高中数学 已知递推关系求通项公式教案 新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 数列专题 递推公式求通项公式数列专题 递推公式求通项公式 题型一 题型一 1nn aapnq 差后等差数列 例 1 数列 n a中 1 1a 1 21 2 nn aann 求 n a 1 n nn aab 差后等比数列 例 2 已知数列 an 中 a1 1 且an an 1 3n 1 求 an 的通项公式 题型二 题型二 1n a n a m 相邻两项满足线性关系 例 数列 n a满足 1n a 2 n a 3 a1 1 求通项 解 1n a 2 n a 3 1n a 3 2 n a 3 即 n a 3 成 G P 公比 q 2 首项 a1 3 4 n a 3 4 2 1n n a 1 2n 3 练习 在数列 an 中 a1 2 且an 1 2 1 2 n a 求 an 的通项公式 解 an 12 2 1 an2 2 1 an 12 1 2 1 an2 1 an 12 1 是以 3 为首项 公比为 2 1 的等差数列 an 12 1 3 1 2 1 n 即an 1 2 3 1 n 题型三 题型三 1n a n a qpn 1 1 11 2 1 nn nn aaa n naa 例3 已知数列中且求 用心 爱心 专心2 例 数列 n a满足 1n a 4 n a 3n 2 a1 1 求通项 解法一 2n a 4 1n a 3 n 1 2 1n a 4 n a 3n 2 因此有 2n a 1n a 4 1n a n a 3 令 n c 1n a n a 则 1n c 4 n c 3 1n c 4 n c 3 1 1n c 1 4 n c 1 C1 1 a2 a1 1 5 n c 1 成等比数列 1 n C 5 1 4n n c 5 1 4n 1 1n a n a 5 1 4n 1 1n a n a 3 n a 3n 2 即 5 1 4n 1 3 n a 3n 2 n a n 1 51 4n 33 解法二 设 4 1 1 nana nn 34 24 解得 3 1 1 3 1 4 3 1 1 1 nana nn 1 4 3 5 3 1 n n na 3 1 4 3 5 1 na n n 题型四 题型四 1n a n a n b 例 1 数列 n a满足 1n a 3 n a 2 n a1 1 求通项 解法一 1 1 31 22 22 nn nn aa 令 n c 2 n n a C1 1 2 1n c 3 2 n c 1 n c 1 成等比数列 C1 1 1 2 1 3 2 1 n C 3 2 n 用心 爱心 专心3 n c 3 2 n 1 n a 2n n c 3n 2n 解法二 设 2 32 1 1 n n n n aa 123 1 2 32 1 1 n n n n aa nn n a32 nn n a23 例 2 05 江西文 数列 n a的前 n 项和 n s满足 n s n 2 s 3 n 1 1 2 n3 且 1 S 1 2 S 3 2 求 n a通项公式 nn 2 SS nn 1 SS n 1n 2 SS nn 1 aa 3 n 1 1 2 1 2 n n a 1 2 n 1 n 1 a 1 2 3 令 n b n n a 1 2 n b 2 n 1 b 6 n b 2 n 1 b 2 6 6 n b 6 2 n 1 b 6 1 b 2 1 a 2 1 b 6 8 n b 6 8 n 1 2 n 2 2 n b 6 n 2 2 n a n 1 2 6 n 2 2 3 n 1 n 1 1 2 4 n 1 即 n a n 1 n 1 1 43n2k1 2 1 34 n2k 2 题型五 题型五 1n a f n n a 用心 爱心 专心4 由 n a 12 1 121 nn nn aaa a aaa f n 1 f n 2 f 1 a1 即 累积法 求 n a 例 数列 n a满足 a1 1 n a 121 2 1 n aana n 2 求 n a的通项公式 解 n a 121 2 1 n aana 1n a 121 2 1 n aana n n a 1n a n a n n a 1n n a a n 1 注 意 n 2 且 a1 1 n a 13 122 nn nn aaa aaa n n 1 3 2 n a 2 n n 2 n a 2 2 11 n n n 题型六 题型六 2n a p 1n a q n a p q 均为常数 2n a p 1n a q n a 2n a 1n a 1n a n a p q 解 出 因此 1n a n a 是等比数列 例 1 a1 1 a2 5 3 2n a 5 3 1n a 2 3 n a 求数列 n a 的通项公式 n a 解 2n a 1n a 1n a n a 5 3 2 3 解得 1 2 3 2n a 1n a 2 3 1n a n a a2 a1 2 3 n a 1 n a 1 2 3 n 用心 爱心 专心5 n a n a 1 n a 1 n a 2 n a a2 a1 a1 1 2 3 n 2 2 3 n 2 3 1 3 1 2 3 n n n a 3 1 2 3 n n 题型七 题型七 连续两项之间不满足线性关系的 例 1 倒数法 已知数列 an 中 a1 5 3 an 1 12 n n a a 求 an 的通项公 式 解 2 1121 1 nn n n aa a a n a 1 是以 3 5 为首项 公差为 2 的等差数列 即 3 51 n a 2 n 1 3 16 n an 16 3 n 例 2 对数法 数列 n a满足 a1 2 2 1n a n a 1 n a 求 n a的通项 解 1n a 2 1 2 n n a a 且 2 1n a 2 1n a 1 n a 1 恒成立 1n a 1 2 1 2 n n a a 1n a 1 2 1 2 n n a a 2 11 11 11111 lg2lg lg 11111 nnnnn nnnnn aaaaa aaaaa 成等比数列 用心 爱心 专心6 q 3 首项 lg3 lg 1 1 n n a a 1 12 2lg3lg3 n n 1 1 n n a a 1 2 3 n 1 1 2 2 31 31 n n n a 例 3 三角代换法 已知数列 an 中 a1 2 an 1 1 1 1 n n a a 求 an 的通项 公式 解 令an 1 tan 则an 1 tan 4 tan1 tan 4 tan tan 4 an tan 2tan 4 1 atc n 题型八题型八 用 1 2 nnn aSSn 求解 数列 n a的前 n 项和 n S与 n a的隐含关系为 1 2 nnn aSSn 利用这个关系揭示 n a与 1n a 的关系或 n S与 1n S 的 关系 使数列