时为真命题时为真 否则为假命题 p 与 非 p 即 p 恰好一真一假 定义 2 原命题 若 p 则 q p 为条件 q 为结论 逆命题 若 q 则 p 否命题 若非 p 则 q 逆否命题 若非 q 则非 p 注 2 原命题与其逆否命题同真假 一个命题的逆命题和否命题同真假 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律 而未必是证明原命题的逆否命题 定义 3 如果命题 若 p 则 q 为真 则记为 p q 否则记作 p q 在命题 若 p 则 q 中 如果已知 p q 则 p 是 q 的充分条件 如果 q p 则称 p 是 q 的必要条件 如果 p q 但 q 不 p 则称 p 是 q 的充分非必要条件 如果 p 不 q 但 p q 则 p 称为 q 的必要非充 分条件 若 p q 且 q p 则 p 是 q 的充要条件 二 方法与例题 1 待定系数法 例 1 设方程 x2 x 1 0 的两根是 求满足 f f f 1 1 的二次函数 f x 解 设 f x ax2 bx c a 0 则由已知 f f 相减并整理得 a b 1 0 因为方程 x2 x 1 0 中 0 所以 所以 a b 1 0 又 1 所以 a b 1 0 又因为 f 1 a b c 1 用心 爱心 专心 所以 c 1 1 所以 c 2 又 b a 1 所以 f x ax2 a 1 x 2 再由 f 得 a 2 a 1 2 所以 a 2 a 2 1 所以 a 2 a 1 0 即 a 2 1 1 a 0 即 1 a 0 所以 a 1 所以 f x x2 2x 2 2 方程的思想 例 2 已知 f x ax2 c 满足 4 f 1 1 1 f 2 5 求 f 3 的取值范围 解 因为 4 f 1 a c 1 所以 1 f 1 c a 4 又 1 f 2 4a c 5 f 3 3 8 f 2 3 5 f 1 所以 3 8 1 3 5 f 3 3 8 5 3 5 4 所以 1 f 3 20 3 利用二次函数的性质 例 3 已知二次函数 f x ax2 bx c a b c R a 0 若方程 f x x 无实根 求证 方程 f f x x 也无实根 证明 若 a 0 因为 f x x 无实根 所以二次函数 g x f x x 图象与 x 轴无公共点且开口向 上 所以对任意的 x R f x x 0 即 f x x 从而 f f x f x 所以 f f x x 所以方程 f f x x 无实根 注 请读者思考例 3 的逆命题是否正确 4 利用二次函数表达式解题 例 4 设二次函数 f x ax2 bx c a 0 方程 f x x 的两根 x1 x2满足 0 x1 x2 a 1 当 x 0 x1 时 求证 x f x x1 设函数 f x 的图象关于 x x0对称 求证 x0 2 1 x 证明 因为 x1 x2是方程 f x x 0 的两根 所以 f x x a x x1 x x2 即 f x a x x1 x x2 x 当 x 0 x1 时 x x1 0 x x20 所以 f x x 其次 f x x1 x x1 a x x2 1 a x x1 x x2 a 1 0 所以 f x x1 综上 x f x 1 求证 方程的正根比 1 小 负根比 1 大 证明 方程化为 2a2x2 2ax 1 a2 0 构造 f x 2a2x2 2ax 1 a2 f 1 a 1 2 0 f 1 a 1 2 0 f 0 1 a20 所以 f x 在区间 1 0 和 0 1 上各有一根 用心 爱心 专心 即方程的正根比 1 小 负根比 1 大 6 定义在区间上的二次函数的最值 例 6 当 x 取何值时 函数 y 22 24 1 5 x xx 取最小值 求出这个最小值 解 y 1 222 1 5 1 1 xx 令 1 1 2 x u 则 0 u 1 y 5u2 u 1 5 20 19 20 19 10 1 2 u 且当 10 1 u即 x 3 时 ymin 20 19 例 7 设变量 x 满足 x2 bx x b 1 并且 x2 bx 的最小值是 2 1 求 b 的值 解 由 x2 bx x b b 1 即 b 2 时 x2 bx 在 0 b 1 上是减函数 所以 x2 bx 的最小值为 b 1 b 1 2 1 b 2 3 综上 b 2 3 7 一元二次不等式问题的解法 例 8 已知不等式组 12 0 22 ax aaxx 的整数解恰好有两个 求 a 的取值范围 解 因为方程 x2 x a a2 0 的两根为 x1 a x2 1 a 若 a 0 则 x1 x2 的解集为 a x1 2a 因为 1 2a 1 a 所以 a 0 所以不等式组无解 若 a 0 当 0 a 2 1 时 x1 x2 的解集为 a x 1 a 因为 0 a x 1 a 2 1 时 a 1 a 由 得 x 1 2a 所以不等式组的解集为 1 a x1 且 a 1 a 3 所以 1 a 2 并且当 1 a 2 时 不等式组恰有两个整数解 0 1 综上 a 的取值范围是 10 B A C 2 y z 2 4AC y z 2 0 恒成立 所以 B A C 2 4AC 0 即 A2 B2 C2 2 AB BC CA 同理有 B 0 C 0 所以必要性成立 再证充分性 若 A 0 B 0 C 0 且 A2 B2 C2 2 AB BC CA 1 若 A 0 则由 B2 C2 2BC 得 B C 2 0 所以 B C 所以 0 所以 成立 成立 2 若 A 0 则由 知 0 所以 成立 所以 成立 综上 充分性得证 9 常用结论 定理 1 若 a b R a b a b a b 证明 因为 a a a b b b 所以 a b a b a b 所以 a b a b 注 若 m 0 则 m x m 等价于 x m 又 a a b b a b b 即 a b a b 综上定理 1 得证 定理 2 若 a b R 则 a2 b2 2ab 若 x y R 则 x y 2 xy 证略 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况 在不等式证明一章中详细论证 三 基础训练题 1 下列四个命题中属于真命题的是 若 x y 0 则 x y 互为相反数 的逆命 题 两个全等三角形的面积相等 的否命题 若 q 1 则 x2 x q 0 有实根 的逆否 命题 不等边三角形的三个内角相等 的逆否命题 2 由上列各组命题构成 p 或 q p 且 q 非 p 形式的复合命题中 p 或 q 为真 p 且 q 为假 非 p 为真的是 p 3 是偶数 q 4 是奇数 p 3 2 6 q p a a b q a a b p Q R q N Z 3 当 x 2 a 时 不等式 x2 4 0 的解是 1 x 2 则 a b 的值是 5 x 1 且 x 2 是 x 11 x的 条件 而 2 m 0 且 0 n 1 是关于 x 的方程 x2 mx n 0 有两个小于 1 的正根的 条件 6 命题 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 的逆命题是 7 若 S x mx2 5x 2 0 的子集至多有 2 个 则 m 的取值范围是 8 R 为全集 A x 3 x 4 B 1 2 5 x x 则 CRA B 9 设 a b 是整数 集合 A x y x a 2 3b 6y 点 2 1 A 但点 1 0 A 3 2 A 则 a b 的值是 10 设集合 A x x 0 则集合 x x A 且 x A B 11 求使不等式 ax2 4x 1 2x2 a 对任意实数 x 恒成立的 a 的取值范围 12 对任意 x 0 1 有 03 042 2 2 kkxx kkxx 成立 求 k 的取值范围 四 高考水平训练题 1 若不等式 x a 0 当 a 1 时恒成立的 x 的取值范围是 3 若不等式 x2 kx 410 B x x 5 0 和 a2x2 b2x c2 0 解集分别为 M 和 N 那么 2 1 2 1 2 1 c c b b a a 是 M N 的 条件 用心 爱心 专心 6 若下列三个方程 x2 4ax 4a 3 0 x2 a 1 x a2 0 x2 2ax 2a 0 中至少有一个方程有实根 则 实数 a 的取值范围是 7 已知 p q 都是 r 的必要条件 s 是 r 的充分条件 q 是 s 的充分条件 则 r 是 q 的 条件 8 已知 p 1 3 1 x 2 q x2 2x 1 m2 0 m 0 若非 p 是非 q 的必要不充分条件 则实数 m 的取值范围是 9 已知 a 0 f x ax2 bx c 对任意 x R 有 f x 2 f 2 x 若 f 1 2x2 0 且 x 1 时 g x 最大值为 2 求 f x 11 设实数 a b c m 满足条件 m c m b m a 12 0 且 a 0 m 0 求证 方程 ax2 bx c 0 有一根 x0满足 0 x0 1 五 联赛一试水平训练题 1 不等式 x 3 2x2 4 x 30 当函数的最小值取最 大值时 a b2 c3 4 已知 f x 1 2x x 0 1 方程 f f f x 2 1 x 有 个实根 5 若关于 x 的方程 4x2 4x m 0 在 1 1 上至少有一个实根 则 m 取值范围是 6 若 f x x4 px3 qx2 x 对一切 x R 都有 f x x 且 f 1 1 则 p q2 7 对一切 x R f x ax2 bx c a 9 若 a b c100 试问满足 f x 50 的整数 x 最多有几个 2 设函数 f x ax2 8x 3 a1 使得存在 t R 只要 x 1 m 就有 f x t x 7 求证 方程 3ax2